{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są punkty 𝐴= (1, 7) oraz\n𝑃= (3, 1). Punkt 𝑃 dzieli odcinek 𝐴𝐵 tak, że |𝐴𝑃| ∶|𝑃𝐵| = 1 ∶3.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPunkt 𝐵 ma współrzędne\nA. (9, -5)\nB. (9, -17)\nC. (7, -11)\nD. (5, -5)\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są punkty A=(1,7) oraz P=(3,1). Punkt P dzieli odcinek AB tak, że |AP|:|PB|=1:3. Punkt B ma współrzędne A. (9,-5) B. (9,-17) C. (7,-11) D. (5,-5)","answer":"144","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.4) (SP) znajduje środek odcinka […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(s + 4\\)\n\n## Sposób 1 - Z definicji średniej (algebraicznie)\n\nOznaczmy sto liczb całkowitych dodatnich jako \\(a_1, a_2, \\ldots, a_{100}\\).\n\n**Średnia pierwotnego zestawu:**\n\\[\\bar{x} = \\frac{a_1 + a_2 + \\cdots + a_{100}}{100} = s\\]\n\nStąd wynika, że suma wszystkich liczb wynosi:\n\\[a_1 + a_2 + \\cdots + a_{100} = 100s\\]\n\n**Nowy zestaw:** każdą liczbę zwiększamy o \\(4\\), więc nowe liczby to:\n\\[a_1 + 4,\\; a_2 + 4,\\; \\ldots,\\; a_{100} + 4\\]\n\n**Suma nowego zestawu:**\n\\[(a_1 + 4) + (a_2 + 4) + \\cdots + (a_{100} + 4)\\]\n\\[= (a_1 + a_2 + \\cdots + a_{100}) + \\underbrace{4 + 4 + \\cdots + 4}_{100 \\text{ razy}}\\]\n\\[= 100s + 4 \\cdot 100 = 100s + 400\\]\n\n**Średnia nowego zestawu:**\n\\[\\bar{x}_{\\text{nowy}} = \\frac{100s + 400}{100} = \\frac{100s}{100} + \\frac{400}{100} = s + 4\\]\n\n**Odpowiedź: \\(s + 4\\)**, czyli opcja **A**.\n\n## Sposób 2 - Intuicja i weryfikacja na przykładzie\n\n**Intuicja:** jeśli do każdej z \\(100\\) liczb dodamy tę samą wartość \\(4\\), to średnia zwiększy się dokładnie o \\(4\\). Dodanie stałej do każdego elementu \"przesuwa\" całą średnią o tę samą stałą.\n\n**Weryfikacja na konkretnym przykładzie:**\n\nWeźmy prosty zestaw: \\(1, 1, 1, \\ldots, 1\\) (sto jedynek). Wtedy:\n\\[\\bar{x} = \\frac{100 \\cdot 1}{100} = 1, \\quad \\text{więc } s = 1\\]\n\nPo zwiększeniu każdej o \\(4\\): \\(5, 5, 5, \\ldots, 5\\) (sto piątek):\n\\[\\bar{x}_{\\text{nowy}} = \\frac{100 \\cdot 5}{100} = 5\\]\n\nSprawdzamy odpowiedzi:\n- **A:** \\(s + 4 = 1 + 4 = 5\\) ✓\n- B: \\(s + \\frac{4}{100} = 1{,}04\\) ✗\n- C: \\(\\frac{s+4}{100} = \\frac{5}{100} = 0{,}05\\) ✗\n- D: \\(4s = 4\\) ✗\n\nWynik potwierdza odpowiedź **A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja średniej arytmetycznej:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\cdots + a_n}{n}\\]\nUżyliśmy jej wprost - najpierw do wyznaczenia sumy \\(100s\\), a potem do obliczenia nowej średniej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | Uczeń myśli: \"dodaję \\(4\\) do sumy stu liczb, więc średnia rośnie o \\(\\frac{4}{100}\\)\" - błąd: \\(4\\) jest dodawane do **każdej** z \\(100\\) liczb, czyli łącznie \\(+400\\) do sumy, nie \\(+4\\) |\n| C | Uczeń wylicza nową sumę jako \\(s + 4\\), a potem dzieli ją przez \\(100\\) - zapomina, że \\(s\\) to już **średnia** (nie suma), i miesza dwa różne obliczenia |\n| D | Uczeń myli dodawanie z mnożeniem - jakby każda liczba była mnożona przez \\(4\\), a nie zwiększana o \\(4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dodanie stałej \\(c\\) do **każdego** elementu zestawu zwiększa średnią o **dokładnie \\(c\\)** - nie o \\(\\frac{c}{n}\\). Pułapka B jest bardzo popularna na maturze!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić operacji na **sumie** z operacjami na **średniej**. Tu suma rośnie o \\(100 \\cdot 4 = 400\\), a po podzieleniu przez \\(100\\) średnia rośnie o \\(4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ta własność działa dla dowolnej liczby elementów \\(n\\) i dowolnej stałej \\(c\\): jeśli dodasz \\(c\\) do każdej liczby, nowa średnia = stara średnia \\(+ c\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na średnią\nJeśli \\(\\bar{x} = \\dfrac{\\sum x_{i}}{100} = s\\), to dla \\(y_{i} = x_{i}+4\\): \\(\\sum y_{i} = \\sum x_{i} + 100\\cdot 4 = 100s + 400.\\)\n\\(\\bar{y} = \\dfrac{100s+400}{100} = s + 4.\\)\n\n### Sposób 2 - Własność średniej\nDodanie stałej \\(c\\) do każdego elementu zwiększa średnią o \\(c\\): \\(\\bar{y} = \\bar{x}+c.\\) Tu \\(c=4\\), więc \\(\\bar{y}=s+4.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(s+\\tfrac{4}{100}\\)** - błędnie podzielono \\(4\\) przez \\(100\\).\n- **C. \\(\\tfrac{s+4}{100}\\)** - błędne dzielenie.\n- **D. \\(4s\\)** - pomylono dodawanie z mnożeniem.\n\n**Trik:** dodanie stałej do każdego elementu przesuwa średnią o tę stałą.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Geometria analityczna, analityczna","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (0-1)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są punkty 𝐴= (1, 7) oraz
𝑃= (3, 1). Punkt 𝑃 dzieli odcinek 𝐴𝐵 tak, że |𝐴𝑃| ∶|𝑃𝐵| = 1 ∶3.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Punkt 𝐵 ma współrzędne
A. (9, -5)
B. (9, -17)
C. (7, -11)
D. (5, -5)

