{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑥 iloczyn √𝑥⋅√𝑥\n3\n⋅√𝑥\n6\njest równy\nA. 𝑥\nB. √𝑥\n10\nC. √𝑥\n18\nD. 𝑥2\n\nMMAP-P0_100\nDla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x iloczyn √x⋅∛x⋅(pierwiastek 6 stopnia z x) jest równy A. x B. pierwiastek 10 stopnia z x C. pierwiastek 18 stopnia z x D. x²","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.4) stosuje związek pierwiastkowania\nz potęgowaniem oraz prawa działań na\npotęgach i pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(x\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana pierwiastków na potęgi o wykładnikach wymiernych\n\nKażdy pierwiastek zamieniamy na potęgę z ułamkowym wykładnikiem:\n\n\\[\\sqrt{x} = x^{\\frac{1}{2}}, \\quad \\sqrt[3]{x} = x^{\\frac{1}{3}}, \\quad \\sqrt[6]{x} = x^{\\frac{1}{6}}\\]\n\nTeraz iloczyn wygląda tak:\n\n\\[\\sqrt{x} \\cdot \\sqrt[3]{x} \\cdot \\sqrt[6]{x} = x^{\\frac{1}{2}} \\cdot x^{\\frac{1}{3}} \\cdot x^{\\frac{1}{6}}\\]\n\nPrzy mnożeniu potęg o tej samej podstawie **dodajemy wykładniki**:\n\n\\[x^{\\frac{1}{2}} \\cdot x^{\\frac{1}{3}} \\cdot x^{\\frac{1}{6}} = x^{\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{6}}\\]\n\nLiczymy sumę ułamków - sprowadzamy do wspólnego mianownika 6:\n\n\\[\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{6} = \\frac{3}{6} + \\frac{2}{6} + \\frac{1}{6} = \\frac{6}{6} = 1\\]\n\nZatem:\n\n\\[x^{\\frac{1}{2}} \\cdot x^{\\frac{1}{3}} \\cdot x^{\\frac{1}{6}} = x^1 = x\\]\n\n**Odpowiedź: A.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja na konkretnej liczbie\n\nPodstawmy \\(x = 64\\), bo \\(64 = 2^6\\) - wygodnie liczyć wszystkie pierwiastki:\n\n\\[\\sqrt{64} = 8, \\quad \\sqrt[3]{64} = 4, \\quad \\sqrt[6]{64} = 2\\]\n\nIloczyn:\n\n\\[8 \\cdot 4 \\cdot 2 = 64\\]\n\nWynik to dokładnie \\(64 = x\\), co potwierdza odpowiedź A.\n\nSprawdźmy, czy inne odpowiedzi dają inne wartości dla \\(x = 64\\):\n- B: \\(\\sqrt[10]{64} = 64^{0{,}1} \\approx 1{,}87\\) - nie to\n- C: \\(\\sqrt[18]{64} = 64^{1/18} \\approx 1{,}46\\) - nie to\n- D: \\(64^2 = 4096\\) - nie to\n\nTylko odpowiedź A daje wynik równy 64.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzór na pierwiastek jako potęgę o wykładniku wymiernym:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}, \\quad \\text{w szczególności } \\sqrt[n]{a} = a^{\\frac{1}{n}}\\]\n\nWzór na mnożenie potęg o tej samej podstawie:\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\nOba wzory były kluczowe w Sposobie 1: najpierw zamieniamy pierwiastki na potęgi, potem sumujemy wykładniki.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń zamiast **dodać** wykładniki \\(\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{6}\\), **mnoży** mianowniki: \\(2 \\cdot 3 \\cdot 6 = 36\\), a następnie bierze odwrotność \\(\\frac{1}{10}\\) lub podobnie błądzi w arytmetyce ułamków |\n| C | Błędne dodawanie: uczeń sumuje mianowniki bez sprowadzania do wspólnego mianownika, dostając \\(\\frac{1}{2+3+6} = \\frac{1}{11}\\) albo mnoży \\(2 \\cdot 3 \\cdot 6 = 36\\) i bierze \\(\\frac{3}{36} = \\frac{1}{18}\\) po jakimś błędnym uproszczeniu |\n| D | Uczeń **mnoży** wykładniki zamiast je dodawać: \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{6}\\) lub myli regułę mnożenia potęg z potęgowaniem potęgi \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu potęg **dodajemy** wykładniki (\\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\)), a nie mnożymy. Mnożenie wykładników dotyczy tylko potęgowania potęgi: \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\). To dwa różne wzory!