{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdego kąta ostrego 𝛼 wyrażenie cos 𝛼-cos 𝛼⋅sin2 𝛼 jest równe\nA. cos3 𝛼\nB. sin2 𝛼\nC. 1 -sin2 𝛼\nD. cos 𝛼\n\nMMAP-P0_100\nDla każdego kąta ostrego α wyrażenie cosα - cosα⋅sin²α jest równe A. cos³α B. sin²α C. 1-sin²α D. cosα","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(60°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie między cięciwami (kąt środkowy)\n\n**Krok 1: Wyznaczamy miary łuków na podstawie kątów wpisanych.**\n\nKąt wpisany jest równy **połowie łuku**, na którym jest oparty.\n\nKąt \\(\\angle ADB = 20°\\) jest oparty na łuku \\(AB\\) (bez punktu \\(D\\)):\n\\[\\text{łuk } AB = 2 \\cdot 20° = 40°\\]\n\nKąt \\(\\angle DBC = 40°\\) jest oparty na łuku \\(DC\\) (bez punktu \\(B\\)):\n\\[\\text{łuk } DC = 2 \\cdot 40° = 80°\\]\n\n**Krok 2: Zastosowanie twierdzenia o kącie między przecinającymi się cięciwami.**\n\nGdy dwie cięciwy przecinają się **wewnątrz okręgu**, kąt między nimi jest równy połowie sumy dwóch naprzeciwległych łuków:\n\\[\\angle DKC = \\frac{\\text{łuk } DC + \\text{łuk } AB}{2}\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy wartości:**\n\\[\\angle DKC = \\frac{80° + 40°}{2} = \\frac{120°}{2} = \\mathbf{60°}\\]\n\n## Sposób 2 - Kąt zewnętrzny trójkąta (kąt jako suma kątów trójkąta)\n\n**Rozważamy trójkąt \\(BKC\\)**, gdzie \\(K\\) leży na cięciwie \\(BD\\) i cięciwie \\(AC\\).\n\n**Kąt \\(\\angle KBC\\):** to dany kąt wpisany \\(\\angle DBC = 40°\\), bo \\(K\\) leży na odcinku \\(BD\\).\n\n**Kąt \\(\\angle KCB = \\angle ACB\\):** kąt wpisany oparty na łuku \\(AB\\):\n\\[\\angle ACB = \\frac{\\text{łuk } AB}{2} = \\frac{40°}{2} = 20°\\]\n\n**Suma kątów trójkąta \\(BKC\\):**\n\\[\\angle BKC = 180° - \\angle KBC - \\angle KCB = 180° - 40° - 20° = 120°\\]\n\nPonieważ \\(D\\), \\(K\\), \\(B\\) są współliniowe (leżą na cięciwie \\(BD\\)), kąty \\(\\angle DKC\\) i \\(\\angle BKC\\) są **kątami suplementarnymi**:\n\\[\\angle DKC = 180° - \\angle BKC = 180° - 120° = \\mathbf{60°}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **potwierdzono**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany i kąt środkowy:\n\n> Kąt wpisany = połowa kąta środkowego (opartego na tym samym łuku)\n\nUżyliśmy tego, by z kątów wpisanych \\(20°\\) i \\(40°\\) wyliczyć łuki \\(AB = 40°\\) i \\(DC = 80°\\).\n\n**Twierdzenie o cięciwach** (wywodzi się z własności kątów wpisanych, s. 19):\n\n\\[\\angle DKC = \\frac{\\text{łuk } DC + \\text{łuk } AB}{2}\\]\n\nTo twierdzenie nie jest wprost podane na karcie CKE, ale wynika bezpośrednio z faktu, że kąt między cięciwami jest **kątem zewnętrznym trójkąta wpisanego w okrąg** - co pokazaliśmy w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(80°\\) | Wzięto tylko jeden łuk \\(DC = 80°\\) bez dzielenia przez 2, albo pominięto łuk \\(AB\\) |\n| **C** \\(50°\\) | Zsumowano same kąty wpisane zamiast łuków: \\(\\frac{20° + 40°}{2} \\cdot 2 = \\), błąd rachunkowy |\n| **D** \\(40°\\) | Przepisano wprost dany kąt \\(\\angle DBC = 40°\\) bez żadnych obliczeń |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany = **połowa** łuku - łatwo zapomnieć o mnożeniu razy 2 przy przeliczaniu na łuk.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na kąt między cięciwami to **pół sumy** dwóch naprzeciwległych łuków - nie jednego! Pominięcie łuku \\(AB\\) to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, które dwa łuki są „naprzeciwległe\" - to te, które są „wycinane\" przez ramiona kąta \\(DKC\\), czyli łuk \\(DC\\) (między ramionami od strony \\(D\\) i \\(C\\)) i łuk \\(AB\\) (po przeciwnej stronie).