{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nPole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 40√6. Bok 𝐴𝐷 tego równoległoboku ma\ndługość 10, a kąt 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku ma miarę 135° (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość boku 𝐴𝐵 jest równa\nA. 8√3\nB. 8√2\nC. 16√2\nD. 16√3\n135°\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n10\n\nMMAP-P0_100\nPole równoległoboku ABCD jest równe 40√6. Bok AD tego równoległoboku ma długość 10, a kąt ABC równoległoboku ma miarę 135° (zobacz rysunek). [rysunek] Długość boku AB jest równa A. 8√3 B. 8√2 C. 16√2 D. 16√3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.11) stosuje funkcje trygonometryczne\ndo wyznaczania długości odcinków\nw figurach płaskich oraz obliczania pól figur.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(a = \\dfrac{4}{3}\\) oraz \\(b = -14\\).\n\n## Sposób 1 - Definicja symetrii osiowej względem osi \\(Ox\\)\n\n**Co robi symetria osiowa względem osi \\(Ox\\)?**\n\nSymetria względem osi \\(Ox\\) (osi odciętych) **nie zmienia współrzędnej \\(x\\)**, a **zmienia znak współrzędnej \\(y\\)**:\n\n\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. }Ox} (x, -y)\\]\n\nZatem obraz punktu \\(S = (3a-1,\\ b+7)\\) to:\n\n\\[S' = (3a-1,\\ -(b+7))\\]\n\nAle wiemy, że \\(S' = (3, 7)\\), więc musimy rozwiązać układ równań:\n\n\\[\\begin{cases} 3a - 1 = 3 \\\\ -(b+7) = 7 \\end{cases}\\]\n\n**Równanie pierwsze** (współrzędna \\(x\\)):\n\n\\[3a - 1 = 3\\]\n\\[3a = 4\\]\n\\[\\boxed{a = \\frac{4}{3}}\\]\n\n**Równanie drugie** (współrzędna \\(y\\)):\n\n\\[-(b+7) = 7\\]\n\\[b + 7 = -7\\]\n\\[\\boxed{b = -14}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(a = \\dfrac{4}{3}\\) oraz \\(b = -14\\)** → odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdźmy, czy wyznaczone wartości faktycznie dają poprawny punkt i jego obraz.\n\nPodstawiamy \\(a = \\dfrac{4}{3}\\) i \\(b = -14\\) do współrzędnych punktu \\(S\\):\n\n\\[S = \\left(3 \\cdot \\frac{4}{3} - 1,\\ -14 + 7\\right) = (4 - 1,\\ -7) = (3, -7)\\]\n\nTeraz wykonujemy symetrię względem osi \\(Ox\\) - zmieniamy znak \\(y\\):\n\n\\[(3,\\ -7) \\xrightarrow{\\text{sym. }Ox} (3,\\ 7)\\]\n\nOtrzymujemy dokładnie \\(S' = (3, 7)\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja symetrii osiowej względem osi \\(Ox\\): punkt \\((x, y)\\) przechodzi w \\((x, -y)\\). Jest to wiedza z planimetrii/geometrii analitycznej (Dział 11, s. 22-25), ale sam wzór transformacji nie jest wypisany na karcie - trzeba go znać z definicji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** | \\(a = \\frac{4}{3}\\) jest poprawne, ale \\(b = 0\\) jest błędne. Przy \\(b=0\\): punkt \\(S = (3, 7)\\), jego obraz to \\((3, -7) \\neq (3, 7)\\). Uczeń zapomina o transformacji \\(y\\). |\n| **C** | \\(a = -\\frac{2}{3}\\): wtedy \\(3a - 1 = -2 - 1 = -3 \\neq 3\\). Uczeń prawdopodobnie pomylił znak lub wykonał błędne działanie \\(3 \\cdot (-\\frac{2}{3}) = -2\\). |\n| **D** | Podwójny błąd: zła wartość \\(a\\) (jak w C) i zła wartość \\(b\\) (jak w A). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem osi \\(Ox\\) zmienia znak **tylko współrzędnej \\(y\\)**, nie \\(x\\)! Błędem jest myślenie, że obie współrzędne zmieniają znak (to byłoby środkosymetria względem początku układu).