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dodawanie ułamków \\(\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{6}\\) wymaga **wspólnego mianownika**. Nie dodajemy mianowników do siebie (\\(2+3+6 \\neq\\) mianownik sumy).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli nie jesteś pewien wyniku - sprawdź na konkretnej liczbie (jak \\(x = 64\\) wyżej). To zawsze bezpieczna kontrola na egzaminie!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Potęgi o wykładniku wymiernym\n\\(\\sqrt{x}\\cdot\\sqrt[3]{x}\\cdot\\sqrt[6]{x} = x^{1/2}\\cdot x^{1/3}\\cdot x^{1/6} = x^{1/2+1/3+1/6} = x^{3/6+2/6+1/6} = x^{6/6} = x.\\)\n\n### Sposób 2 - Wspólny stopień pierwiastka\nSprowadzamy do pierwiastka szóstego stopnia: \\(\\sqrt{x}=\\sqrt[6]{x^{3}}\\), \\(\\sqrt[3]{x}=\\sqrt[6]{x^{2}}\\). Iloczyn: \\(\\sqrt[6]{x^{3}\\cdot x^{2}\\cdot x} = \\sqrt[6]{x^{6}} = x.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\sqrt[10]{x}\\)** - ktoś dodał mianowniki stopni: \\(2+3+6\\) zamiast dodać wykładniki.\n- **C. \\(\\sqrt[18]{x}\\)** - to NWW mianowników, nie wynik.\n- **D. \\(x^{2}\\)** - błąd, suma wykładników daje \\(1\\), nie \\(2\\).\n\n**Trik:** \\(\\sqrt[n]{x}=x^{1/n}\\) i dodajemy wykładniki przy mnożeniu.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Funkcja wykładnicza, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑥 iloczyn √𝑥⋅√𝑥<br>3<br>⋅√𝑥<br>6<br>jest równy<br>A. 𝑥<br>B. √𝑥<br>10<br>C. √𝑥<br>18<br>D. 𝑥2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x iloczyn √x⋅∛x⋅(pierwiastek 6 stopnia z x) jest równy A. x B. pierwiastek 10 stopnia z x C. pierwiastek 18 stopnia z x D. x²</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>I.4) stosuje związek pierwiastkowania<br>z potęgowaniem oraz prawa działań na<br>potęgach i pierwiastkach.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(x\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zamiana pierwiastków na potęgi o wykładnikach wymiernych</h4>\n<p>Każdy pierwiastek zamieniamy na potęgę z ułamkowym wykładnikiem:</p>\n<p>\\[\\sqrt{x} = x^{\\frac{1}{2}}, \\quad \\sqrt[3]{x} = x^{\\frac{1}{3}}, \\quad \\sqrt[6]{x} = x^{\\frac{1}{6}}\\]</p>\n<p>Teraz iloczyn wygląda tak:</p>\n<p>\\[\\sqrt{x} \\cdot \\sqrt[3]{x} \\cdot \\sqrt[6]{x} = x^{\\frac{1}{2}} \\cdot x^{\\frac{1}{3}} \\cdot x^{\\frac{1}{6}}\\]</p>\n<p>Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie <strong>dodajemy wykładniki</strong>:</p>\n<p>\\[x^{\\frac{1}{2}} \\cdot x^{\\frac{1}{3}} \\cdot x^{\\frac{1}{6}} = x^{\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{6}}\\]</p>\n<p>Liczymy sumę ułamków - sprowadzamy do wspólnego mianownika 6:</p>\n<p>\\[\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{6} = \\frac{3}{6} + \\frac{2}{6} + \\frac{1}{6} = \\frac{6}{6} = 1\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[x^{\\frac{1}{2}} \\cdot x^{\\frac{1}{3}} \\cdot x^{\\frac{1}{6}} = x^1 = x\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: A.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja na konkretnej liczbie</h4>\n<p>Podstawmy \\(x = 64\\), bo \\(64 = 2^6\\) - wygodnie liczyć wszystkie pierwiastki:</p>\n<p>\\[\\sqrt{64} = 8, \\quad \\sqrt[3]{64} = 4, \\quad \\sqrt[6]{64} = 2\\]</p>\n<p>Iloczyn:</p>\n<p>\\[8 \\cdot 4 \\cdot 2 = 64\\]</p>\n<p>Wynik to dokładnie \\(64 = x\\), co potwierdza odpowiedź A.</p>\n<p>Sprawdźmy, czy inne odpowiedzi dają inne wartości dla \\(x = 64\\):</p>\n<ul><li>B: \\(\\sqrt[10]{64} = 64^{0{,}1} \\approx 1{,}87\\) - nie to</li><li>C: \\(\\sqrt[18]{64} = 64^{1/18} \\approx 1{,}46\\) - nie to</li><li>D: \\(64^2 = 4096\\) - nie to</li></ul>\n<p>Tylko odpowiedź A daje wynik równy 64.