{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-2)\nDany jest trójkąt, którego kąty mają miary 30°, 45° oraz 105°. Długości boków trójkąta,\nleżących naprzeciwko tych kątów są równe - odpowiednio - 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 (zobacz rysunek).\nUzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami\nA-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.\nPole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami:\noraz\nA.\n√2\n2 ⋅𝑎⋅𝑐\nB. 1\n4 ⋅𝑎⋅𝑐\nC.\n√2\n4 ⋅𝑎⋅𝑐\nD.\n√3\n4 ⋅𝑏⋅𝑐\nE. 1\n2 ⋅𝑏⋅𝑐\nF. 1\n4 ⋅𝑏⋅𝑐\n45°\n30°\n105°\n𝑎\n𝑐\n𝑏\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt, którego kąty mają miary 30°, 45° oraz 105°. Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe - odpowiednio - a,b oraz c (zobacz rysunek). [rysunek] Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A - F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami: ............. oraz ............. . A. √2/2⋅a⋅c A. 1/4⋅a⋅c C. √2/4⋅a⋅c D. √3/4⋅b⋅c E. 1/2⋅b⋅c F. 1/4⋅b⋅c","answer":"CF","answer_text":"Zadanie 20. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.3) stosuje […] wzór na pole trójkąta\n𝑃=\n1\n2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin 𝛾.\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne: C i F.\n1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna: C albo F.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nCF\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(8\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na pole równoległoboku przez sinus kąta\n\n**Co wiemy:**\n- \\(P = 40\\sqrt{6}\\)\n- \\(|AD| = 10\\) (to jeden bok)\n- \\(\\angle ABC = 135°\\)\n- Szukamy \\(|AB|\\)\n\n**Krok 1: Wyznacz kąt przy wierzchołku A.**\n\nW równoległoboku kąty sąsiednie są **suplementarne** (sumują się do \\(180°\\)):\n\\[\\angle DAB = 180° - \\angle ABC = 180° - 135° = 45°\\]\n\n**Krok 2: Zastosuj wzór na pole równoległoboku.**\n\n\\[P = |AB| \\cdot |AD| \\cdot \\sin(\\angle DAB)\\]\n\nPodstawiamy znane wartości:\n\\[40\\sqrt{6} = |AB| \\cdot 10 \\cdot \\sin 45°\\]\n\n**Krok 3: Oblicz \\(\\sin 45°\\).**\n\n\\[\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]\n\n**Krok 4: Wyznacz \\(|AB|\\).**\n\n\\[40\\sqrt{6} = |AB| \\cdot 10 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} = |AB| \\cdot 5\\sqrt{2}\\]\n\n\\[|AB| = \\frac{40\\sqrt{6}}{5\\sqrt{2}} = 8 \\cdot \\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{2}} = 8\\sqrt{\\frac{6}{2}} = \\mathbf{8\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - przez wysokość równoległoboku\n\n**Krok 1: Wyznacz wysokość \\(h\\) opuszczoną na bok \\(AB\\).**\n\nZ definicji pola równoległoboku:\n\\[P = |AB| \\cdot h \\quad \\Rightarrow \\quad h = \\frac{P}{|AB|}\\]\n\nAle można też wyrazić \\(h\\) przez trójkąt prostokątny z bokiem \\(AD = 10\\) i kątem \\(\\angle DAB = 45°\\):\n\\[h = |AD| \\cdot \\sin 45° = 10 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} = 5\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2: Z wzoru na pole wyznacz \\(|AB|\\).**\n\n\\[P = |AB| \\cdot h\\]\n\\[40\\sqrt{6} = |AB| \\cdot 5\\sqrt{2}\\]\n\\[|AB| = \\frac{40\\sqrt{6}}{5\\sqrt{2}} = 8\\sqrt{3}\\]\n\nTen sam wynik: **\\(|AB| = 8\\sqrt{3}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku:\n\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]\ngdzie \\(a, b\\) to długości sąsiednich boków, a \\(\\alpha\\) to kąt między nimi.\n\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - kąt między bokami \\(AB\\) i \\(AD\\) to \\(\\angle DAB = 45°\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - wartość \\(\\sin 45°\\):\n\\[\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B: \\(8\\sqrt{2}\\) | Użyto \\(\\sin 135°\\) zamiast \\(\\sin 45°\\) - ale i tak wychodzi to samo! Błąd jest gdzie indziej: wstawiono \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) i policzono \\(|AB| = \\frac{40\\sqrt{6}}{5\\sqrt{3}} = 8\\sqrt{2}\\) |\n| C: \\(16\\sqrt{2}\\) | Pominięto zamianę kąta - użyto \\(135°\\) i \\(\\sin 135° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\), ale jako \"kąt przy A\" zamiast sprawdzić suplementarność; błąd w upraszczaniu ułamka (zapomniano skrócić przez 2) |\n| D: \\(16\\sqrt{3}\\) | Nie podzielono przez \\(5\\), tylko przez \\(2{,}5\\), lub błąd w skracaniu \\(\\frac{40\\sqrt{6}}{5\\sqrt{2}}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu podany jest kąt \\(\\angle ABC = 135°\\) - to kąt **przy wierzchołku B**, czyli kąt **tępy** równoległoboku. Do wzoru na pole potrzebujemy kąta między bokami \\(AB\\) i \\(AD\\), czyli \\(\\angle DAB = 45°\\). Nie wstawiaj 135° do wzoru!