{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 𝑛-2\n3 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 10 jest równa\nA. 28\nB. 31\nC. 32\nD. 27\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = n-2/3 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 10 jest równa A. 28 B. 31 C. 32 D. 27","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną\nniewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(11{,}25\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie ilorazu i obliczenie sumy wprost\n\n**Krok 1: Znajdź iloraz ciągu geometrycznego.**\n\nW ciągu geometrycznym każdy wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz \\(q\\):\n\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{-7{,}5}{3{,}75} = -2\\]\n\n**Krok 2: Oblicz trzeci wyraz.**\n\\[a_3 = a_2 \\cdot q = -7{,}5 \\cdot (-2) = 15\\]\n\n**Krok 3: Zsumuj trzy wyrazy.**\n\\[S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 3{,}75 + (-7{,}5) + 15 = 3{,}75 - 7{,}5 + 15 = \\mathbf{11{,}25}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego\n\nZamiast wyznaczać \\(a_3\\) osobno, można użyć gotowego wzoru:\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q} \\quad \\text{(dla } q \\neq 1\\text{)}\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 3{,}75\\), \\(q = -2\\), \\(n = 3\\):\n\\[S_3 = 3{,}75 \\cdot \\frac{1 - (-2)^3}{1 - (-2)} = 3{,}75 \\cdot \\frac{1 - (-8)}{3} = 3{,}75 \\cdot \\frac{9}{3} = 3{,}75 \\cdot 3 = \\mathbf{11{,}25}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - potwierdza to poprawność.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzory dla ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q} \\quad (q \\neq 1)\\]\n\nW Sposobie 1 użyliśmy definicji ilorazu \\(q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\) oraz wzoru na \\(n\\)-ty wyraz.\nW Sposobie 2 użyliśmy bezpośrednio wzoru na sumę \\(S_n\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B: \\(-18{,}75\\) | Uczeń oblicza \\(a_3 = -15\\) (nie dostrzega, że \\((-2)^2 = +4\\), więc \\(a_3\\) jest **dodatnie**), po czym liczy \\(3{,}75 - 7{,}5 - 15 = -18{,}75\\) |\n| C: \\(15\\) | Uczeń podaje sam wyraz \\(a_3 = 15\\) zamiast sumy trzech wyrazów |\n| D: \\(-15\\) | Uczeń liczy \\(a_1 + a_2 = 3{,}75 - 7{,}5 = -3{,}75\\), po czym myli się przy wyznaczaniu \\(a_3\\) i przyjmuje \\(q = +2\\) (bez znaku minus), dostając \\(a_3 = -15\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz ciągu geometrycznego może być **ujemny**! Tutaj \\(q = -2\\), więc wyrazy na przemian zmieniają znak: \\(+, -, +, -, \\ldots\\) Trzeci wyraz jest **dodatni**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\((-2)^3 = -8\\), a nie \\(+8\\). Potęga liczby ujemnej o wykładniku nieparzystym jest ujemna - łatwo tu o błąd znaku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \\(a_3\\) z \\(S_3\\). Zadanie pyta o **sumę trzech wyrazów** \\(S_3\\), nie o wartość trzeciego wyrazu \\(a_3 = 15\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Iloraz i trzeci wyraz\n\\(q = \\dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \\dfrac{-7{,}5}{3{,}75} = -2.\\)\n\\(a_{3} = a_{2}\\cdot q = -7{,}5\\cdot(-2) = 15.\\)\nSuma: \\(3{,}75 + (-7{,}5) + 15 = 11{,}25.\\)\n\n### Sposób 2 - Wzór na sumę\n\\(S_{3} = a_{1}\\cdot \\dfrac{1-q^{3}}{1-q} = 3{,}75\\cdot \\dfrac{1-(-8)}{1-(-2)} = 3{,}75\\cdot \\dfrac{9}{3} = 3{,}75\\cdot 3 = 11{,}25.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-18{,}75\\)** - błąd znaku.\n- **C. 15** - tylko \\(a_{3}\\).\n- **D. \\(-15\\)** - błędny iloraz.\n\n**Trik:** zawsze najpierw oblicz iloraz \\(q = \\tfrac{a_{2}}{a_{1}}\\), potem trzeci wyraz.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Ciągi, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 16. (0-1)
Ciąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 𝑛-2
3 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 10 jest równa
A. 28
B. 31
C. 32
D. 27
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = n-2/3 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 10 jest równa A. 28 B. 31 C. 32 D. 27

","answer_text_html":"

Zadanie 16. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
III.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną
niewiadomą.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(11{,}25\\)

\n

Sposób 1 - wyznaczenie ilorazu i obliczenie sumy wprost

\n

Krok 1: Znajdź iloraz ciągu geometrycznego.

