{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nW trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 przekątne przecinają się w punkcie 𝐸 (zobacz\nrysunek).\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝐸 jest podobny do trójkąta 𝐶𝐷𝐸.\nP\nF\nPole trójkąta 𝐴𝐶𝐷 jest równe polu trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\nP\nF\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n\nMMAP-P0_100\nW trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek). [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Trójkąt ABE jest podobny do trójkąta CDE. P F Pole trójkąta ACD jest równe polu trójkąta BCD.","answer":"PP","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nVIII.4) korzysta z własności kątów\ni przekątnych w prostokątach,\nrównoległobokach, rombach i trapezach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPP","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(g(x) = x - 1\\)\n\n## Sposób 1 - warunek prostopadłości prostych\n\n**Krok 1: Odczytaj współczynnik kierunkowy funkcji \\(f\\).**\n\nWzór \\(f(x) = -x + 1\\) jest w postaci \\(y = ax + b\\), skąd:\n\\[a_f = -1\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy funkcji \\(g\\).**\n\nDwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych równa się \\(-1\\):\n\\[a_f \\cdot a_g = -1\\]\n\\[(-1) \\cdot a_g = -1\\]\n\\[a_g = 1\\]\n\n**Krok 3: Skorzystaj z warunku przechodzenia przez punkt \\(P = (0, -1)\\).**\n\nPunkt \\(P = (0, -1)\\) to punkt przecięcia z osią \\(OY\\), czyli \\(b_g = -1\\).\n\n**Krok 4: Zapisz wzór funkcji \\(g\\).**\n\n\\[\\boxed{g(x) = x - 1}\\]\n\n## Sposób 2 - wyznaczanie wzoru przez podstawienie\n\n**Krok 1: Wyznacz \\(a_g\\) tak samo jak w Sposobie 1:** \\(a_g = 1\\).\n\n**Krok 2: Zapisz ogólny wzór funkcji \\(g\\) z nieznanym \\(b\\):**\n\\[g(x) = x + b\\]\n\n**Krok 3: Podstaw współrzędne punktu \\(P = (0, -1)\\):**\n\\[g(0) = 0 + b = -1\\]\n\\[b = -1\\]\n\n**Krok 4: Wynik:**\n\\[g(x) = x - 1\\]\n\nSprawdzenie: \\(g(0) = 0 - 1 = -1\\) ✓ - wykres przechodzi przez \\(P = (0, -1)\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Kroku 2, żeby z \\(a_f = -1\\) wyznaczyć \\(a_g = 1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(g(x) = x + 1\\) - dobry współczynnik kierunkowy (\\(a = 1\\)), ale zły wyraz wolny. Uczeń zapomina podstawić punkt \\(P\\) i zostawia \\(b = 1\\) (np. przez skojarzenie z funkcją \\(f\\)). |\n| B | \\(g(x) = -x - 1\\) - uczeń poprawnie odczytuje wyraz wolny \\(b = -1\\) z punktu \\(P\\), ale bierze ten sam współczynnik kierunkowy co \\(f\\) (zamiast zmienić znak i odwrócić). Prosta jest wtedy równoległa do \\(f\\), nie prostopadła. |\n| C | \\(g(x) = -x + 1\\) - to dosłownie wzór funkcji \\(f\\)! Uczeń nie wykonał żadnego przekształcenia. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe, których **iloczyn wynosi \\(-1\\)**, nie które są sobie równe ani przeciwne. Jeśli \\(a_f = -1\\), to \\(a_g = 1\\) (bo \\((-1) \\cdot 1 = -1\\) ✓).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(P = (0, -1)\\) leży na osi \\(OY\\), więc jego \\(y\\)-współrzędna to od razu wyraz wolny \\(b\\). Nie trzeba rozwiązywać równania - ale warto wiedzieć, dlaczego tak jest.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \"prostopadłe\" z \"przeciwne\" - funkcja \\(g(x) = -x - 1\\) jest **równoległa** do \\(f(x) = -x + 1\\) (ten sam współczynnik kierunkowy), a nie prostopadła!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości\nProste \\(y=a_{1}x+b_{1}\\) i \\(y=a_{2}x+b_{2}\\) są prostopadłe \\(\\Leftrightarrow a_{1}\\cdot a_{2} = -1.\\)\n\\(a_{f} = -1\\), więc \\(a_{g} = 1.\\)\nPunkt \\(P=(0,-1)\\) na wykresie \\(g\\): \\(g(0) = b_{g} = -1.\\)\nWzór: \\(g(x) = x - 1.\\)\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- A: \\(g(0) = 1 \\ne -1\\).\n- B: współczynnik \\(-1\\), nie prostopadły.\n- C: \\(g(0) = 1 \\ne -1\\).\n- D: \\(g(0) = -1\\), \\(a_{g} = 1\\), \\(1\\cdot(-1) = -1\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Współczynnik kierunkowy dobry, ale \\(P\\) nie należy.\n- **B, C.** Nieprostopadłe (równoległe lub pokrywające się z \\(f\\)).\n\n**Trik:** prostopadłość \\(\\Leftrightarrow\\) iloczyn współczynników kierunkowych równy \\(-1\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"Dowody geometryczne, Figury podobne, planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 22. (0-1)
W trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 przekątne przecinają się w punkcie 𝐸 (zobacz
rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest
prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Trójkąt 𝐴𝐵𝐸 jest podobny do trójkąta 𝐶𝐷𝐸.
P
F
Pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷 jest równe polu trójkąta 𝐵𝐶𝐷.
P
F
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸

\n

MMAP-P0_100
W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek). [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Trójkąt ABE jest podobny do trójkąta CDE. P F Pole trójkąta ACD jest równe polu trójkąta BCD.

