{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nPole trójkąta równobocznego 𝑇1 jest równe\n(1,5)2⋅√3\n4\n. Pole trójkąta równobocznego 𝑇2\njest równe\n(4,5)2⋅√3\n4\nDokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej\nuzasadnienie 1., 2. albo 3.\nTrójkąt 𝑇2 jest podobny do trójkąta 𝑇1 w skali\nA.\n3,\nponieważ\n1.\nkażdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii.\n2.\npole trójkąta 𝑇2 jest 9 razy większe od pola\ntrójkąta 𝑇1 .\nB.\n9,\n3.\nbok trójkąta 𝑇2 jest o 3 dłuższy od boku\ntrójkąta 𝑇1 .\n\nMMAP-P0_100\nPole trójkąta równobocznego T_1 jest równe jest równe (1,5)^2⋅√3/4. Pole trójkąta równobocznego T_2 jest równe (4,5)^2⋅√3/4. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Trójkąt T_2 jest podobny do trójkąta T_1 w skali A. 3, B. 3 ponieważ 1. każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii. 2. pole trójkąta T_2 jest 9 razy większe od pola trójkąta T_1. 3. bok trójkąta T_2 jest o 3 dłuższy od boku trójkąta T_1.","answer":"A2","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV.3. Dobieranie argumentów do\nuzasadnienia poprawności rozwiązywania\nproblemów, tworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nVIII.9) wykorzystuje zależności między\nobwodami oraz między polami figur\npodobnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA2\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - pole kwadratu \\(ABCD\\) równa się \\(\\mathbf{40}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na pole kwadratu przez przekątną\n\n**Kluczowa obserwacja:** W kwadracie obie przekątne mają tę samą długość. Mamy dane punkty \\(A\\) i \\(C\\) - to są **przeciwległe wierzchołki**, czyli \\(AC\\) jest przekątną kwadratu.\n\n**Krok 1 - oblicz długość przekątnej \\(|AC|\\)**\n\n\\[\n|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \\sqrt{(3-(-1))^2 + (-3-5)^2}\n\\]\n\\[\n= \\sqrt{4^2 + (-8)^2} = \\sqrt{16 + 64} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\n\\]\n\n**Krok 2 - wyznacz bok kwadratu**\n\nW kwadracie o boku \\(a\\) przekątna wynosi \\(d = a\\sqrt{2}\\) (z twierdzenia Pitagorasa), więc:\n\\[\na = \\frac{d}{\\sqrt{2}} = \\frac{4\\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{4\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{10}\n\\]\n\n**Krok 3 - policz pole**\n\n\\[\nP = a^2 = \\left(2\\sqrt{10}\\right)^2 = 4 \\cdot 10 = \\boxed{40}\n\\]\n\n## Sposób 2 - wzór na pole kwadratu wprost z przekątnej (szybciej)\n\nZamiast wyznaczać bok, skorzystaj od razu ze wzoru:\n\\[\nP = \\frac{d^2}{2}\n\\]\n(pole kwadratu = połowa kwadratu przekątnej - wynika z \\(P = a^2\\) i \\(d = a\\sqrt{2}\\), więc \\(a^2 = \\frac{d^2}{2}\\))\n\nMamy już \\(|AC|^2 = 80\\), więc:\n\\[\nP = \\frac{|AC|^2}{2} = \\frac{80}{2} = \\boxed{40}\n\\]\n\nTo zdecydowanie najszybsza droga - liczymy \\(|AC|^2\\) i dzielimy przez 2, bez wyciągania pierwiastka.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[\n|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\n\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do obliczenia długości przekątnej.\n\n**Dział 10 (Planimetria / twierdzenie Pitagorasa, s. 15):**\n\\[\nd^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \\implies a = \\frac{d}{\\sqrt{2}}, \\quad P = a^2 = \\frac{d^2}{2}\n\\]\nTo jest rdzeń obu sposobów - przekątna kwadratu dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** \\(= 8\\sqrt{10}\\) | Obliczono poprawnie bok \\(a = 2\\sqrt{10}\\), ale zamiast go podnieść do kwadratu (\\(a^2 = 40\\)), policzono **obwód** \\(4a = 8\\sqrt{10}\\) |\n| **B** \\(= 16\\sqrt{5}\\) | Wzięto długość przekątnej \\(4\\sqrt{5}\\) i pomnożono przez 4, tak jakby to był **bok**, a nie przekątna; pomylono przekątną z bokiem kwadratu |\n| **D** \\(= 80\\) | Obliczono \\(\\|AC\\|^2 = 80\\) i to przyjęto za pole - **zapomniano podzielić przez 2** (pole kwadratu to połowa kwadratu przekątnej, nie cały kwadrat przekątnej) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to niepamiętanie wzoru \\(P = \\frac{d^2}{2}\\) i branie \\(d^2\\) za pole. Odpowiedź D = 80 \"wygląda ładnie\" - dlatego jest klasyczną pułapką.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz wyciągać pierwiastka z \\(|AC|^2\\), jeśli używasz Sposobu 2. Wiele obliczeń i błędów zaokrągleń wynika właśnie z niepotrzebnego upraszczania \\(\\sqrt{80}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy wiedzieć, że \\(A\\) i \\(C\\) są \"po przekątnej\" - trzeba też wiedzieć, że **obie przekątne kwadratu są równe**, więc \\(|AC|\\) jest pełną przekątną (nie połową).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Przekątna kwadratu\n\\(A\\) i \\(C\\) to przeciwległe wierzchołki, więc \\(AC\\) to przekątna.\n\\(|AC|^{2} = (3-(-1))^{2} + (-3-5)^{2} = 16+64 = 80.\\)\nDla kwadratu: \\(P = \\dfrac{d^{2}}{2} = \\dfrac{80}{2} = 40.\\)\n\n### Sposób 2 - Bok kwadratu\n\\(|AC| = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\). Dla kwadratu \\(d = a\\sqrt{2}\\), więc \\(a = \\dfrac{4\\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{10}.\\)\nPole \\(= a^{2} = 4\\cdot 10 = 40.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(8\\sqrt{10}\\)** - pomylono pole z bokiem.\n- **B. \\(16\\sqrt{5}\\)** - błędny rachunek.\n- **D. 80** - to \\(|AC|^{2}\\), nie pole.\n\n**Trik:** pole kwadratu z przekątnej: \\(P = \\tfrac{d^{2}}{2}\\) - najszybciej.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Figury podobne, planimetria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 24. (0-1)
Pole trójkąta równobocznego 𝑇1 jest równe
(1,5)2⋅√3
4
. Pole trójkąta równobocznego 𝑇2
jest równe
(4,5)2⋅√3
4
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej
uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Trójkąt 𝑇2 jest podobny do trójkąta 𝑇1 w skali
A.
3,
ponieważ
1.
każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii.
2.
pole trójkąta 𝑇2 jest 9 razy większe od pola
trójkąta 𝑇1 .
B.
9,
3.
bok trójkąta 𝑇2 jest o 3 dłuższy od boku
trójkąta 𝑇1 .