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Kąt zewnętrzny trójkąta\nW trójkącie \\(BDK\\) (gdzie \\(K\\) to przecięcie \\(AC\\) i \\(BD\\)) kąt \\(DKC\\) jest kątem zewnętrznym przy \\(K\\), równym sumie kątów wewnętrznych niesąsiednich: \\(|\\angle ADB|+|\\angle DBC| = 20^{\\circ}+40^{\\circ} = 60^{\\circ}.\\)\n\n### Sposób 2 - Kąt między cięciwami\nKąt między dwiema cięciwami przecinającymi się wewnątrz okręgu równa się półsumie łuków: \\(\\tfrac{|AB|+|DC|}{2}\\). Łuki: \\(|AB| = 2\\cdot 20^{\\circ} = 40^{\\circ}\\) (wpisany \\(ADB\\)), \\(|DC|=2\\cdot 40^{\\circ}=80^{\\circ}\\). Kąt \\(= \\tfrac{40^{\\circ}+80^{\\circ}}{2} = 60^{\\circ}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 80°** - tylko łuk \\(DC\\).\n- **C. 50°** - średnia \\(\\tfrac{20+40+40}{2}\\) - niewłaściwa formuła.\n- **D. 40°** - tylko jeden kąt wpisany.\n\n**Trik:** kąt między cięciwami \\(=\\) półsuma dwóch łuków wyznaczonych przez cięciwy.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Trygonometria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Dla każdego kąta ostrego 𝛼 wyrażenie cos 𝛼-cos 𝛼⋅sin2 𝛼 jest równe<br>A. cos3 𝛼<br>B. sin2 𝛼<br>C. 1 -sin2 𝛼<br>D. cos 𝛼</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie cosα - cosα⋅sin²α jest równe A. cos³α B. sin²α C. 1-sin²α D. cosα</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VII.2) korzysta z wzorów<br>sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(60°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Twierdzenie o kącie między cięciwami (kąt środkowy)</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy miary łuków na podstawie kątów wpisanych.</strong></p>\n<p>Kąt wpisany jest równy <strong>połowie łuku</strong>, na którym jest oparty.</p>\n<p>Kąt \\(\\angle ADB = 20°\\) jest oparty na łuku \\(AB\\) (bez punktu \\(D\\)):<br>\\[\\text{łuk } AB = 2 \\cdot 20° = 40°\\]</p>\n<p>Kąt \\(\\angle DBC = 40°\\) jest oparty na łuku \\(DC\\) (bez punktu \\(B\\)):<br>\\[\\text{łuk } DC = 2 \\cdot 40° = 80°\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Zastosowanie twierdzenia o kącie między przecinającymi się cięciwami.</strong></p>\n<p>Gdy dwie cięciwy przecinają się <strong>wewnątrz okręgu</strong>, kąt między nimi jest równy połowie sumy dwóch naprzeciwległych łuków:<br>\\[\\angle DKC = \\frac{\\text{łuk } DC + \\text{łuk } AB}{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Podstawiamy wartości:</strong><br>\\[\\angle DKC = \\frac{80° + 40°}{2} = \\frac{120°}{2} = \\mathbf{60°}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Kąt zewnętrzny trójkąta (kąt jako suma kątów trójkąta)</h4>\n<p><strong>Rozważamy trójkąt \\(BKC\\)</strong>, gdzie \\(K\\) leży na cięciwie \\(BD\\) i cięciwie \\(AC\\).</p>\n<p><strong>Kąt \\(\\angle KBC\\):</strong> to dany kąt wpisany \\(\\angle DBC = 40°\\), bo \\(K\\) leży na odcinku \\(BD\\).</p>\n<p><strong>Kąt \\(\\angle KCB = \\angle ACB\\):</strong> kąt wpisany oparty na łuku \\(AB\\):<br>\\[\\angle ACB = \\frac{\\text{łuk } AB}{2} = \\frac{40°}{2} = 20°\\]</p>\n<p><strong>Suma kątów trójkąta \\(BKC\\):</strong><br>\\[\\angle BKC = 180° - \\angle KBC - \\angle KCB = 180° - 40° - 20° = 120°\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(D\\), \\(K\\), \\(B\\) są współliniowe (leżą na cięciwie \\(BD\\)), kąty \\(\\angle DKC\\) i \\(\\angle BKC\\) są <strong>kątami suplementarnymi</strong>:<br>\\[\\angle DKC = 180° - \\angle BKC = 180° - 120° = \\mathbf{60°}\\]</p>\n<p>Oba sposoby dają ten sam wynik - <strong>potwierdzono</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - kąt wpisany i kąt środkowy:</p>\n<blockquote>Kąt wpisany = połowa kąta środkowego (opartego na tym samym łuku)</blockquote>\n<p>Użyliśmy tego, by z kątów wpisanych \\(20°\\) i \\(40°\\) wyliczyć łuki \\(AB = 40°\\) i \\(DC = 80°\\).