\n

MMAP-P0_100
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są punkty A=(1,7) oraz P=(3,1). Punkt P dzieli odcinek AB tak, że |AP|:|PB|=1:3. Punkt B ma współrzędne A. (9,-5) B. (9,-17) C. (7,-11) D. (5,-5)

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
X.4) (SP) znajduje środek odcinka […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(s + 4\\)

\n

Sposób 1 - Z definicji średniej (algebraicznie)

\n

Oznaczmy sto liczb całkowitych dodatnich jako \\(a_1, a_2, \\ldots, a_{100}\\).

\n

Średnia pierwotnego zestawu:
\\[\\bar{x} = \\frac{a_1 + a_2 + \\cdots + a_{100}}{100} = s\\]

\n

Stąd wynika, że suma wszystkich liczb wynosi:
\\[a_1 + a_2 + \\cdots + a_{100} = 100s\\]

\n

Nowy zestaw: każdą liczbę zwiększamy o \\(4\\), więc nowe liczby to:
\\[a_1 + 4,\\; a_2 + 4,\\; \\ldots,\\; a_{100} + 4\\]

\n

Suma nowego zestawu:
\\[(a_1 + 4) + (a_2 + 4) + \\cdots + (a_{100} + 4)\\]
\\[= (a_1 + a_2 + \\cdots + a_{100}) + \\underbrace{4 + 4 + \\cdots + 4}_{100 \\text{ razy}}\\]
\\[= 100s + 4 \\cdot 100 = 100s + 400\\]

\n

Średnia nowego zestawu:
\\[\\bar{x}_{\\text{nowy}} = \\frac{100s + 400}{100} = \\frac{100s}{100} + \\frac{400}{100} = s + 4\\]

\n

Odpowiedź: \\(s + 4\\), czyli opcja A.

