{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nOdcinek 𝐴𝐵 jest średnicą okręgu o środku 𝑆. Prosta 𝑘 jest styczna do tego okręgu\nw punkcie 𝐴. Prosta 𝑙 przecina ten okrąg w punktach 𝐵 i 𝐶. Proste 𝑘 i 𝑙 przecinają się\nw punkcie 𝐷, przy czym |𝐵𝐶| = 4 i |𝐶𝐷| = 3 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOdległość punktu 𝐴 od prostej 𝑙 jest równa\nA. 7\n2\nB. 5\nC. √12\nD. √3 + 2\n𝐴\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝑘\n𝑙\n𝑆\n4\n3\n\nMMAP-P0_100\nOdcinek AB jest średnicą okręgu o środku S. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A. Prosta l przecina ten okrąg w punktach B i C. Proste k i l przecinają się w punkcie D, przy czym |BC|=4 i |CD|=3 (zobacz rysunek). [rysunek] Odległość punktu A od prostej l jest równa A. 7/2 B. 5 C. √12 D. √3+2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.1) wyznacza promienie i średnice\nokręgów, długości cięciw okręgów oraz\nodcinków stycznych, w tym\nz wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\sqrt{12}\\)\n\n## Sposób 1 - potęga punktu + twierdzenie Talesa\n\n**Krok 1: Wyznacz |DB|**\n\nPunkty D, C, B leżą na prostej \\(l\\) w tej kolejności:\n\\[|DB| = |DC| + |CB| = 3 + 4 = 7\\]\n\n**Krok 2: Zastosuj potęgę punktu D względem okręgu**\n\nProsta \\(k\\) jest styczna do okręgu w punkcie \\(A\\) - czyli \\(DA\\) jest sieczną styczną.\nProsta \\(l\\) jest sieczną dwupunktową (przecina okrąg w \\(B\\) i \\(C\\)).\n\nZ własności potęgi punktu:\n\\[|DA|^2 = |DC| \\cdot |DB| = 3 \\cdot 7 = 21\\]\n\\[\\boxed{|DA| = \\sqrt{21}}\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz średnicę |AB|**\n\nPonieważ \\(k\\) jest styczna do okręgu w punkcie \\(A\\), a \\(AB\\) jest średnicą (promień \\(SA\\) jest prostopadły do stycznej), mamy:\n\\[\\angle DAB = 90°\\]\n\nW trójkącie prostokątnym \\(DAB\\) (kąt prosty w \\(A\\)):\n\\[|AB|^2 = |DB|^2 - |DA|^2 = 49 - 21 = 28\\]\n\\[|AB| = 2\\sqrt{7}\\]\n\n**Krok 4: Zastosuj twierdzenie Talesa (kąt wpisany oparty na średnicy)**\n\nPonieważ \\(AB\\) jest średnicą okręgu, kąt wpisany oparty na tej średnicy wynosi \\(90°\\):\n\\[\\angle ACB = 90°\\]\n\n**Kluczowy wniosek:** \\(CA \\perp CB\\), a skoro \\(CB\\) leży na prostej \\(l\\), to \\(CA \\perp l\\).\n\nZatem **odległość punktu \\(A\\) od prostej \\(l\\) jest równa \\(|AC|\\)**.\n\n**Krok 5: Oblicz |AC| z trójkąta prostokątnego ACB**\n\n\\[|AC|^2 = |AB|^2 - |BC|^2 = 28 - 16 = 12\\]\n\\[\\boxed{|AC| = \\sqrt{12}}\\]\n\n## Sposób 2 - układ współrzędnych (weryfikacja)\n\nPrzyjmijmy środek \\(S = (0, 0)\\), więc \\(A = (-r, 0)\\), \\(B = (r, 0)\\).\n\nStyczna \\(k\\) w punkcie \\(A\\) jest pionowa: \\(x = -r\\).\n\nPunkt \\(D\\) leży na \\(k\\), więc \\(D = (-r, h)\\) dla pewnego \\(h > 0\\).