{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, 5) oraz 𝐶= (3, -3) są\nprzeciwległymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe\nA. 8√10\nB. 16√5\nC. 40\nD. 80\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(-1,5) oraz C=(3,-3) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole kwadratu ABCD jest równe A. 8√10 B. 16√5 C. 40 D. 80","answer":"C","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (pole ściany bocznej = \\(50\\))\n\n## Sposób 1 - Przekątna AD' i kąt nachylenia\n\n**Ustalamy geometrię sześciokąta prawidłowego.**\n\nW sześciokącie foremnym \\(ABCDEF\\) o boku \\(a = 5\\) wierzchołki \\(A\\) i \\(D\\) leżą **naprzeciwko siebie** (dzieli je 3 krawędzie w sześciokącie). Odległość między nimi:\n\n\\[|AD| = 2a = 2 \\cdot 5 = 10\\]\n\n**Analizujemy przekątną \\(AD'\\).**\n\nPunkt \\(A\\) leży na dolnej podstawie, punkt \\(D'\\) - na górnej, dokładnie nad \\(D\\). Rzut prostokątny przekątnej \\(AD'\\) na płaszczyznę podstawy to właśnie odcinek \\(AD\\).\n\nTworzy się trójkąt prostokątny:\n- ramię poziome: \\(|AD| = 10\\)\n- ramię pionowe: \\(h\\) (wysokość graniastosłupa)\n- kąt między \\(AD'\\) a podstawą: \\(45°\\)\n\n\\[\\operatorname{tg}45° = \\frac{h}{|AD|} = \\frac{h}{10}\\]\n\n\\[1 = \\frac{h}{10} \\implies \\boxed{h = 10}\\]\n\n**Obliczamy pole ściany bocznej.**\n\nKażda ściana boczna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego to prostokąt o wymiarach: krawędź podstawy × wysokość.\n\n\\[P_{\\text{ściany}} = a \\cdot h = 5 \\cdot 10 = \\boxed{50}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez długość przekątnej AD'\n\nWyznaczamy długość przekątnej \\(AD'\\) z kąta nachylenia, a potem odtwarzamy \\(h\\).\n\nSkoro kąt nachylenia \\(AD'\\) do podstawy wynosi \\(45°\\), a rzut to \\(|AD| = 10\\), to:\n\n\\[\\cos 45° = \\frac{|AD|}{|AD'|} \\implies |AD'| = \\frac{10}{\\cos 45°} = \\frac{10}{\\frac{\\sqrt{2}}{2}} = 10\\sqrt{2}\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[|AD'|^2 = |AD|^2 + h^2\\]\n\\[(10\\sqrt{2})^2 = 10^2 + h^2\\]\n\\[200 = 100 + h^2\\]\n\\[h^2 = 100 \\implies h = 10\\]\n\nPole ściany bocznej: \\(P = 5 \\cdot 10 = \\mathbf{50}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia wysokości graniastosłupa z kąta nachylenia przekątnej.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty:\n\\[P_b = O_p \\cdot h, \\quad V = P_p \\cdot h\\]\nDla jednej ściany bocznej: \\(P_{\\text{ściany}} = a \\cdot h\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\((12{,}5)\\) | Wzięto \\(|AD| = 5\\) jak dla sąsiednich wierzchołków (zamiast \\(10\\)), co daje \\(h = 5\\), a potem pole \\(\\frac{5 \\cdot 5}{2} = 12{,}5\\) - błąd w geometrii sześciokąta i wzorze na pole |\n| **B** \\((25)\\) | Pomylono odległość \\(|AD|\\) z \\(|AC|\\) = \\(5\\sqrt{3}\\) lub przyjęto \\(h = 5\\) (krawędź boczna = krawędź podstawy bez wyznaczenia), dając \\(P = 5 \\cdot 5 = 25\\) |\n| **D** \\((100)\\) | Policzono pole powierzchni **bocznej całej bryły** zamiast jednej ściany: \\(6 \\cdot 50 \\div 3 = 100\\) lub podwojono wynik |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W sześciokącie foremnym \\(ABCDEF\\) wierzchołki \\(A\\) i \\(D\\) są **naprzeciwległe** - odległość \\(|AD| = 2a\\), **nie** \\(a\\) ani \\(a\\sqrt{3}\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny mierzymy między prostą a jej **rzutem** na tę płaszczyznę - nie między prostą a pionową krawędzią. Stąd \\(\\operatorname{tg}45° = \\frac{h}{|AD|}\\), a **nie** \\(\\frac{|AD|}{h}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie pyta o pole **jednej** ściany bocznej, nie o całkowitą powierzchnię boczną (która wynosiłaby \\(6 \\times 50 = 300\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Przekątna graniastosłupa\nW sześciokącie prawidłowym o boku \\(a=5\\) przekątna \\(AD\\) (łącząca przeciwległe wierzchołki) ma długość \\(|AD| = 2a = 10.