\n

MMAP-P0_100
Pole trójkąta równobocznego T_1 jest równe jest równe (1,5)^2⋅√3/4. Pole trójkąta równobocznego T_2 jest równe (4,5)^2⋅√3/4. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Trójkąt T_2 jest podobny do trójkąta T_1 w skali A. 3, B. 3 ponieważ 1. każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii. 2. pole trójkąta T_2 jest 9 razy większe od pola trójkąta T_1. 3. bok trójkąta T_2 jest o 3 dłuższy od boku trójkąta T_1.

","answer_text_html":"

Zadanie 24. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV.3. Dobieranie argumentów do
uzasadnienia poprawności rozwiązywania
problemów, tworzenie ciągu argumentów,
gwarantujących poprawność rozwiązania
i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań
zagadnienia.
Zdający:
VIII.9) wykorzystuje zależności między
obwodami oraz między polami figur
podobnych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
A2
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - pole kwadratu \\(ABCD\\) równa się \\(\\mathbf{40}\\)

\n

Sposób 1 - wzór na pole kwadratu przez przekątną

\n

Kluczowa obserwacja: W kwadracie obie przekątne mają tę samą długość. Mamy dane punkty \\(A\\) i \\(C\\) - to są przeciwległe wierzchołki, czyli \\(AC\\) jest przekątną kwadratu.