\n\n\\[|DA| = h, \\quad |DB| = \\sqrt{(2r)^2 + h^2}\\]\n\nZ warunków zadania:\n\\[|DB| = 7 \\implies 4r^2 + h^2 = 49\\]\n\\[|DA|^2 = 21 \\implies h^2 = 21\\]\n\nStąd:\n\\[4r^2 = 49 - 21 = 28 \\implies r = \\sqrt{7}\\]\n\nRównanie prostej \\(l\\) przechodzącej przez \\(D = (-\\sqrt{7},\\, \\sqrt{21})\\) i \\(B = (\\sqrt{7},\\, 0)\\):\n\nWektor kierunkowy: \\([2\\sqrt{7},\\, -\\sqrt{21}]\\), równanie ogólne prostej:\n\\[\\sqrt{21}\\,x + 2\\sqrt{7}\\,y - \\sqrt{21}\\cdot\\sqrt{7} = 0\\]\n\nOdległość punktu \\(A = (-\\sqrt{7}, 0)\\) od tej prostej:\n\\[d = \\frac{|\\sqrt{21}\\cdot(-\\sqrt{7}) + 2\\sqrt{7}\\cdot 0 - \\sqrt{147}|}{\\sqrt{21 + 28}} = \\frac{|-\\sqrt{147} - \\sqrt{147}|}{\\sqrt{49}} = \\frac{2\\sqrt{147}}{7} = \\frac{2 \\cdot 7\\sqrt{3}}{7} = 2\\sqrt{3} = \\sqrt{12}\\]\n\nWynik zgodny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany oparty na średnicy:\n> Kąt wpisany oparty na średnicy wynosi \\(90°\\).\n> Użyliśmy tego w Kroku 4 - skoro \\(AB\\) jest średnicą, to \\(\\angle ACB = 90°\\), co oznacza \\(CA \\perp l\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - potęga punktu (twierdzenie o stycznej i siecznej):\n\\[|DA|^2 = |DC| \\cdot |DB|\\]\n> Użyliśmy tego w Kroku 2 do wyznaczenia \\(|DA|\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\n> Użyliśmy dwukrotnie: w Kroku 3 (trójkąt \\(DAB\\)) oraz w Kroku 5 (trójkąt \\(ACB\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(\\frac{7}{2}\\) | Uczeń myśli, że odległość = \\(\\frac{|DC|+|CB|}{2} = \\frac{7}{2}\\) (bez sensu geometrycznego - po prostu średnia dwóch odcinków) |\n| **B** \\(5\\) | Uczeń stosuje twierdzenie Pitagorasa do punktów \\(D, C, B\\) jak gdyby tworzyły trójkąt prostokątny: \\(\\sqrt{3^2+4^2}=5\\) - tymczasem \\(D, C, B\\) są **współliniowe**, więc to błąd! Część uczniów bierze tę \"piątkę\" jako gotową odpowiedź |\n| **D** \\(\\sqrt{3}+2\\) | Uczeń błędnie wyznacza \\(\\|AB\\|\\) (np. przyjmując \\(r=1\\)) i niepoprawnie liczy \\(\\|AC\\|\\) drogą trygonometryczną |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkty \\(D, C, B\\) są **współliniowe** - nie tworzą trójkąta. \\(|DB| = |DC| + |CB| = 7\\), a **nie** \\(\\sqrt{3^2+4^2}=5\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odległość punktu \\(A\\) od prostej \\(l\\) to **nie** \\(|DA|\\). Odcinek \\(DA\\) nie jest prostopadły do \\(l\\) - prostopadły do \\(l\\) jest właśnie \\(AC\\) (bo \\(\\angle ACB = 90°\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Potęga punktu działa tylko wtedy, gdy odcinki liczymy od punktu zewnętrznego do **obu** przecięć z okręgiem. Tu \\(|DC| = 3\\) (do bliższego) i \\(|DB| = 7\\) (do dalszego) - oba od punktu \\(D\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Moc punktu D\nPotęga punktu \\(D\\) względem okręgu: \\(|DA|^{2} = |DC|\\cdot |DB|\\) (bo \\(DA\\) styczna, \\(DCB\\) sieczna).\n\\(|DB| = |DC|+|CB| = 3+4 = 7\\).\n\\(|DA|^{2} = 3\\cdot 7 = 21 \\Rightarrow |DA| = \\sqrt{21}.\\)\n\nKąt \\(BAC\\) oparty na średnicy \\(AB\\) \\(\\Rightarrow |\\angle ACB| = 90^{\\circ}\\). Stąd \\(AC\\perp l\\), więc odległość \\(A\\) od \\(l\\) to \\(|AC|\\).\nTrójkąt \\(DAC\\) prostokątny w \\(A\\) (styczna \\(\\perp\\) promień, ale patrzymy inaczej): w trójkącie \\(DAC\\): \\(|DA|^{2} = |DC|^{2} + |AC|^{2}\\) (prostokątny w \\(C\\)), \\(21 = 9 + |AC|^{2}\\), \\(|AC|^{2}=12\\), \\(|AC| = \\sqrt{12}.