{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (1, 4, 𝑎+ 5) jest arytmetyczny.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑎 jest równa\nA. 0\nB. 7\nC. 2\nD. 11\n\nMMAP-P0_100\nTrzywyrazowy ciąg (1,4,a+5) jest arytmetyczny. Liczba a jest równa A. 0 B. 7 C. 2 D. 11","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\cos^3\\alpha\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\nMamy wyrażenie:\n\\[\\cos\\alpha - \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha\\]\n\n**Krok 1.** Zauważamy, że oba składniki mają wspólny czynnik \\(\\cos\\alpha\\). Wyłączamy go przed nawias:\n\\[\\cos\\alpha - \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha = \\cos\\alpha\\,(1 - \\sin^2\\alpha)\\]\n\n**Krok 2.** Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\implies 1 - \\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha\\]\n\n**Krok 3.** Podstawiamy:\n\\[\\cos\\alpha \\cdot (1 - \\sin^2\\alpha) = \\cos\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = \\mathbf{\\cos^3\\alpha}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja liczbowa dla konkretnego kąta\n\nSprawdzamy dla \\(\\alpha = 60°\\), gdzie \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\) i \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Wartość wyrażenia:**\n\\[\\cos 60° - \\cos 60° \\cdot \\sin^2 60° = \\frac{1}{2} - \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{1}{2} - \\frac{3}{8} = \\frac{1}{8}\\]\n\n**Sprawdzamy odpowiedź A:**\n\\[\\cos^3 60° = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1}{8} \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzamy pozostałe (eliminacja):**\n- B: \\(\\sin^2 60° = \\frac{3}{4} \\neq \\frac{1}{8}\\)\n- C: \\(1 - \\sin^2 60° = \\frac{1}{4} \\neq \\frac{1}{8}\\)\n- D: \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2} \\neq \\frac{1}{8}\\)\n\nPotwierdzamy: **odpowiedź A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 (Krok 2), zamieniając \\(1 - \\sin^2\\alpha\\) na \\(\\cos^2\\alpha\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń \"skraca\" \\(\\cos\\alpha\\) z wyrażenia i zostaje mu \\(\\sin^2\\alpha\\) - ale nie można tak skracać przy odejmowaniu |\n| C | Uczeń poprawnie wyłącza \\(\\cos\\alpha\\) i dostaje \\(\\cos\\alpha\\cdot(1-\\sin^2\\alpha)\\), ale zapomina zamienić \\(1-\\sin^2\\alpha\\) na \\(\\cos^2\\alpha\\) i zostawia w takiej postaci |\n| D | Uczeń opuszcza drugi składnik albo błędnie upraszcza \\(\\cos\\alpha\\cdot\\sin^2\\alpha = 0\\) - co oczywiście nieprawda |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jedynka trygonometryczna mówi \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc \\(1 - \\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha\\). Ten zamiennik to klucz do całego zadania - naucz się go na pamięć!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyłączanie wspólnego czynnika działa tu dlatego, że **oba** składniki zawierają \\(\\cos\\alpha\\). Gdyby jeden składnik go nie miał - nie dałoby się tak prosto wyłączyć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(1 - \\sin^2\\alpha\\)) to wyrażenie równoważne \\(\\cos^2\\alpha\\), ale **nie** \\(\\cos^3\\alpha\\). To pułapka na uczniów, którzy zatrzymają się o jeden krok za wcześnie!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\\(\\cos\\alpha - \\cos\\alpha\\sin^{2}\\alpha = \\cos\\alpha(1 - \\sin^{2}\\alpha) = \\cos\\alpha\\cdot\\cos^{2}\\alpha = \\cos^{3}\\alpha.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie dla \\(\\alpha=45^{\\circ}\\)\n\\(\\cos 45^{\\circ} - \\cos 45^{\\circ}\\sin^{2} 45^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2} - \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\cdot\\tfrac{1}{2} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\cdot \\tfrac{1}{2} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{4}\\).\n\\(\\cos^{3} 45^{\\circ} = \\left(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{3} = \\tfrac{2\\sqrt{2}}{8} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{4}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\sin^{2}\\alpha\\)** - pomylono czynniki.\n- **C. \\(1-\\sin^{2}\\alpha\\)** - brakuje czynnika \\(\\cos\\alpha\\) z zewnątrz.\n- **D. \\(\\cos\\alpha\\)** - pominięto \\(\\cos^{2}\\alpha\\).\n\n**Trik:** tożsamość \\(\\sin^{2}\\alpha+\\cos^{2}\\alpha = 1\\) pozwala zamienić \\(1-\\sin^{2}\\alpha\\) na \\(\\cos^{2}\\alpha\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 17. (0-1)
Trzywyrazowy ciąg (1, 4, 𝑎+ 5) jest arytmetyczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba 𝑎 jest równa
A. 0
B. 7
C. 2
D. 11

\n

MMAP-P0_100
Trzywyrazowy ciąg (1,4,a+5) jest arytmetyczny. Liczba a jest równa A. 0 B. 7 C. 2 D. 11

","answer_text_html":"