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(S\\) jest **oryginałem**, a \\(S'\\) - **obrazem**. Jeśli obraz ma \\(y' = 7\\), to oryginał ma \\(y = -7\\), czyli \\(b + 7 = -7\\), a nie \\(b + 7 = 7\\). Łatwo tu pomylić, który punkt jest „wejściem\", a który „wyjściem\" przekształcenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu równania \\(3a - 1 = 3\\) pamiętaj o przeniesieniu \\(-1\\) na prawą stronę: \\(3a = 4\\), więc \\(a = \\frac{4}{3}\\), nie \\(a = \\frac{2}{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Symetria względem osi \\(Ox\\)\nSymetria względem \\(Ox\\): \\((x,y)\\to(x,-y).\\)\nJeśli \\(S=(3a-1, b+7)\\), to \\(S'=(3a-1,-(b+7)).\\)\nZ warunku \\(S'=(3,7)\\):\n\\(3a-1 = 3 \\Rightarrow a=\\tfrac{4}{3}.\\)\n\\(-(b+7) = 7 \\Rightarrow b+7 = -7 \\Rightarrow b = -14.\\)\n\n### Sposób 2 - Kontrola\nDla \\(a=\\tfrac{4}{3}, b=-14\\): \\(S=(3\\cdot\\tfrac{4}{3}-1, -14+7) = (3,-7)\\). Odbicie względem \\(Ox\\) daje \\((3,7)\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(b=0\\) daje \\(S=(3,7)\\), odbicie \\((3,-7) \\ne (3,7)\\).\n- **C, D.** Błędny \\(a\\) (znak lub wartość).\n\n**Trik:** symetria względem \\(Ox\\) zmienia tylko znak \\(y\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Planimetria","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Pole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 40√6. Bok 𝐴𝐷 tego równoległoboku ma<br>długość 10, a kąt 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku ma miarę 135° (zobacz rysunek).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Długość boku 𝐴𝐵 jest równa<br>A. 8√3<br>B. 8√2<br>C. 16√2<br>D. 16√3<br>135°<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐵<br>𝐴<br>10</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Pole równoległoboku ABCD jest równe 40√6. Bok AD tego równoległoboku ma długość 10, a kąt ABC równoległoboku ma miarę 135° (zobacz rysunek). [rysunek] Długość boku AB jest równa A. 8√3 B. 8√2 C. 16√2 D. 16√3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VIII.11) stosuje funkcje trygonometryczne<br>do wyznaczania długości odcinków<br>w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\(a = \\dfrac{4}{3}\\) oraz \\(b = -14\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Definicja symetrii osiowej względem osi \\(Ox\\)</h4>\n<p><strong>Co robi symetria osiowa względem osi \\(Ox\\)?</strong></p>\n<p>Symetria względem osi \\(Ox\\) (osi odciętych) <strong>nie zmienia współrzędnej \\(x\\)</strong>, a <strong>zmienia znak współrzędnej \\(y\\)</strong>:</p>\n<p>\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. }Ox} (x, -y)\\]</p>\n<p>Zatem obraz punktu \\(S = (3a-1,\\ b+7)\\) to:</p>\n<p>\\[S&#x27; = (3a-1,\\ -(b+7))\\]</p>\n<p>Ale wiemy, że \\(S&#x27; = (3, 7)\\), więc musimy rozwiązać układ równań:</p>\n<p>\\[\\begin{cases} 3a - 1 = 3 \\\\ -(b+7) = 7 \\end{cases}\\]</p>\n<p><strong>Równanie pierwsze</strong> (współrzędna \\(x\\)):</p>\n<p>\\[3a - 1 = 3\\]<br>\\[3a = 4\\]<br>\\[\\boxed{a = \\frac{4}{3}}\\]</p>\n<p><strong>Równanie drugie</strong> (współrzędna \\(y\\)):</p>\n<p>\\[-(b+7) = 7\\]<br>\\[b + 7 = -7\\]<br>\\[\\boxed{b = -14}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(a = \\dfrac{4}{3}\\) oraz \\(b = -14\\)</strong> → odpowiedź <strong>B</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdźmy, czy wyznaczone wartości faktycznie dają poprawny punkt i jego obraz.