</p>\n<p><strong>Twierdzenie o cięciwach</strong> (wywodzi się z własności kątów wpisanych, s. 19):</p>\n<p>\\[\\angle DKC = \\frac{\\text{łuk } DC + \\text{łuk } AB}{2}\\]</p>\n<p>To twierdzenie nie jest wprost podane na karcie CKE, ale wynika bezpośrednio z faktu, że kąt między cięciwami jest <strong>kątem zewnętrznym trójkąta wpisanego w okrąg</strong> - co pokazaliśmy w Sposobie 2.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> \\(80°\\) | Wzięto tylko jeden łuk \\(DC = 80°\\) bez dzielenia przez 2, albo pominięto łuk \\(AB\\) |<br>| <strong>C</strong> \\(50°\\) | Zsumowano same kąty wpisane zamiast łuków: \\(\\frac{20° + 40°}{2} \\cdot 2 = \\), błąd rachunkowy |<br>| <strong>D</strong> \\(40°\\) | Przepisano wprost dany kąt \\(\\angle DBC = 40°\\) bez żadnych obliczeń |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt wpisany = <strong>połowa</strong> łuku - łatwo zapomnieć o mnożeniu razy 2 przy przeliczaniu na łuk.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na kąt między cięciwami to <strong>pół sumy</strong> dwóch naprzeciwległych łuków - nie jednego! Pominięcie łuku \\(AB\\) to najczęstszy błąd w tym typie zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź, które dwa łuki są „naprzeciwległe&quot; - to te, które są „wycinane&quot; przez ramiona kąta \\(DKC\\), czyli łuk \\(DC\\) (między ramionami od strony \\(D\\) i \\(C\\)) i łuk \\(AB\\) (po przeciwnej stronie).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Kąt zewnętrzny trójkąta</h5>\n<p>W trójkącie \\(BDK\\) (gdzie \\(K\\) to przecięcie \\(AC\\) i \\(BD\\)) kąt \\(DKC\\) jest kątem zewnętrznym przy \\(K\\), równym sumie kątów wewnętrznych niesąsiednich: \\(|\\angle ADB|+|\\angle DBC| = 20^{\\circ}+40^{\\circ} = 60^{\\circ}.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Kąt między cięciwami</h5>\n<p>Kąt między dwiema cięciwami przecinającymi się wewnątrz okręgu równa się półsumie łuków: \\(\\tfrac{|AB|+|DC|}{2}\\). Łuki: \\(|AB| = 2\\cdot 20^{\\circ} = 40^{\\circ}\\) (wpisany \\(ADB\\)), \\(|DC|=2\\cdot 40^{\\circ}=80^{\\circ}\\). Kąt \\(= \\tfrac{40^{\\circ}+80^{\\circ}}{2} = 60^{\\circ}.\\)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. 80°</strong> - tylko łuk \\(DC\\).</li><li><strong>C. 50°</strong> - średnia \\(\\tfrac{20+40+40}{2}\\) - niewłaściwa formuła.</li><li><strong>D. 40°</strong> - tylko jeden kąt wpisany.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> kąt między cięciwami \\(=\\) półsuma dwóch łuków wyznaczonych przez cięciwy.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od wyrażenia, które mamy rozwiązać:</li></ol>\n<p>$$ E = \\\\cos \\alpha - \\cos \\alpha \\cdot \\sin^2 \\alpha $$</p>\n<ol><li>W pierwszym kroku możemy wyciągnąć wspólny czynnik $\\cos \\alpha$ z obu składników:</li></ol>\n<p>$$ E = \\cos \\alpha (1 - \\sin^2 \\alpha) $$</p>\n<ol><li>Zauważ, że w matematyce istnieje tożsamość trygonometryczna:</li></ol>\n<p>$$ 1 - \\sin^2 \\alpha = \\cos^2 \\alpha $$<br>Dzięki temu możemy podstawić $\\cos^2 \\alpha$ do naszego równania.</p>\n<ol><li>Podstawiamy zidentyfikowaną tożsamość do wyrażenia:</li></ol>\n<p>$$ E = \\cos \\alpha \\cdot \\cos^2 \\alpha $$</p>\n<ol><li>Teraz możemy uprościć to wyrażenie, ponieważ mnożymy czynnik $\\cos \\alpha$:</li></ol>\n<p>$$ E = \\cos^3 \\alpha $$</p>\n<ol><li>Zauważamy, że nasze uproszczone wyrażenie to $\\cos^3 \\alpha$, co odpowiada opcji A w zadaniu.</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> A</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>cosα-cosαsin^2α<br>=cosα(1-sin^2α)<br>=cosαcos^2α<br>=cos^3α.</p>"}]}