Zadanie 17. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
VI.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę
𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(\\cos^3\\alpha\\)

\n

Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika

\n

Mamy wyrażenie:
\\[\\cos\\alpha - \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha\\]

\n

Krok 1. Zauważamy, że oba składniki mają wspólny czynnik \\(\\cos\\alpha\\). Wyłączamy go przed nawias:
\\[\\cos\\alpha - \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha = \\cos\\alpha\\,(1 - \\sin^2\\alpha)\\]

\n

Krok 2. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\implies 1 - \\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha\\]

\n

Krok 3. Podstawiamy:
\\[\\cos\\alpha \\cdot (1 - \\sin^2\\alpha) = \\cos\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = \\mathbf{\\cos^3\\alpha}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja liczbowa dla konkretnego kąta

\n

Sprawdzamy dla \\(\\alpha = 60°\\), gdzie \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\) i \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).

\n

Wartość wyrażenia:
\\[\\cos 60° - \\cos 60° \\cdot \\sin^2 60° = \\frac{1}{2} - \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{1}{2} - \\frac{3}{8} = \\frac{1}{8}\\]

\n

Sprawdzamy odpowiedź A:
\\[\\cos^3 60° = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1}{8} \\checkmark\\]

\n

Sprawdzamy pozostałe (eliminacja):

\n\n

Potwierdzamy: odpowiedź A.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1 (Krok 2), zamieniając \\(1 - \\sin^2\\alpha\\) na \\(\\cos^2\\alpha\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Uczeń "skraca" \\(\\cos\\alpha\\) z wyrażenia i zostaje mu \\(\\sin^2\\alpha\\) - ale nie można tak skracać przy odejmowaniu |
| C | Uczeń poprawnie wyłącza \\(\\cos\\alpha\\) i dostaje \\(\\cos\\alpha\\cdot(1-\\sin^2\\alpha)\\), ale zapomina zamienić \\(1-\\sin^2\\alpha\\) na \\(\\cos^2\\alpha\\) i zostawia w takiej postaci |
| D | Uczeń opuszcza drugi składnik albo błędnie upraszcza \\(\\cos\\alpha\\cdot\\sin^2\\alpha = 0\\) - co oczywiście nieprawda |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Jedynka trygonometryczna mówi \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc \\(1 - \\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha\\). Ten zamiennik to klucz do całego zadania - naucz się go na pamięć!
\n
⚠️ Uwaga: Wyłączanie wspólnego czynnika działa tu dlatego, że oba składniki zawierają \\(\\cos\\alpha\\). Gdyby jeden składnik go nie miał - nie dałoby się tak prosto wyłączyć.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź C (\\(1 - \\sin^2\\alpha\\)) to wyrażenie równoważne \\(\\cos^2\\alpha\\), ale nie \\(\\cos^3\\alpha\\). To pułapka na uczniów, którzy zatrzymają się o jeden krok za wcześnie!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika
\n

\\(\\cos\\alpha - \\cos\\alpha\\sin^{2}\\alpha = \\cos\\alpha(1 - \\sin^{2}\\alpha) = \\cos\\alpha\\cdot\\cos^{2}\\alpha = \\cos^{3}\\alpha.\\)

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie dla \\(\\alpha=45^{\\circ}\\)
\n

\\(\\cos 45^{\\circ} - \\cos 45^{\\circ}\\sin^{2} 45^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2} - \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\cdot\\tfrac{1}{2} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\cdot \\tfrac{1}{2} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{4}\\).
\\(\\cos^{3} 45^{\\circ} = \\left(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{3} = \\tfrac{2\\sqrt{2}}{8} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{4}\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: tożsamość \\(\\sin^{2}\\alpha+\\cos^{2}\\alpha = 1\\) pozwala zamienić \\(1-\\sin^{2}\\alpha\\) na \\(\\cos^{2}\\alpha\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od zrozumienia, że ciąg arytmetyczny jest taki, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. W naszym przypadku mamy trzywyrazowy ciąg: \\(1, 4, a + 5\\).
\n
  1. Zapisujemy różnicę między pierwszym a drugim wyrazem:
\n

$$d_1 = 4 - 1 = 3$$

\n
  1. Następnie zapisujemy różnicę między drugim a trzecim wyrazem:
\n

$$d_2 = (a + 5) - 4$$

\n
  1. Teraz równamy te dwie różnice, ponieważ w ciągu arytmetycznym muszą być równe:
\n

$$d_1 = d_2$$

\n
  1. Zapisujemy równanie:
\n

$$3 = (a + 5) - 4$$

\n
  1. Uprościmy prawe miejsce równania:
\n

$$3 = a + 5 - 4$$
$$3 = a + 1$$

\n
  1. Aby znaleźć wartość \\(a\\), odejmujemy 1 od obu stron równania:
\n

$$3 - 1 = a$$
$$2 = a$$

\n
  1. Ostatecznie otrzymujemy, że \\(a = 2\\).
\n

Odpowiedź: a jest równa 2.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

4=(1+(a+5))/(2),

\n

8=a+6, a=2.

"}]}