\\)\n\n### Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów\nTrójkąt \\(ACB\\) prostokątny w \\(C\\). \\(CA\\) jest wysokością w trójkącie \\(DAB\\) prostokątnym w \\(A\\), więc z tw. o wysokości: \\(|AC|^{2} = |CB|\\cdot |CD| = 4\\cdot 3 = 12\\), \\(|AC|=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{7}{2}\\)** - średnia \\(3\\) i \\(4\\).\n- **B. 5** - z \\(\\sqrt{9+16}\\), ale to nie jest ta długość.\n- **D. \\(\\sqrt{3}+2\\)** - błędna konstrukcja.\n\n**Trik:** kąt wpisany oparty na średnicy to \\(90^{\\circ}\\); wysokość w trójkącie prostokątnym z przeciwprostokątnej: \\(h^{2}=p\\cdot q\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 21. (0-1)<br>Odcinek 𝐴𝐵 jest średnicą okręgu o środku 𝑆. Prosta 𝑘 jest styczna do tego okręgu<br>w punkcie 𝐴. Prosta 𝑙 przecina ten okrąg w punktach 𝐵 i 𝐶. Proste 𝑘 i 𝑙 przecinają się<br>w punkcie 𝐷, przy czym |𝐵𝐶| = 4 i |𝐶𝐷| = 3 (zobacz rysunek).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Odległość punktu 𝐴 od prostej 𝑙 jest równa<br>A. 7<br>2<br>B. 5<br>C. √12<br>D. √3 + 2<br>𝐴<br>𝐷<br>𝐶<br>𝐵<br>𝑘<br>𝑙<br>𝑆<br>4<br>3</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku S. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A. Prosta l przecina ten okrąg w punktach B i C. Proste k i l przecinają się w punkcie D, przy czym |BC|=4 i |CD|=3 (zobacz rysunek). [rysunek] Odległość punktu A od prostej l jest równa A. 7/2 B. 5 C. √12 D. √3+2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 21. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VIII.1) wyznacza promienie i średnice<br>okręgów, długości cięciw okręgów oraz<br>odcinków stycznych, w tym<br>z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(\\sqrt{12}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - potęga punktu + twierdzenie Talesa</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz |DB|</strong></p>\n<p>Punkty D, C, B leżą na prostej \\(l\\) w tej kolejności:<br>\\[|DB| = |DC| + |CB| = 3 + 4 = 7\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Zastosuj potęgę punktu D względem okręgu</strong></p>\n<p>Prosta \\(k\\) jest styczna do okręgu w punkcie \\(A\\) - czyli \\(DA\\) jest sieczną styczną.<br>Prosta \\(l\\) jest sieczną dwupunktową (przecina okrąg w \\(B\\) i \\(C\\)).</p>\n<p>Z własności potęgi punktu:<br>\\[|DA|^2 = |DC| \\cdot |DB| = 3 \\cdot 7 = 21\\]<br>\\[\\boxed{|DA| = \\sqrt{21}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznacz średnicę |AB|</strong></p>\n<p>Ponieważ \\(k\\) jest styczna do okręgu w punkcie \\(A\\), a \\(AB\\) jest średnicą (promień \\(SA\\) jest prostopadły do stycznej), mamy:<br>\\[\\angle DAB = 90°\\]</p>\n<p>W trójkącie prostokątnym \\(DAB\\) (kąt prosty w \\(A\\)):<br>\\[|AB|^2 = |DB|^2 - |DA|^2 = 49 - 21 = 28\\]<br>\\[|AB| = 2\\sqrt{7}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Zastosuj twierdzenie Talesa (kąt wpisany oparty na średnicy)</strong></p>\n<p>Ponieważ \\(AB\\) jest średnicą okręgu, kąt wpisany oparty na tej średnicy wynosi \\(90°\\):<br>\\[\\angle ACB = 90°\\]</p>\n<p><strong>Kluczowy wniosek:</strong> \\(CA \\perp CB\\), a skoro \\(CB\\) leży na prostej \\(l\\), to \\(CA \\perp l\\).