\n

Krok 1 - oblicz długość przekątnej \\(|AC|\\)

\n

\\[
|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \\sqrt{(3-(-1))^2 + (-3-5)^2}
\\]
\\[
= \\sqrt{4^2 + (-8)^2} = \\sqrt{16 + 64} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}
\\]

\n

Krok 2 - wyznacz bok kwadratu

\n

W kwadracie o boku \\(a\\) przekątna wynosi \\(d = a\\sqrt{2}\\) (z twierdzenia Pitagorasa), więc:
\\[
a = \\frac{d}{\\sqrt{2}} = \\frac{4\\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{4\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{10}
\\]

\n

Krok 3 - policz pole

\n

\\[
P = a^2 = \\left(2\\sqrt{10}\\right)^2 = 4 \\cdot 10 = \\boxed{40}
\\]

\n

Sposób 2 - wzór na pole kwadratu wprost z przekątnej (szybciej)

\n

Zamiast wyznaczać bok, skorzystaj od razu ze wzoru:
\\[
P = \\frac{d^2}{2}
\\]
(pole kwadratu = połowa kwadratu przekątnej - wynika z \\(P = a^2\\) i \\(d = a\\sqrt{2}\\), więc \\(a^2 = \\frac{d^2}{2}\\))

\n

Mamy już \\(|AC|^2 = 80\\), więc:
\\[
P = \\frac{|AC|^2}{2} = \\frac{80}{2} = \\boxed{40}
\\]

\n

To zdecydowanie najszybsza droga - liczymy \\(|AC|^2\\) i dzielimy przez 2, bez wyciągania pierwiastka.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22) - wzór na długość odcinka:
\\[
|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}
\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do obliczenia długości przekątnej.

\n

Dział 10 (Planimetria / twierdzenie Pitagorasa, s. 15):
\\[
d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \\implies a = \\frac{d}{\\sqrt{2}}, \\quad P = a^2 = \\frac{d^2}{2}
\\]
To jest rdzeń obu sposobów - przekątna kwadratu dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\(= 8\\sqrt{10}\\) | Obliczono poprawnie bok \\(a = 2\\sqrt{10}\\), ale zamiast go podnieść do kwadratu (\\(a^2 = 40\\)), policzono obwód \\(4a = 8\\sqrt{10}\\) |
| B \\(= 16\\sqrt{5}\\) | Wzięto długość przekątnej \\(4\\sqrt{5}\\) i pomnożono przez 4, tak jakby to był bok, a nie przekątna; pomylono przekątną z bokiem kwadratu |
| D \\(= 80\\) | Obliczono \\(\\|AC\\|^2 = 80\\) i to przyjęto za pole - zapomniano podzielić przez 2 (pole kwadratu to połowa kwadratu przekątnej, nie cały kwadrat przekątnej) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to niepamiętanie wzoru \\(P = \\frac{d^2}{2}\\) i branie \\(d^2\\) za pole. Odpowiedź D = 80 "wygląda ładnie" - dlatego jest klasyczną pułapką.
\n
⚠️ Uwaga: Nie musisz wyciągać pierwiastka z \\(|AC|^2\\), jeśli używasz Sposobu 2. Wiele obliczeń i błędów zaokrągleń wynika właśnie z niepotrzebnego upraszczania \\(\\sqrt{80}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy wiedzieć, że \\(A\\) i \\(C\\) są "po przekątnej" - trzeba też wiedzieć, że obie przekątne kwadratu są równe, więc \\(|AC|\\) jest pełną przekątną (nie połową).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Przekątna kwadratu
\n

\\(A\\) i \\(C\\) to przeciwległe wierzchołki, więc \\(AC\\) to przekątna.
\\(|AC|^{2} = (3-(-1))^{2} + (-3-5)^{2} = 16+64 = 80.\\)
Dla kwadratu: \\(P = \\dfrac{d^{2}}{2} = \\dfrac{80}{2} = 40.\\)

\n
Sposób 2 - Bok kwadratu
\n

\\(|AC| = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\). Dla kwadratu \\(d = a\\sqrt{2}\\), więc \\(a = \\dfrac{4\\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{10}.\\)
Pole \\(= a^{2} = 4\\cdot 10 = 40.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: pole kwadratu z przekątnej: \\(P = \\tfrac{d^{2}}{2}\\) - najszybciej.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Z treści zadania odczytujemy, że pole trójkąta T_2 jest 9 razy większe od pola trójkąta T_1 :

\n

frac P_T_2 P_T_1 =9.

\n

Dla figur podobnych stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa:

\n

k^2=9.

\n

Ponieważ skala jest dodatnia,

\n

k=√(9)=3.

\n

Zatem trójkąt T_2 jest podobny do trójkąta T_1 w skali 3 .

\n

Poprawne uzupełnienie: A, ponieważ 2.

"}]}