{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nNa łukach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 okręgu są oparte kąty wpisane 𝐴𝐷𝐵 i 𝐷𝐵𝐶, takie, że |∡𝐴𝐷𝐵| = 20°\ni |∡𝐷𝐵𝐶| = 40° (zobacz rysunek). Cięciwy 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝐾.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta 𝐷𝐾𝐶 jest równa\nA. 80°\nB. 60°\nC. 50°\nD. 40°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n20°\n40°\n\nMMAP-P0_100\nNa łukach AB i CD okręgu są oparte kąty wpisane ADB i DBC, takie, że |∠ADB|=20° i |∠DBC|=40° (zobacz rysunek). Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K. [rysunek] Miara kąta DKC jest równa A. 80° B. 60° C. 50° D. 40°.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(B = (9, -17)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na podział odcinka (sekcja wewnętrzna)\n\n**Co wiemy:** punkt \\(P\\) dzieli odcinek \\(AB\\) w stosunku \\(|AP|:|PB| = 1:3\\) od strony \\(A\\).\n\nTo znaczy, że \\(P\\) leży w \\(\\frac{1}{1+3} = \\frac{1}{4}\\) drogi od \\(A\\) do \\(B\\). Stosujemy wzór:\n\n\\[P = A + \\frac{1}{4}(B - A) = \\frac{3}{4}A + \\frac{1}{4}B\\]\n\n**Wyznaczamy \\(x_B\\):**\n\\[x_P = \\frac{3}{4}x_A + \\frac{1}{4}x_B\\]\n\\[3 = \\frac{3}{4} \\cdot 1 + \\frac{1}{4}x_B\\]\n\\[3 = \\frac{3}{4} + \\frac{x_B}{4} \\quad \\Big| \\cdot 4\\]\n\\[12 = 3 + x_B\\]\n\\[\\mathbf{x_B = 9}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(y_B\\):**\n\\[y_P = \\frac{3}{4}y_A + \\frac{1}{4}y_B\\]\n\\[1 = \\frac{3}{4} \\cdot 7 + \\frac{1}{4}y_B\\]\n\\[1 = \\frac{21}{4} + \\frac{y_B}{4} \\quad \\Big| \\cdot 4\\]\n\\[4 = 21 + y_B\\]\n\\[\\mathbf{y_B = -17}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(B = (9, -17)\\).**\n\n## Sposób 2 - Metoda wektorowa\n\nStosunek \\(|AP|:|PB| = 1:3\\) oznacza, że wektor \\(\\overrightarrow{PB}\\) jest **trzykrotnością** wektora \\(\\overrightarrow{AP}\\).\n\nObliczamy \\(\\overrightarrow{AP}\\):\n\\[\\overrightarrow{AP} = P - A = (3-1,\\ 1-7) = (2,\\ -6)\\]\n\nSkoro \\(\\overrightarrow{PB} = 3 \\cdot \\overrightarrow{AP}\\):\n\\[\\overrightarrow{PB} = 3 \\cdot (2, -6) = (6, -18)\\]\n\nPunkt \\(B = P + \\overrightarrow{PB}\\):\n\\[B = (3 + 6,\\ 1 + (-18)) = \\mathbf{(9,\\ -17)}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(B = (9, -17)\\).** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wektor między punktami:\n\\[\\vec{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do obliczenia wektorów \\(\\overrightarrow{AP}\\) i \\(\\overrightarrow{PB}\\).\n\nBezpośredniego wzoru na podział odcinka na karcie nie ma (trzeba go wyprowadzić z definicji), ale punkt środkowy odcinka (szczególny przypadek podziału 1:1):\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\njest na karcie jako punkt odniesienia dla zrozumienia idei.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wynik | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\((9, -5)\\) | \\(x_B = 9\\) obliczono poprawnie, ale w \\(y\\) popełniono błąd arytmetyczny przy mnożeniu przez 4 lub znaku |\n| C | \\((7, -11)\\) | Pomylono \\(|AP|:|PB| = 1:3\\) z \\(|AP| = \\frac{1}{3}|AB|\\). Wtedy \\(B = A + 3 \\cdot \\overrightarrow{AP} = (7, -11)\\) - użyto mnożnika **3 zamiast 4** |\n| D | \\((5, -5)\\) | Potraktowano \\(P\\) jako **środek** odcinka \\(AB\\), licząc \\(B = 2P - A = (5, -5)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(|AP|:|PB| = 1:3\\) oznacza, że \\(AB\\) dzieli się na **4** równe części (1+3). Punkt \\(P\\) leży w \\(\\frac{1}{4}\\) drogi od \\(A\\) - NIE w \\(\\frac{1}{3}\\) (to najczęstszy błąd w tym typie zadania!