</p>\n<p>Zatem <strong>odległość punktu \\(A\\) od prostej \\(l\\) jest równa \\(|AC|\\)</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 5: Oblicz |AC| z trójkąta prostokątnego ACB</strong></p>\n<p>\\[|AC|^2 = |AB|^2 - |BC|^2 = 28 - 16 = 12\\]<br>\\[\\boxed{|AC| = \\sqrt{12}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - układ współrzędnych (weryfikacja)</h4>\n<p>Przyjmijmy środek \\(S = (0, 0)\\), więc \\(A = (-r, 0)\\), \\(B = (r, 0)\\).</p>\n<p>Styczna \\(k\\) w punkcie \\(A\\) jest pionowa: \\(x = -r\\).</p>\n<p>Punkt \\(D\\) leży na \\(k\\), więc \\(D = (-r, h)\\) dla pewnego \\(h &gt; 0\\).</p>\n<p>\\[|DA| = h, \\quad |DB| = \\sqrt{(2r)^2 + h^2}\\]</p>\n<p>Z warunków zadania:<br>\\[|DB| = 7 \\implies 4r^2 + h^2 = 49\\]<br>\\[|DA|^2 = 21 \\implies h^2 = 21\\]</p>\n<p>Stąd:<br>\\[4r^2 = 49 - 21 = 28 \\implies r = \\sqrt{7}\\]</p>\n<p>Równanie prostej \\(l\\) przechodzącej przez \\(D = (-\\sqrt{7},\\, \\sqrt{21})\\) i \\(B = (\\sqrt{7},\\, 0)\\):</p>\n<p>Wektor kierunkowy: \\([2\\sqrt{7},\\, -\\sqrt{21}]\\), równanie ogólne prostej:<br>\\[\\sqrt{21}\\,x + 2\\sqrt{7}\\,y - \\sqrt{21}\\cdot\\sqrt{7} = 0\\]</p>\n<p>Odległość punktu \\(A = (-\\sqrt{7}, 0)\\) od tej prostej:<br>\\[d = \\frac{|\\sqrt{21}\\cdot(-\\sqrt{7}) + 2\\sqrt{7}\\cdot 0 - \\sqrt{147}|}{\\sqrt{21 + 28}} = \\frac{|-\\sqrt{147} - \\sqrt{147}|}{\\sqrt{49}} = \\frac{2\\sqrt{147}}{7} = \\frac{2 \\cdot 7\\sqrt{3}}{7} = 2\\sqrt{3} = \\sqrt{12}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - kąt wpisany oparty na średnicy:</p>\n<blockquote>Kąt wpisany oparty na średnicy wynosi \\(90°\\).<br>Użyliśmy tego w Kroku 4 - skoro \\(AB\\) jest średnicą, to \\(\\angle ACB = 90°\\), co oznacza \\(CA \\perp l\\).</blockquote>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - potęga punktu (twierdzenie o stycznej i siecznej):<br>\\[|DA|^2 = |DC| \\cdot |DB|\\]</p>\n<blockquote>Użyliśmy tego w Kroku 2 do wyznaczenia \\(|DA|\\).</blockquote>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]</p>\n<blockquote>Użyliśmy dwukrotnie: w Kroku 3 (trójkąt \\(DAB\\)) oraz w Kroku 5 (trójkąt \\(ACB\\)).</blockquote>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> \\(\\frac{7}{2}\\) | Uczeń myśli, że odległość = \\(\\frac{|DC|+|CB|}{2} = \\frac{7}{2}\\) (bez sensu geometrycznego - po prostu średnia dwóch odcinków) |<br>| <strong>B</strong> \\(5\\) | Uczeń stosuje twierdzenie Pitagorasa do punktów \\(D, C, B\\) jak gdyby tworzyły trójkąt prostokątny: \\(\\sqrt{3^2+4^2}=5\\) - tymczasem \\(D, C, B\\) są <strong>współliniowe</strong>, więc to błąd! Część uczniów bierze tę &quot;piątkę&quot; jako gotową odpowiedź |<br>| <strong>D</strong> \\(\\sqrt{3}+2\\) | Uczeń błędnie wyznacza \\(\\|AB\\|\\) (np. przyjmując \\(r=1\\)) i niepoprawnie liczy \\(\\|AC\\|\\) drogą trygonometryczną |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkty \\(D, C, B\\) są <strong>współliniowe</strong> - nie tworzą trójkąta. \\(|DB| = |DC| + |CB| = 7\\), a <strong>nie</strong> \\(\\sqrt{3^2+4^2}=5\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odległość punktu \\(A\\) od prostej \\(l\\) to <strong>nie</strong> \\(|DA|\\). Odcinek \\(DA\\) nie jest prostopadły do \\(l\\) - prostopadły do \\(l\\) jest właśnie \\(AC\\) (bo \\(\\angle ACB = 90°\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Potęga punktu działa tylko wtedy, gdy odcinki liczymy od punktu zewnętrznego do <strong>obu</strong> przecięć z okręgiem. Tu \\(|DC| = 3\\) (do bliższego) i \\(|DB| = 7\\) (do dalszego) - oba od punktu \\(D\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Moc punktu D</h5>\n<p>Potęga punktu \\(D\\) względem okręgu: \\(|DA|^{2} = |DC|\\cdot |DB|\\) (bo \\(DA\\) styczna, \\(DCB\\) sieczna).<br>\\(|DB| = |DC|+|CB| = 3+4 = 7\\).<br>\\(|DA|^{2} = 3\\cdot 7 = 21 \\Rightarrow |DA| = \\sqrt{21}.\\)</p>\n<p>Kąt \\(BAC\\) oparty na średnicy \\(AB\\) \\(\\Rightarrow |\\angle ACB| = 90^{\\circ}\\). Stąd \\(AC\\perp l\\), więc odległość \\(A\\) od \\(l\\) to \\(|AC|\\).<br>Trójkąt \\(DAC\\) prostokątny w \\(A\\) (styczna \\(\\perp\\) promień, ale patrzymy inaczej): w trójkącie \\(DAC\\): \\(|DA|^{2} = |DC|^{2} + |AC|^{2}\\) (prostokątny w \\(C\\)), \\(21 = 9 + |AC|^{2}\\), \\(|AC|^{2}=12\\), \\(|AC| = \\sqrt{12}.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów</h5>\n<p>Trójkąt \\(ACB\\) prostokątny w \\(C\\). \\(CA\\) jest wysokością w trójkącie \\(DAB\\) prostokątnym w \\(A\\), więc z tw. o wysokości: \\(|AC|^{2} = |CB|\\cdot |CD| = 4\\cdot 3 = 12\\), \\(|AC|=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}.\\)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{7}{2}\\)</strong> - średnia \\(3\\) i \\(4\\).</li><li><strong>B. 5</strong> - z \\(\\sqrt{9+16}\\), ale to nie jest ta długość.</li><li><strong>D. \\(\\sqrt{3}+2\\)</strong> - błędna konstrukcja.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> kąt wpisany oparty na średnicy to \\(90^{\\circ}\\); wysokość w trójkącie prostokątnym z przeciwprostokątnej: \\(h^{2}=p\\cdot q\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, korzystając z twierdzenia o odcinkach siecznej i stycznej, mamy $|AD|^2=3\\cdot(3+4)=3\\cdot7=21$, więc $|AD|=\\sqrt{21}$, a stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta $ACD$, otrzymujemy $|AC|^2+3^2=21$, czyli $|AC|^2=12$, zatem $|AC|=\\sqrt{12}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Odcinek DB ma długość</p>\n<p>DB=DC+CB=3+4=7.</p>\n<p>Trójkąt ADB jest prostokątny, a szukana odległość punktu A od prostej DB jest wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną DB .</p>\n<p>Wysokość w trójkącie prostokątnym dzieli go na dwa trójkąty podobne. Jeżeli jej długość oznaczymy przez x , to</p>\n<p>(4)/(x)=(x)/(3).</p>\n<p>Stąd</p>\n<p>x^2=4·3=12,</p>\n<p>a ponieważ x&gt;0 , mamy</p>\n<p>x=√(12)=2√(3).</p>\n<p>Poprawna jest odpowiedź C.</p>"}]}