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 135° = \\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) - przypadkowo wynik wychodzi tak samo, więc błąd w wyborze kąta w tym zadaniu nie psuje obliczeń. Mimo to zawsze stosuj właściwy kąt!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{2}}\\) pamiętaj: \\(\\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{2}} = \\sqrt{\\frac{6}{2}} = \\sqrt{3}\\), **nie** \\(\\sqrt{4} = 2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(P = ab\\sin\\gamma\\)\nKąt \\(DAB = 180^{\\circ}-135^{\\circ} = 45^{\\circ}\\) (kąty sąsiednie równoległoboku).\n\\(P = |AB|\\cdot|AD|\\cdot\\sin 45^{\\circ}\\)\n\\(40\\sqrt{6} = |AB|\\cdot 10\\cdot \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} = 5\\sqrt{2}\\cdot |AB|.\\)\n\\(|AB| = \\dfrac{40\\sqrt{6}}{5\\sqrt{2}} = 8\\cdot\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3}.\\)\n\n### Sposób 2 - Z \\(\\sin 135^{\\circ}\\) (z karty wzorów)\n\\(\\sin 135^{\\circ} = \\sin 45^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\). Zachowuje się ten sam wynik.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(8\\sqrt{2}\\)** - błąd w upraszczaniu \\(\\sqrt{6}/\\sqrt{2}\\).\n- **C. \\(16\\sqrt{2}\\)** - użyto \\(\\sin 30^{\\circ}\\).\n- **D. \\(16\\sqrt{3}\\)** - podwojony wynik.\n\n**Trik:** \\(\\dfrac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{2}} = \\sqrt{3}\\) - upraszczanie pierwiastków przy dzieleniu.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Planimetria, Trygonometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 20. (0-2)<br>Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary 30°, 45° oraz 105°. Długości boków trójkąta,<br>leżących naprzeciwko tych kątów są równe - odpowiednio - 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 (zobacz rysunek).<br>Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami<br>A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.<br>Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami:<br>oraz<br>A.<br>√2<br>2 ⋅𝑎⋅𝑐<br>B. 1<br>4 ⋅𝑎⋅𝑐<br>C.<br>√2<br>4 ⋅𝑎⋅𝑐<br>D.<br>√3<br>4 ⋅𝑏⋅𝑐<br>E. 1<br>2 ⋅𝑏⋅𝑐<br>F. 1<br>4 ⋅𝑏⋅𝑐<br>45°<br>30°<br>105°<br>𝑎<br>𝑐<br>𝑏</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary 30°, 45° oraz 105°. Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe - odpowiednio - a,b oraz c (zobacz rysunek). [rysunek] Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A - F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami: ............. oraz ............. . A. √2/2⋅a⋅c A. 1/4⋅a⋅c C. √2/4⋅a⋅c D. √3/4⋅b⋅c E. 1/2⋅b⋅c F. 1/4⋅b⋅c</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VII.3) stosuje […] wzór na pole trójkąta<br>𝑃=<br>1<br>2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin 𝛾.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne: C i F.<br>1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna: C albo F.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>CF<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(8\\sqrt{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzór na pole równoległoboku przez sinus kąta</h4>\n<p><strong>Co wiemy:</strong></p>\n<ul><li>\\(P = 40\\sqrt{6}\\)</li><li>\\(|AD| = 10\\) (to jeden bok)</li><li>\\(\\angle ABC = 135°\\)</li><li>Szukamy \\(|AB|\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz kąt przy wierzchołku A.</strong></p>\n<p>W równoległoboku kąty sąsiednie są <strong>suplementarne</strong> (sumują się do \\(180°\\)):<br>\\[\\angle DAB = 180° - \\angle ABC = 180° - 135° = 45°\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Zastosuj wzór na pole równoległoboku.</strong></p>\n<p>\\[P = |AB| \\cdot |AD| \\cdot \\sin(\\angle DAB)\\]</p>\n<p>Podstawiamy znane wartości:<br>\\[40\\sqrt{6} = |AB| \\cdot 10 \\cdot \\sin 45°\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Oblicz \\(\\sin 45°\\).</strong></p>\n<p>\\[\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Wyznacz \\(|AB|\\).