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek ma znaczenie! \\(\\overrightarrow{PB} = 3\\cdot\\overrightarrow{AP}\\) (od \\(P\\) w tę samą stronę co od \\(A\\) do \\(P\\)). Jeśli odwrócisz kierunek, dostaniesz punkt po drugiej stronie \\(A\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczeniach z liczbami ujemnymi (tu \\(y_A = 7\\), \\(y_P = 1\\), różnica \\(-6\\) razy 4 = \\(-24\\)) bardzo łatwo o błąd znaku - zawsze sprawdź wynik Sposobem 2 (wektorowo).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wektory\nSkoro \\(|AP|:|PB|=1:3\\), to \\(\\vec{PB} = 3\\vec{AP}.\\)\n\\(\\vec{AP} = P-A = (3-1, 1-7) = (2,-6).\\)\n\\(\\vec{PB} = 3(2,-6) = (6,-18).\\)\n\\(B = P + \\vec{PB} = (3+6, 1-18) = (9,-17).\\)\n\n### Sposób 2 - Wzory na podział\nJeśli \\(P\\) dzieli \\(AB\\) w stosunku \\(1:3\\) (czyli \\(AP:PB=1:3\\)), to: \\(P = \\dfrac{3A + 1\\cdot B}{4}\\).\nStąd \\(4P = 3A+B\\), czyli \\(B = 4P - 3A = (12,4)-(3,21) = (9,-17).\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((9,-5)\\)** - poprawne \\(x\\), błędne \\(y\\).\n- **C. \\((7,-11)\\)** - pomylono stosunki.\n- **D. \\((5,-5)\\)** - tylko podwojono przesunięcie.\n\n**Trik:** \\(|AB|=4|AP|\\); wektor \\(\\vec{AB}=4\\vec{AP}\\), stąd \\(B=A+4\\vec{AP}\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>Na łukach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 okręgu są oparte kąty wpisane 𝐴𝐷𝐵 i 𝐷𝐵𝐶, takie, że |∡𝐴𝐷𝐵| = 20°<br>i |∡𝐷𝐵𝐶| = 40° (zobacz rysunek). Cięciwy 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝐾.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Miara kąta 𝐷𝐾𝐶 jest równa<br>A. 80°<br>B. 60°<br>C. 50°<br>D. 40°<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐾<br>20°<br>40°</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Na łukach AB i CD okręgu są oparte kąty wpisane ADB i DBC, takie, że |∠ADB|=20° i |∠DBC|=40° (zobacz rysunek). Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K. [rysunek] Miara kąta DKC jest równa A. 80° B. 60° C. 50° D. 40°.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VIII.5) stosuje własności kątów wpisanych<br>i środkowych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(B = (9, -17)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na podział odcinka (sekcja wewnętrzna)</h4>\n<p><strong>Co wiemy:</strong> punkt \\(P\\) dzieli odcinek \\(AB\\) w stosunku \\(|AP|:|PB| = 1:3\\) od strony \\(A\\).</p>\n<p>To znaczy, że \\(P\\) leży w \\(\\frac{1}{1+3} = \\frac{1}{4}\\) drogi od \\(A\\) do \\(B\\). Stosujemy wzór:</p>\n<p>\\[P = A + \\frac{1}{4}(B - A) = \\frac{3}{4}A + \\frac{1}{4}B\\]</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(x_B\\):</strong><br>\\[x_P = \\frac{3}{4}x_A + \\frac{1}{4}x_B\\]<br>\\[3 = \\frac{3}{4} \\cdot 1 + \\frac{1}{4}x_B\\]<br>\\[3 = \\frac{3}{4} + \\frac{x_B}{4} \\quad \\Big| \\cdot 4\\]<br>\\[12 = 3 + x_B\\]<br>\\[\\mathbf{x_B = 9}\\]</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(y_B\\):</strong><br>\\[y_P = \\frac{3}{4}y_A + \\frac{1}{4}y_B\\]<br>\\[1 = \\frac{3}{4} \\cdot 7 + \\frac{1}{4}y_B\\]<br>\\[1 = \\frac{21}{4} + \\frac{y_B}{4} \\quad \\Big| \\cdot 4\\]<br>\\[4 = 21 + y_B\\]<br>\\[\\mathbf{y_B = -17}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(B = (9, -17)\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Metoda wektorowa</h4>\n<p>Stosunek \\(|AP|:|PB| = 1:3\\) oznacza, że wektor \\(\\overrightarrow{PB}\\) jest <strong>trzykrotnością</strong> wektora \\(\\overrightarrow{AP}\\).</p>\n<p>Obliczamy \\(\\overrightarrow{AP}\\):<br>\\[\\overrightarrow{AP} = P - A = (3-1,\\ 1-7) = (2,\\ -6)\\]</p>\n<p>Skoro \\(\\overrightarrow{PB} = 3 \\cdot \\overrightarrow{AP}\\):<br>\\[\\overrightarrow{PB} = 3 \\cdot (2, -6) = (6, -18)\\]</p>\n<p>Punkt \\(B = P + \\overrightarrow{PB}\\):<br>\\[B = (3 + 6,\\ 1 + (-18)) = \\mathbf{(9,\\ -17)}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(B = (9, -17)\\).