\\)\nPrzekątna \\(AD'\\) nachylona do podstawy pod \\(45^{\\circ}\\), więc trójkąt \\(ADD'\\) jest prostokątny, \\(|DD'| = |AD|\\cdot\\operatorname{tg} 45^{\\circ} = 10\\cdot 1 = 10.\\)\nŚciana boczna to prostokąt o bokach \\(5\\) i \\(10\\): \\(P = 5\\cdot 10 = 50.\\)\n\n### Sposób 2 - Trójkąt równoramienny\nTrójkąt \\(ADD'\\) o kątach \\(45^{\\circ}, 45^{\\circ}, 90^{\\circ}\\) jest równoramienny, więc \\(|DD'| = |AD| = 10.\\) Pole ściany \\(= a\\cdot H = 5\\cdot 10 = 50.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 12,5** - połowa podstawy.\n- **B. 25** - tylko \\(a^{2}\\).\n- **D. 100** - \\(2\\cdot 50\\) (pomyłka).\n\n**Trik:** dłuższa przekątna sześciokąta prawidłowego: \\(d=2a\\); przy kącie \\(45^{\\circ}\\) wysokość równa się poziomemu odcinkowi.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Geometria analityczna, analityczna","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, 5) oraz 𝐶= (3, -3) są<br>przeciwległymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Pole kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe<br>A. 8√10<br>B. 16√5<br>C. 40<br>D. 80</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(-1,5) oraz C=(3,-3) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole kwadratu ABCD jest równe A. 8√10 B. 16√5 C. 40 D. 80</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>IX.3) oblicza odległość dwóch punktów<br>w układzie współrzędnych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C (pole ściany bocznej = \\(50\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Przekątna AD&#x27; i kąt nachylenia</h4>\n<p><strong>Ustalamy geometrię sześciokąta prawidłowego.</strong></p>\n<p>W sześciokącie foremnym \\(ABCDEF\\) o boku \\(a = 5\\) wierzchołki \\(A\\) i \\(D\\) leżą <strong>naprzeciwko siebie</strong> (dzieli je 3 krawędzie w sześciokącie). Odległość między nimi:</p>\n<p>\\[|AD| = 2a = 2 \\cdot 5 = 10\\]</p>\n<p><strong>Analizujemy przekątną \\(AD&#x27;\\).</strong></p>\n<p>Punkt \\(A\\) leży na dolnej podstawie, punkt \\(D&#x27;\\) - na górnej, dokładnie nad \\(D\\). Rzut prostokątny przekątnej \\(AD&#x27;\\) na płaszczyznę podstawy to właśnie odcinek \\(AD\\).</p>\n<p>Tworzy się trójkąt prostokątny:</p>\n<ul><li>ramię poziome: \\(|AD| = 10\\)</li><li>ramię pionowe: \\(h\\) (wysokość graniastosłupa)</li><li>kąt między \\(AD&#x27;\\) a podstawą: \\(45°\\)</li></ul>\n<p>\\[\\operatorname{tg}45° = \\frac{h}{|AD|} = \\frac{h}{10}\\]</p>\n<p>\\[1 = \\frac{h}{10} \\implies \\boxed{h = 10}\\]</p>\n<p><strong>Obliczamy pole ściany bocznej.</strong></p>\n<p>Każda ściana boczna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego to prostokąt o wymiarach: krawędź podstawy × wysokość.</p>\n<p>\\[P_{\\text{ściany}} = a \\cdot h = 5 \\cdot 10 = \\boxed{50}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez długość przekątnej AD&#x27;</h4>\n<p>Wyznaczamy długość przekątnej \\(AD&#x27;\\) z kąta nachylenia, a potem odtwarzamy \\(h\\).</p>\n<p>Skoro kąt nachylenia \\(AD&#x27;\\) do podstawy wynosi \\(45°\\), a rzut to \\(|AD| = 10\\), to:</p>\n<p>\\[\\cos 45° = \\frac{|AD|}{|AD&#x27;|} \\implies |AD&#x27;| = \\frac{10}{\\cos 45°} = \\frac{10}{\\frac{\\sqrt{2}}{2}} = 10\\sqrt{2}\\]</p>\n<p>Z twierdzenia Pitagorasa:</p>\n<p>\\[|AD&#x27;|^2 = |AD|^2 + h^2\\]<br>\\[(10\\sqrt{2})^2 = 10^2 + h^2\\]<br>\\[200 = 100 + h^2\\]<br>\\[h^2 = 100 \\implies h = 10\\]</p>\n<p>Pole ściany bocznej: \\(P = 5 \\cdot 10 = \\mathbf{50}\\)</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\]<br>Użyliśmy tego do wyznaczenia wysokości graniastosłupa z kąta nachylenia przekątnej.