</strong></p>\n<p>\\[40\\sqrt{6} = |AB| \\cdot 10 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} = |AB| \\cdot 5\\sqrt{2}\\]</p>\n<p>\\[|AB| = \\frac{40\\sqrt{6}}{5\\sqrt{2}} = 8 \\cdot \\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{2}} = 8\\sqrt{\\frac{6}{2}} = \\mathbf{8\\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - przez wysokość równoległoboku</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz wysokość \\(h\\) opuszczoną na bok \\(AB\\).</strong></p>\n<p>Z definicji pola równoległoboku:<br>\\[P = |AB| \\cdot h \\quad \\Rightarrow \\quad h = \\frac{P}{|AB|}\\]</p>\n<p>Ale można też wyrazić \\(h\\) przez trójkąt prostokątny z bokiem \\(AD = 10\\) i kątem \\(\\angle DAB = 45°\\):<br>\\[h = |AD| \\cdot \\sin 45° = 10 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} = 5\\sqrt{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Z wzoru na pole wyznacz \\(|AB|\\).</strong></p>\n<p>\\[P = |AB| \\cdot h\\]<br>\\[40\\sqrt{6} = |AB| \\cdot 5\\sqrt{2}\\]<br>\\[|AB| = \\frac{40\\sqrt{6}}{5\\sqrt{2}} = 8\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Ten sam wynik: <strong>\\(|AB| = 8\\sqrt{3}\\)</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)</strong> - pole równoległoboku:<br>\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]<br>gdzie \\(a, b\\) to długości sąsiednich boków, a \\(\\alpha\\) to kąt między nimi.</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach - kąt między bokami \\(AB\\) i \\(AD\\) to \\(\\angle DAB = 45°\\).</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 12)</strong> - wartość \\(\\sin 45°\\):<br>\\[\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B: \\(8\\sqrt{2}\\) | Użyto \\(\\sin 135°\\) zamiast \\(\\sin 45°\\) - ale i tak wychodzi to samo! Błąd jest gdzie indziej: wstawiono \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) i policzono \\(|AB| = \\frac{40\\sqrt{6}}{5\\sqrt{3}} = 8\\sqrt{2}\\) |<br>| C: \\(16\\sqrt{2}\\) | Pominięto zamianę kąta - użyto \\(135°\\) i \\(\\sin 135° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\), ale jako &quot;kąt przy A&quot; zamiast sprawdzić suplementarność; błąd w upraszczaniu ułamka (zapomniano skrócić przez 2) |<br>| D: \\(16\\sqrt{3}\\) | Nie podzielono przez \\(5\\), tylko przez \\(2{,}5\\), lub błąd w skracaniu \\(\\frac{40\\sqrt{6}}{5\\sqrt{2}}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W zadaniu podany jest kąt \\(\\angle ABC = 135°\\) - to kąt <strong>przy wierzchołku B</strong>, czyli kąt <strong>tępy</strong> równoległoboku. Do wzoru na pole potrzebujemy kąta między bokami \\(AB\\) i \\(AD\\), czyli \\(\\angle DAB = 45°\\). Nie wstawiaj 135° do wzoru!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sin 135° = \\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) - przypadkowo wynik wychodzi tak samo, więc błąd w wyborze kąta w tym zadaniu nie psuje obliczeń. Mimo to zawsze stosuj właściwy kąt!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy upraszczaniu \\(\\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{2}}\\) pamiętaj: \\(\\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{2}} = \\sqrt{\\frac{6}{2}} = \\sqrt{3}\\), <strong>nie</strong> \\(\\sqrt{4} = 2\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór \\(P = ab\\sin\\gamma\\)</h5>\n<p>Kąt \\(DAB = 180^{\\circ}-135^{\\circ} = 45^{\\circ}\\) (kąty sąsiednie równoległoboku).<br>\\(P = |AB|\\cdot|AD|\\cdot\\sin 45^{\\circ}\\)<br>\\(40\\sqrt{6} = |AB|\\cdot 10\\cdot \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} = 5\\sqrt{2}\\cdot |AB|.\\)<br>\\(|AB| = \\dfrac{40\\sqrt{6}}{5\\sqrt{2}} = 8\\cdot\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3}.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Z \\(\\sin 135^{\\circ}\\) (z karty wzorów)</h5>\n<p>\\(\\sin 135^{\\circ} = \\sin 45^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\). Zachowuje się ten sam wynik.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(8\\sqrt{2}\\)</strong> - błąd w upraszczaniu \\(\\sqrt{6}/\\sqrt{2}\\).</li><li><strong>C. \\(16\\sqrt{2}\\)</strong> - użyto \\(\\sin 30^{\\circ}\\).</li><li><strong>D. \\(16\\sqrt{3}\\)</strong> - podwojony wynik.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(\\dfrac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{2}} = \\sqrt{3}\\) - upraszczanie pierwiastków przy dzieleniu.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Dla boków a i c :</p>\n<p>P=(1)/(2)acsin45^°=(√(2))/(4)ac,</p>\n<p>czyli C.</p>\n<p>Dla boków b i c :</p>\n<p>P=(1)/(2)bcsin30^°=(1)/(4)bc,</p>\n<p>czyli F.</p>"}]}