\n

W ciągu geometrycznym każdy wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz \\(q\\):
\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{-7{,}5}{3{,}75} = -2\\]

\n

Krok 2: Oblicz trzeci wyraz.
\\[a_3 = a_2 \\cdot q = -7{,}5 \\cdot (-2) = 15\\]

\n

Krok 3: Zsumuj trzy wyrazy.
\\[S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 3{,}75 + (-7{,}5) + 15 = 3{,}75 - 7{,}5 + 15 = \\mathbf{11{,}25}\\]

\n

Sposób 2 - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego

\n

Zamiast wyznaczać \\(a_3\\) osobno, można użyć gotowego wzoru:
\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q} \\quad \\text{(dla } q \\neq 1\\text{)}\\]

\n

Podstawiamy \\(a_1 = 3{,}75\\), \\(q = -2\\), \\(n = 3\\):
\\[S_3 = 3{,}75 \\cdot \\frac{1 - (-2)^3}{1 - (-2)} = 3{,}75 \\cdot \\frac{1 - (-8)}{3} = 3{,}75 \\cdot \\frac{9}{3} = 3{,}75 \\cdot 3 = \\mathbf{11{,}25}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - potwierdza to poprawność.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzory dla ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q} \\quad (q \\neq 1)\\]

\n

W Sposobie 1 użyliśmy definicji ilorazu \\(q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\) oraz wzoru na \\(n\\)-ty wyraz.
W Sposobie 2 użyliśmy bezpośrednio wzoru na sumę \\(S_n\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B: \\(-18{,}75\\) | Uczeń oblicza \\(a_3 = -15\\) (nie dostrzega, że \\((-2)^2 = +4\\), więc \\(a_3\\) jest dodatnie), po czym liczy \\(3{,}75 - 7{,}5 - 15 = -18{,}75\\) |
| C: \\(15\\) | Uczeń podaje sam wyraz \\(a_3 = 15\\) zamiast sumy trzech wyrazów |
| D: \\(-15\\) | Uczeń liczy \\(a_1 + a_2 = 3{,}75 - 7{,}5 = -3{,}75\\), po czym myli się przy wyznaczaniu \\(a_3\\) i przyjmuje \\(q = +2\\) (bez znaku minus), dostając \\(a_3 = -15\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny! Tutaj \\(q = -2\\), więc wyrazy na przemian zmieniają znak: \\(+, -, +, -, \\ldots\\) Trzeci wyraz jest dodatni.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\((-2)^3 = -8\\), a nie \\(+8\\). Potęga liczby ujemnej o wykładniku nieparzystym jest ujemna - łatwo tu o błąd znaku.
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl \\(a_3\\) z \\(S_3\\). Zadanie pyta o sumę trzech wyrazów \\(S_3\\), nie o wartość trzeciego wyrazu \\(a_3 = 15\\).
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Iloraz i trzeci wyraz
\n

\\(q = \\dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \\dfrac{-7{,}5}{3{,}75} = -2.\\)
\\(a_{3} = a_{2}\\cdot q = -7{,}5\\cdot(-2) = 15.\\)
Suma: \\(3{,}75 + (-7{,}5) + 15 = 11{,}25.\\)

\n
Sposób 2 - Wzór na sumę
\n

\\(S_{3} = a_{1}\\cdot \\dfrac{1-q^{3}}{1-q} = 3{,}75\\cdot \\dfrac{1-(-8)}{1-(-2)} = 3{,}75\\cdot \\dfrac{9}{3} = 3{,}75\\cdot 3 = 11{,}25.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: zawsze najpierw oblicz iloraz \\(q = \\tfrac{a_{2}}{a_{1}}\\), potem trzeci wyraz.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od zapisu wzoru ciągu. Ciąg $(a_n)$ jest dany poprzez wzór:
\n

$$ a_n = \\frac{n-2}{3} $$

\n
  1. Chcemy znaleźć wszystkie wyrazy tego ciągu, które są mniejsze od 10. Może to być zapisane jako:
\n

$$ a_n < 10 $$

\n
  1. Podstawiamy wzór z kroku 1 do nierównania:
\n

$$ \\frac{n-2}{3} < 10 $$

\n
  1. Przemnażamy obie strony nierówności przez 3, co nie zmienia kierunku nierówności, ponieważ 3 jest liczbą dodatnią:
\n

$$ n-2 < 30 $$

\n
  1. Dodajemy 2 do obu stron nierówności:
\n

$$ n < 32 $$

\n
  1. Ponieważ $n$ musi być liczbą naturalną, to przyjmujemy, że $n$ może być dowolną liczbą naturalną od 1 do 31, ponieważ $n < 32$.
\n
  1. Zatem liczby naturalne, które spełniają tę nierówność, to $1, 2, 3, \\ldots, 31$. Teraz obliczymy, ile jest takich liczb.
\n
  1. Zauważamy, że liczby te to ciąg arytmetyczny zaczynający się od 1, a kończący na 31. Liczba wyrazów tego ciągu można obliczyć jako:
\n

$$ 31 - 1 + 1 = 31 $$

\n
  1. Konkludując, liczba wyrazów tego ciągu, które są mniejsze od 10, jest równa 31.
\n

Odpowiedź: 31

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

(n-2)/(3)<10⇔ n<32.

\n

Dla n∈mathbb N , n≥1 , możliwe są wartości 1,2,…,31 . Jest ich 31 .

"}]}