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong></p>\n<p>Wzór na pierwiastek jako potęgę o wykładniku wymiernym:<br>\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}, \\quad \\text{w szczególności } \\sqrt[n]{a} = a^{\\frac{1}{n}}\\]</p>\n<p>Wzór na mnożenie potęg o tej samej podstawie:<br>\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]</p>\n<p>Oba wzory były kluczowe w Sposobie 1: najpierw zamieniamy pierwiastki na potęgi, potem sumujemy wykładniki.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | Uczeń zamiast <strong>dodać</strong> wykładniki \\(\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{6}\\), <strong>mnoży</strong> mianowniki: \\(2 \\cdot 3 \\cdot 6 = 36\\), a następnie bierze odwrotność \\(\\frac{1}{10}\\) lub podobnie błądzi w arytmetyce ułamków |<br>| C | Błędne dodawanie: uczeń sumuje mianowniki bez sprowadzania do wspólnego mianownika, dostając \\(\\frac{1}{2+3+6} = \\frac{1}{11}\\) albo mnoży \\(2 \\cdot 3 \\cdot 6 = 36\\) i bierze \\(\\frac{3}{36} = \\frac{1}{18}\\) po jakimś błędnym uproszczeniu |<br>| D | Uczeń <strong>mnoży</strong> wykładniki zamiast je dodawać: \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{6}\\) lub myli regułę mnożenia potęg z potęgowaniem potęgi \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy mnożeniu potęg <strong>dodajemy</strong> wykładniki (\\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\)), a nie mnożymy. Mnożenie wykładników dotyczy tylko potęgowania potęgi: \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\). To dwa różne wzory!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dodawanie ułamków \\(\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{6}\\) wymaga <strong>wspólnego mianownika</strong>. Nie dodajemy mianowników do siebie (\\(2+3+6 \\neq\\) mianownik sumy).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Jeśli nie jesteś pewien wyniku - sprawdź na konkretnej liczbie (jak \\(x = 64\\) wyżej). To zawsze bezpieczna kontrola na egzaminie!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Potęgi o wykładniku wymiernym</h5>\n<p>\\(\\sqrt{x}\\cdot\\sqrt[3]{x}\\cdot\\sqrt[6]{x} = x^{1/2}\\cdot x^{1/3}\\cdot x^{1/6} = x^{1/2+1/3+1/6} = x^{3/6+2/6+1/6} = x^{6/6} = x.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Wspólny stopień pierwiastka</h5>\n<p>Sprowadzamy do pierwiastka szóstego stopnia: \\(\\sqrt{x}=\\sqrt[6]{x^{3}}\\), \\(\\sqrt[3]{x}=\\sqrt[6]{x^{2}}\\). Iloczyn: \\(\\sqrt[6]{x^{3}\\cdot x^{2}\\cdot x} = \\sqrt[6]{x^{6}} = x.\\)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\sqrt[10]{x}\\)</strong> - ktoś dodał mianowniki stopni: \\(2+3+6\\) zamiast dodać wykładniki.</li><li><strong>C. \\(\\sqrt[18]{x}\\)</strong> - to NWW mianowników, nie wynik.</li><li><strong>D. \\(x^{2}\\)</strong> - błąd, suma wykładników daje \\(1\\), nie \\(2\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(\\sqrt[n]{x}=x^{1/n}\\) i dodajemy wykładniki przy mnożeniu.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, pierwiastki można zapisać jako: $\\sqrt{x}=x^{\\frac{1}{2}}$, $\\sqrt[3]{x}=x^{\\frac{1}{3}}$, $\\sqrt[6]{x}=x^{\\frac{1}{6}}$, korzystając z własności potęg, mamy $x^{\\frac{1}{2}}\\cdot x^{\\frac{1}{3}}\\cdot x^{\\frac{1}{6}}=x^{\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{6}}$, a dodając te potęgi, otrzymujemy $\\frac{3}{6}+\\frac{2}{6}+\\frac{1}{6}=1$, co prowadzi do $x^1=x$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>√(x)·√3·√6<br>=x^(1)/(2)+(1)/(3)+(1)/(6)=x.</p>"}]}