{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -𝑥+ 1. Funkcja 𝑔 jest liniowa.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑔 przechodzi przez punkt\n𝑃= (0, -1) i jest prostopadły do wykresu funkcji 𝑓.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWzorem funkcji 𝑔 jest\nA. 𝑔(𝑥) = 𝑥+ 1\nB. 𝑔(𝑥) = -𝑥-1\nC. 𝑔(𝑥) = -𝑥+ 1\nD. 𝑔(𝑥) = 𝑥-1\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=-x+1. Funkcja g jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji g przechodzi przez punkt P=(0,-1) i jest prostopadły do wykresu funkcji f. Wzorem funkcji g jest A. g(x)=x+1 B. g(x)=-x-1 C. g(x)=-x+1 D. g(x)=x-1","answer":"D","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich jak na przykład […]\nprostopadłość do innej prostej […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na objętość i pola podstawy\n\n**Krok 1: Przypomnij sobie wzór na objętość ostrosłupa.**\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]\n\nMamy \\(V = 2\\sqrt{3}\\), \\(h = 8\\). Podstawa jest trójkątem równobocznym o boku \\(a\\).\n\n**Krok 2: Zapisz pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku \\(a\\)).**\n\n\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n**Krok 3: Podstaw do wzoru na objętość i rozwiąż równanie.**\n\n\\[2\\sqrt{3} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot 8\\]\n\n\\[2\\sqrt{3} = \\frac{8a^2\\sqrt{3}}{12}\\]\n\n\\[2\\sqrt{3} = \\frac{2a^2\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n**Podziel obie strony przez \\(\\sqrt{3}\\)** (jest niezerowe):\n\n\\[2 = \\frac{2a^2}{3}\\]\n\n\\[a^2 = 3\\]\n\n\\[a = \\sqrt{3}\\]\n\n**Długość krawędzi podstawy wynosi \\(\\sqrt{3}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(a = \\sqrt{3}\\) objętość rzeczywiście wynosi \\(2\\sqrt{3}\\):\n\n\\[P_p = \\frac{(\\sqrt{3})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{3\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{4} \\cdot 8 = \\frac{1}{3} \\cdot 6\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź D jest prawidłowa.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\nUżyliśmy go w Kroku 1, żeby zapisać równanie na \\(a\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta równobocznego:\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy go jako \\(P_p\\) - pole podstawy ostrosłupa.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(3\\) | Pominięcie \\(\\sqrt{3}\\) w polu trójkąta równobocznego - wzięcie \\(P_p = \\frac{a^2}{4}\\) zamiast \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\). Wtedy \\(a^2 = 9\\), \\(a = 3\\). |\n| B: \\(\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\) | Błędne uproszczenie przy dzieleniu przez \\(\\sqrt{3}\\) lub pomyłka ze wzorem na wysokość trójkąta zamiast pola. |\n| C: \\(1\\) | Zapomniano podzielić przez \\(\\frac{1}{3}\\) we wzorze na objętość ostrosłupa (użyto \\(V = P_p \\cdot h\\) jak dla graniastosłupa). Wtedy \\(a^2 = 1\\), \\(a = 1\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ostrosłup **prawidłowy trójkątny** to ostrosłup, którego podstawą jest **trójkąt równoboczny**, a nie dowolny trójkąt. To \"prawidłowy\" decyduje o tym, jakiego wzoru na \\(P_p\\) użyć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl wzoru \\(V = \\frac{1}{3}P_p \\cdot h\\) (ostrosłup) z \\(V = P_p \\cdot h\\) (graniastosłup). Brak \\(\\frac{1}{3}\\) to jeden z najczęstszych błędów w zadaniach stereometrycznych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po uzyskaniu \\(a^2 = 3\\) łatwo przez nieuwagę zostawić wynik jako \\(a = 3\\) zamiast \\(a = \\sqrt{3}\\). Zawsze sprawdź, czy wyciągnąłeś pierwiastek.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na objętość ostrosłupa (karta wzorów)\n\\(V = \\tfrac{1}{3}P_{p}H.\\) Pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\): \\(P_{p} = \\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}.\\)\n\\(2\\sqrt{3} = \\tfrac{1}{3}\\cdot\\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\cdot 8 = \\tfrac{2a^{2}\\sqrt{3}}{3}.\\)\nStąd \\(a^{2} = 3 \\Rightarrow a = \\sqrt{3}.\\)\n\n### Sposób 2 - Kontrola\nDla \\(a=\\sqrt{3}\\): \\(P_{p} = \\tfrac{3\\sqrt{3}}{4}\\). \\(V = \\tfrac{1}{3}\\cdot\\tfrac{3\\sqrt{3}}{4}\\cdot 8 = \\tfrac{24\\sqrt{3}}{12} = 2\\sqrt{3}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 3** - błąd rachunkowy, pominięto pierwiastek.\n- **B. \\(\\tfrac{\\sqrt{6}}{2}\\)** - użyto innego wzoru na pole.\n- **C. 1** - za małe, \\(V\\) byłoby zbyt małe.\n\n**Trik:** pole trójkąta równobocznego: \\(\\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\); wzór z karty wzorów.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 26. (0-1)<br>Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -𝑥+ 1. Funkcja 𝑔 jest liniowa.<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑔 przechodzi przez punkt<br>𝑃= (0, -1) i jest prostopadły do wykresu funkcji 𝑓.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Wzorem funkcji 𝑔 jest<br>A. 𝑔(𝑥) = 𝑥+ 1<br>B. 𝑔(𝑥) = -𝑥-1<br>C. 𝑔(𝑥) = -𝑥+ 1<br>D. 𝑔(𝑥) = 𝑥-1<br>Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=-x+1. Funkcja g jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji g przechodzi przez punkt P=(0,-1) i jest prostopadły do wykresu funkcji f. Wzorem funkcji g jest A. g(x)=x+1 B. g(x)=-x-1 C. g(x)=-x+1 D. g(x)=x-1</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 26. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>IX.2) posługuje się równaniem prostej na<br>płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym<br>wyznacza równanie prostej o zadanych<br>własnościach (takich jak na przykład […]<br>prostopadłość do innej prostej […]).<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(\\sqrt{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Ze wzoru na objętość i pola podstawy</h4>\n<p><strong>Krok 1: Przypomnij sobie wzór na objętość ostrosłupa.</strong></p>\n<p>\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]</p>\n<p>Mamy \\(V = 2\\sqrt{3}\\), \\(h = 8\\). Podstawa jest trójkątem równobocznym o boku \\(a\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Zapisz pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku \\(a\\)).</strong></p>\n<p>\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Podstaw do wzoru na objętość i rozwiąż równanie.</strong></p>\n<p>\\[2\\sqrt{3} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot 8\\]</p>\n<p>\\[2\\sqrt{3} = \\frac{8a^2\\sqrt{3}}{12}\\]</p>\n<p>\\[2\\sqrt{3} = \\frac{2a^2\\sqrt{3}}{3}\\]</p>\n<p><strong>Podziel obie strony przez \\(\\sqrt{3}\\)</strong> (jest niezerowe):</p>\n<p>\\[2 = \\frac{2a^2}{3}\\]</p>\n<p>\\[a^2 = 3\\]</p>\n<p>\\[a = \\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Długość krawędzi podstawy wynosi \\(\\sqrt{3}\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy dla \\(a = \\sqrt{3}\\) objętość rzeczywiście wynosi \\(2\\sqrt{3}\\):</p>\n<p>\\[P_p = \\frac{(\\sqrt{3})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{3\\sqrt{3}}{4}\\]</p>\n<p>\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{4} \\cdot 8 = \\frac{1}{3} \\cdot 6\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3} \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza - odpowiedź D jest prawidłowa.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - wzór na objętość ostrosłupa:<br>\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]<br>Użyliśmy go w Kroku 1, żeby zapisać równanie na \\(a\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)</strong> - pole trójkąta równobocznego:<br>\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]<br>Użyliśmy go jako \\(P_p\\) - pole podstawy ostrosłupa.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A: \\(3\\) | Pominięcie \\(\\sqrt{3}\\) w polu trójkąta równobocznego - wzięcie \\(P_p = \\frac{a^2}{4}\\) zamiast \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\). Wtedy \\(a^2 = 9\\), \\(a = 3\\). |<br>| B: \\(\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\) | Błędne uproszczenie przy dzieleniu przez \\(\\sqrt{3}\\) lub pomyłka ze wzorem na wysokość trójkąta zamiast pola. |<br>| C: \\(1\\) | Zapomniano podzielić przez \\(\\frac{1}{3}\\) we wzorze na objętość ostrosłupa (użyto \\(V = P_p \\cdot h\\) jak dla graniastosłupa). Wtedy \\(a^2 = 1\\), \\(a = 1\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ostrosłup <strong>prawidłowy trójkątny</strong> to ostrosłup, którego podstawą jest <strong>trójkąt równoboczny</strong>, a nie dowolny trójkąt. To &quot;prawidłowy&quot; decyduje o tym, jakiego wzoru na \\(P_p\\) użyć.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie pomyl wzoru \\(V = \\frac{1}{3}P_p \\cdot h\\) (ostrosłup) z \\(V = P_p \\cdot h\\) (graniastosłup). Brak \\(\\frac{1}{3}\\) to jeden z najczęstszych błędów w zadaniach stereometrycznych!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po uzyskaniu \\(a^2 = 3\\) łatwo przez nieuwagę zostawić wynik jako \\(a = 3\\) zamiast \\(a = \\sqrt{3}\\). Zawsze sprawdź, czy wyciągnąłeś pierwiastek.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na objętość ostrosłupa (karta wzorów)</h5>\n<p>\\(V = \\tfrac{1}{3}P_{p}H.\\) Pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\): \\(P_{p} = \\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}.\\)<br>\\(2\\sqrt{3} = \\tfrac{1}{3}\\cdot\\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\cdot 8 = \\tfrac{2a^{2}\\sqrt{3}}{3}.\\)<br>Stąd \\(a^{2} = 3 \\Rightarrow a = \\sqrt{3}.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Kontrola</h5>\n<p>Dla \\(a=\\sqrt{3}\\): \\(P_{p} = \\tfrac{3\\sqrt{3}}{4}\\). \\(V = \\tfrac{1}{3}\\cdot\\tfrac{3\\sqrt{3}}{4}\\cdot 8 = \\tfrac{24\\sqrt{3}}{12} = 2\\sqrt{3}\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. 3</strong> - błąd rachunkowy, pominięto pierwiastek.</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{\\sqrt{6}}{2}\\)</strong> - użyto innego wzoru na pole.</li><li><strong>C. 1</strong> - za małe, \\(V\\) byłoby zbyt małe.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> pole trójkąta równobocznego: \\(\\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\); wzór z karty wzorów.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, funkcja $g(x) = x - 1$ ma współczynnik kierunkowy równy $1$, co oznacza, że jest prostopadła do funkcji $f$, a ponadto przechodzi przez punkt $P = (0, -1)$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Współczynnik kierunkowy funkcji f wynosi -1 , więc prosta prostopadła ma współczynnik 1 :</p>\n<p>g(x)=x+b.</p>\n<p>Ponieważ przechodzi przez P=(0,-1) , mamy b=-1 . Zatem</p>\n<p>g(x)=x-1.</p>"}]}