","answer_text_html":"

Zadanie 22. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Dobieranie argumentów do uzasadnienia
\n

poprawności rozwiązywania problemów,
tworzenie ciągu argumentów,
gwarantujących poprawność rozwiązania
i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań
zagadnienia.
Zdający:
VIII.4) korzysta z własności kątów
i przekątnych w prostokątach,
równoległobokach, rombach i trapezach.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
PP

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

\\(g(x) = x - 1\\)

\n

Sposób 1 - warunek prostopadłości prostych

\n

Krok 1: Odczytaj współczynnik kierunkowy funkcji \\(f\\).

\n

Wzór \\(f(x) = -x + 1\\) jest w postaci \\(y = ax + b\\), skąd:
\\[a_f = -1\\]

\n

Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy funkcji \\(g\\).

\n

Dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych równa się \\(-1\\):
\\[a_f \\cdot a_g = -1\\]
\\[(-1) \\cdot a_g = -1\\]
\\[a_g = 1\\]

\n

Krok 3: Skorzystaj z warunku przechodzenia przez punkt \\(P = (0, -1)\\).

\n

Punkt \\(P = (0, -1)\\) to punkt przecięcia z osią \\(OY\\), czyli \\(b_g = -1\\).

\n

Krok 4: Zapisz wzór funkcji \\(g\\).

\n

\\[\\boxed{g(x) = x - 1}\\]

\n

Sposób 2 - wyznaczanie wzoru przez podstawienie

\n

Krok 1: Wyznacz \\(a_g\\) tak samo jak w Sposobie 1: \\(a_g = 1\\).

\n

Krok 2: Zapisz ogólny wzór funkcji \\(g\\) z nieznanym \\(b\\):
\\[g(x) = x + b\\]

\n

Krok 3: Podstaw współrzędne punktu \\(P = (0, -1)\\):
\\[g(0) = 0 + b = -1\\]
\\[b = -1\\]

\n

Krok 4: Wynik:
\\[g(x) = x - 1\\]

\n

Sprawdzenie: \\(g(0) = 0 - 1 = -1\\) ✓ - wykres przechodzi przez \\(P = (0, -1)\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - warunek prostopadłości prostych:
\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
Użyliśmy tego wzoru w Kroku 2, żeby z \\(a_f = -1\\) wyznaczyć \\(a_g = 1\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | \\(g(x) = x + 1\\) - dobry współczynnik kierunkowy (\\(a = 1\\)), ale zły wyraz wolny. Uczeń zapomina podstawić punkt \\(P\\) i zostawia \\(b = 1\\) (np. przez skojarzenie z funkcją \\(f\\)). |
| B | \\(g(x) = -x - 1\\) - uczeń poprawnie odczytuje wyraz wolny \\(b = -1\\) z punktu \\(P\\), ale bierze ten sam współczynnik kierunkowy co \\(f\\) (zamiast zmienić znak i odwrócić). Prosta jest wtedy równoległa do \\(f\\), nie prostopadła. |
| C | \\(g(x) = -x + 1\\) - to dosłownie wzór funkcji \\(f\\)! Uczeń nie wykonał żadnego przekształcenia. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe, których iloczyn wynosi \\(-1\\), nie które są sobie równe ani przeciwne. Jeśli \\(a_f = -1\\), to \\(a_g = 1\\) (bo \\((-1) \\cdot 1 = -1\\) ✓).
\n
⚠️ Uwaga: Punkt \\(P = (0, -1)\\) leży na osi \\(OY\\), więc jego \\(y\\)-współrzędna to od razu wyraz wolny \\(b\\). Nie trzeba rozwiązywać równania - ale warto wiedzieć, dlaczego tak jest.
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl "prostopadłe" z "przeciwne" - funkcja \\(g(x) = -x - 1\\) jest równoległa do \\(f(x) = -x + 1\\) (ten sam współczynnik kierunkowy), a nie prostopadła!
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Warunek prostopadłości
\n

Proste \\(y=a_{1}x+b_{1}\\) i \\(y=a_{2}x+b_{2}\\) są prostopadłe \\(\\Leftrightarrow a_{1}\\cdot a_{2} = -1.\\)
\\(a_{f} = -1\\), więc \\(a_{g} = 1.\\)
Punkt \\(P=(0,-1)\\) na wykresie \\(g\\): \\(g(0) = b_{g} = -1.\\)
Wzór: \\(g(x) = x - 1.\\)

\n
Sposób 2 - Eliminacja
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: prostopadłość \\(\\Leftrightarrow\\) iloczyn współczynników kierunkowych równy \\(-1\\).

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Trójkąty ABE i CDE są podobne: mają równe kąty wierzchołkowe przy E , a pozostałe kąty są równe, ponieważ AB∥ CD .

\n

Trójkąty ACD i BCD mają wspólną podstawę CD i równe wysokości, więc mają równe pola. Oba zdania są prawdziwe.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

PP

"}]}