</p>\n<p>Podstawiamy \\(a = \\dfrac{4}{3}\\) i \\(b = -14\\) do współrzędnych punktu \\(S\\):</p>\n<p>\\[S = \\left(3 \\cdot \\frac{4}{3} - 1,\\ -14 + 7\\right) = (4 - 1,\\ -7) = (3, -7)\\]</p>\n<p>Teraz wykonujemy symetrię względem osi \\(Ox\\) - zmieniamy znak \\(y\\):</p>\n<p>\\[(3,\\ -7) \\xrightarrow{\\text{sym. }Ox} (3,\\ 7)\\]</p>\n<p>Otrzymujemy dokładnie \\(S&#x27; = (3, 7)\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja symetrii osiowej względem osi \\(Ox\\): punkt \\((x, y)\\) przechodzi w \\((x, -y)\\). Jest to wiedza z planimetrii/geometrii analitycznej (Dział 11, s. 22-25), ale sam wzór transformacji nie jest wypisany na karcie - trzeba go znać z definicji.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| <strong>A</strong> | \\(a = \\frac{4}{3}\\) jest poprawne, ale \\(b = 0\\) jest błędne. Przy \\(b=0\\): punkt \\(S = (3, 7)\\), jego obraz to \\((3, -7) \\neq (3, 7)\\). Uczeń zapomina o transformacji \\(y\\). |<br>| <strong>C</strong> | \\(a = -\\frac{2}{3}\\): wtedy \\(3a - 1 = -2 - 1 = -3 \\neq 3\\). Uczeń prawdopodobnie pomylił znak lub wykonał błędne działanie \\(3 \\cdot (-\\frac{2}{3}) = -2\\). |<br>| <strong>D</strong> | Podwójny błąd: zła wartość \\(a\\) (jak w C) i zła wartość \\(b\\) (jak w A). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Symetria względem osi \\(Ox\\) zmienia znak <strong>tylko współrzędnej \\(y\\)</strong>, nie \\(x\\)! Błędem jest myślenie, że obie współrzędne zmieniają znak (to byłoby środkosymetria względem początku układu).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt \\(S\\) jest <strong>oryginałem</strong>, a \\(S&#x27;\\) - <strong>obrazem</strong>. Jeśli obraz ma \\(y&#x27; = 7\\), to oryginał ma \\(y = -7\\), czyli \\(b + 7 = -7\\), a nie \\(b + 7 = 7\\). Łatwo tu pomylić, który punkt jest „wejściem&quot;, a który „wyjściem&quot; przekształcenia.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy rozwiązywaniu równania \\(3a - 1 = 3\\) pamiętaj o przeniesieniu \\(-1\\) na prawą stronę: \\(3a = 4\\), więc \\(a = \\frac{4}{3}\\), nie \\(a = \\frac{2}{3}\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Symetria względem osi \\(Ox\\)</h5>\n<p>Symetria względem \\(Ox\\): \\((x,y)\\to(x,-y).\\)<br>Jeśli \\(S=(3a-1, b+7)\\), to \\(S&#x27;=(3a-1,-(b+7)).\\)<br>Z warunku \\(S&#x27;=(3,7)\\):<br>\\(3a-1 = 3 \\Rightarrow a=\\tfrac{4}{3}.\\)<br>\\(-(b+7) = 7 \\Rightarrow b+7 = -7 \\Rightarrow b = -14.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Kontrola</h5>\n<p>Dla \\(a=\\tfrac{4}{3}, b=-14\\): \\(S=(3\\cdot\\tfrac{4}{3}-1, -14+7) = (3,-7)\\). Odbicie względem \\(Ox\\) daje \\((3,7)\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> \\(b=0\\) daje \\(S=(3,7)\\), odbicie \\((3,-7) \\ne (3,7)\\).</li><li><strong>C, D.</strong> Błędny \\(a\\) (znak lub wartość).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> symetria względem \\(Ox\\) zmienia tylko znak \\(y\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, korzystając z odpowiedniego wzoru redukcyjnego oraz tabeli wartości trygonometrycznych, mamy $\\sin135^{\\circ}=\\sin(180^{\\circ}-45^{\\circ})=\\sin45^{\\circ}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, zatem pole równoległoboku obliczamy jako iloczyn $|AB|\\cdot 10\\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2}$, co daje $|AB|=8\\sqrt{3}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Kąt przy A ma miarę 45^° . Ze wzoru na pole:</p>\n<p>40√(6)=10· AB·sin45^°<br>=5√(2)· AB.</p>\n<p>AB=(40√(6))/(5√(2))=8√(3).</p>"}]}