</p>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - graniastosłup prosty:<br>\\[P_b = O_p \\cdot h, \\quad V = P_p \\cdot h\\]<br>Dla jednej ściany bocznej: \\(P_{\\text{ściany}} = a \\cdot h\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> \\((12{,}5)\\) | Wzięto \\(|AD| = 5\\) jak dla sąsiednich wierzchołków (zamiast \\(10\\)), co daje \\(h = 5\\), a potem pole \\(\\frac{5 \\cdot 5}{2} = 12{,}5\\) - błąd w geometrii sześciokąta i wzorze na pole |<br>| <strong>B</strong> \\((25)\\) | Pomylono odległość \\(|AD|\\) z \\(|AC|\\) = \\(5\\sqrt{3}\\) lub przyjęto \\(h = 5\\) (krawędź boczna = krawędź podstawy bez wyznaczenia), dając \\(P = 5 \\cdot 5 = 25\\) |<br>| <strong>D</strong> \\((100)\\) | Policzono pole powierzchni <strong>bocznej całej bryły</strong> zamiast jednej ściany: \\(6 \\cdot 50 \\div 3 = 100\\) lub podwojono wynik |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W sześciokącie foremnym \\(ABCDEF\\) wierzchołki \\(A\\) i \\(D\\) są <strong>naprzeciwległe</strong> - odległość \\(|AD| = 2a\\), <strong>nie</strong> \\(a\\) ani \\(a\\sqrt{3}\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny mierzymy między prostą a jej <strong>rzutem</strong> na tę płaszczyznę - nie między prostą a pionową krawędzią. Stąd \\(\\operatorname{tg}45° = \\frac{h}{|AD|}\\), a <strong>nie</strong> \\(\\frac{|AD|}{h}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pytanie pyta o pole <strong>jednej</strong> ściany bocznej, nie o całkowitą powierzchnię boczną (która wynosiłaby \\(6 \\times 50 = 300\\)).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Przekątna graniastosłupa</h5>\n<p>W sześciokącie prawidłowym o boku \\(a=5\\) przekątna \\(AD\\) (łącząca przeciwległe wierzchołki) ma długość \\(|AD| = 2a = 10.\\)<br>Przekątna \\(AD&#x27;\\) nachylona do podstawy pod \\(45^{\\circ}\\), więc trójkąt \\(ADD&#x27;\\) jest prostokątny, \\(|DD&#x27;| = |AD|\\cdot\\operatorname{tg} 45^{\\circ} = 10\\cdot 1 = 10.\\)<br>Ściana boczna to prostokąt o bokach \\(5\\) i \\(10\\): \\(P = 5\\cdot 10 = 50.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Trójkąt równoramienny</h5>\n<p>Trójkąt \\(ADD&#x27;\\) o kątach \\(45^{\\circ}, 45^{\\circ}, 90^{\\circ}\\) jest równoramienny, więc \\(|DD&#x27;| = |AD| = 10.\\) Pole ściany \\(= a\\cdot H = 5\\cdot 10 = 50.\\)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. 12,5</strong> - połowa podstawy.</li><li><strong>B. 25</strong> - tylko \\(a^{2}\\).</li><li><strong>D. 100</strong> - \\(2\\cdot 50\\) (pomyłka).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dłuższa przekątna sześciokąta prawidłowego: \\(d=2a\\); przy kącie \\(45^{\\circ}\\) wysokość równa się poziomemu odcinkowi.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, przekątna kwadratu, czyli odcinek $AC$, ma długość $\\sqrt80$, więc bok jest równy $\\sqrt{40}$, co oznacza, że pole kwadratu wynosi $40$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Najpierw obliczamy długość przekątnej AC :</p>\n<p>|AC|=√((3-(-1))^2+(-3-5)^2).</p>\n<p>|AC|=√(4^2+(-8)^2)<br>=√(16+64)<br>=√(80)<br>=4√(5).</p>\n<p>Przekątna kwadratu spełnia zależność</p>\n<p>d=a√(2),</p>\n<p>więc pole kwadratu możemy obliczyć ze wzoru</p>\n<p>P=(d^2)/(2).</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>P=((4√(5))^2)/(2)<br>=(16·5)/(2)<br>=40.</p>\n<p>Poprawna jest odpowiedź C.</p>"}]}