</strong> ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - wektor między punktami:<br>\\[\\vec{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 2 do obliczenia wektorów \\(\\overrightarrow{AP}\\) i \\(\\overrightarrow{PB}\\).</p>\n<p>Bezpośredniego wzoru na podział odcinka na karcie nie ma (trzeba go wyprowadzić z definicji), ale punkt środkowy odcinka (szczególny przypadek podziału 1:1):<br>\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]<br>jest na karcie jako punkt odniesienia dla zrozumienia idei.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wynik | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | \\((9, -5)\\) | \\(x_B = 9\\) obliczono poprawnie, ale w \\(y\\) popełniono błąd arytmetyczny przy mnożeniu przez 4 lub znaku |<br>| C | \\((7, -11)\\) | Pomylono \\(|AP|:|PB| = 1:3\\) z \\(|AP| = \\frac{1}{3}|AB|\\). Wtedy \\(B = A + 3 \\cdot \\overrightarrow{AP} = (7, -11)\\) - użyto mnożnika <strong>3 zamiast 4</strong> |<br>| D | \\((5, -5)\\) | Potraktowano \\(P\\) jako <strong>środek</strong> odcinka \\(AB\\), licząc \\(B = 2P - A = (5, -5)\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Stosunek \\(|AP|:|PB| = 1:3\\) oznacza, że \\(AB\\) dzieli się na <strong>4</strong> równe części (1+3). Punkt \\(P\\) leży w \\(\\frac{1}{4}\\) drogi od \\(A\\) - NIE w \\(\\frac{1}{3}\\) (to najczęstszy błąd w tym typie zadania!).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kierunek ma znaczenie! \\(\\overrightarrow{PB} = 3\\cdot\\overrightarrow{AP}\\) (od \\(P\\) w tę samą stronę co od \\(A\\) do \\(P\\)). Jeśli odwrócisz kierunek, dostaniesz punkt po drugiej stronie \\(A\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczeniach z liczbami ujemnymi (tu \\(y_A = 7\\), \\(y_P = 1\\), różnica \\(-6\\) razy 4 = \\(-24\\)) bardzo łatwo o błąd znaku - zawsze sprawdź wynik Sposobem 2 (wektorowo).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wektory</h5>\n<p>Skoro \\(|AP|:|PB|=1:3\\), to \\(\\vec{PB} = 3\\vec{AP}.\\)<br>\\(\\vec{AP} = P-A = (3-1, 1-7) = (2,-6).\\)<br>\\(\\vec{PB} = 3(2,-6) = (6,-18).\\)<br>\\(B = P + \\vec{PB} = (3+6, 1-18) = (9,-17).\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzory na podział</h5>\n<p>Jeśli \\(P\\) dzieli \\(AB\\) w stosunku \\(1:3\\) (czyli \\(AP:PB=1:3\\)), to: \\(P = \\dfrac{3A + 1\\cdot B}{4}\\).<br>Stąd \\(4P = 3A+B\\), czyli \\(B = 4P - 3A = (12,4)-(3,21) = (9,-17).\\)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\((9,-5)\\)</strong> - poprawne \\(x\\), błędne \\(y\\).</li><li><strong>C. \\((7,-11)\\)</strong> - pomylono stosunki.</li><li><strong>D. \\((5,-5)\\)</strong> - tylko podwojono przesunięcie.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(|AB|=4|AP|\\); wektor \\(\\vec{AB}=4\\vec{AP}\\), stąd \\(B=A+4\\vec{AP}\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, kąty $CAD$ i $CBD$ mają miarę $40^{\\circ}$, ponieważ są oparte na tym samym łuku, suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi $180^{\\circ}$, więc $|\\sphericalangle AKD|=180^{\\circ}-(40^{\\circ}+20^{\\circ})=120^{\\circ}$, a ponieważ suma miar kątów przyległych także wynosi $180^{\\circ}$, to$|\\sphericalangle DKC|=180^{\\circ}=120^{\\circ}=60^{\\circ}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Kąty wpisane oparte na tych samych łukach dają</p>\n<p>∠ ACB=20^°, ∠ DAC=40^°.</p>\n<p>W trójkącie AKD :</p>\n<p>∠ AKD=180^°-20^°-40^°=120^°.</p>\n<p>Zatem kąt przyległy</p>\n<p>∠ DKC=180^°-120^°=60^°.</p>"}]}