\n

Sposób 2 - Intuicja i weryfikacja na przykładzie

\n

Intuicja: jeśli do każdej z \\(100\\) liczb dodamy tę samą wartość \\(4\\), to średnia zwiększy się dokładnie o \\(4\\). Dodanie stałej do każdego elementu "przesuwa" całą średnią o tę samą stałą.

\n

Weryfikacja na konkretnym przykładzie:

\n

Weźmy prosty zestaw: \\(1, 1, 1, \\ldots, 1\\) (sto jedynek). Wtedy:
\\[\\bar{x} = \\frac{100 \\cdot 1}{100} = 1, \\quad \\text{więc } s = 1\\]

\n

Po zwiększeniu każdej o \\(4\\): \\(5, 5, 5, \\ldots, 5\\) (sto piątek):
\\[\\bar{x}_{\\text{nowy}} = \\frac{100 \\cdot 5}{100} = 5\\]

\n

Sprawdzamy odpowiedzi:

\n\n

Wynik potwierdza odpowiedź A.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - definicja średniej arytmetycznej:
\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\cdots + a_n}{n}\\]
Użyliśmy jej wprost - najpierw do wyznaczenia sumy \\(100s\\), a potem do obliczenia nowej średniej.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | Uczeń myśli: "dodaję \\(4\\) do sumy stu liczb, więc średnia rośnie o \\(\\frac{4}{100}\\)" - błąd: \\(4\\) jest dodawane do każdej z \\(100\\) liczb, czyli łącznie \\(+400\\) do sumy, nie \\(+4\\) |
| C | Uczeń wylicza nową sumę jako \\(s + 4\\), a potem dzieli ją przez \\(100\\) - zapomina, że \\(s\\) to już średnia (nie suma), i miesza dwa różne obliczenia |
| D | Uczeń myli dodawanie z mnożeniem - jakby każda liczba była mnożona przez \\(4\\), a nie zwiększana o \\(4\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Dodanie stałej \\(c\\) do każdego elementu zestawu zwiększa średnią o dokładnie \\(c\\) - nie o \\(\\frac{c}{n}\\). Pułapka B jest bardzo popularna na maturze!
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić operacji na sumie z operacjami na średniej. Tu suma rośnie o \\(100 \\cdot 4 = 400\\), a po podzieleniu przez \\(100\\) średnia rośnie o \\(4\\).
\n
⚠️ Uwaga: Ta własność działa dla dowolnej liczby elementów \\(n\\) i dowolnej stałej \\(c\\): jeśli dodasz \\(c\\) do każdej liczby, nowa średnia = stara średnia \\(+ c\\).
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wzór na średnią
\n

Jeśli \\(\\bar{x} = \\dfrac{\\sum x_{i}}{100} = s\\), to dla \\(y_{i} = x_{i}+4\\): \\(\\sum y_{i} = \\sum x_{i} + 100\\cdot 4 = 100s + 400.\\)
\\(\\bar{y} = \\dfrac{100s+400}{100} = s + 4.\\)

\n
Sposób 2 - Własność średniej
\n

Dodanie stałej \\(c\\) do każdego elementu zwiększa średnią o \\(c\\): \\(\\bar{y} = \\bar{x}+c.\\) Tu \\(c=4\\), więc \\(\\bar{y}=s+4.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: dodanie stałej do każdego elementu przesuwa średnią o tę stałą.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, współrzędne środka odcinka $AB$ to $(5,-5)$, a współrzędne środka odcinka o końcach w punktach $A$ oraz $(5,-5)$ to $(3,1)$, co odpowiada punktowi $P$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Ponieważ

\n

|AP|:|PB|=1:3,

\n

punkt P leży w jednej czwartej odcinka AB .

\n

Wprowadzamy punkt S , który jest środkiem odcinka AB . Wtedy punkt P jest środkiem odcinka AS .

\n

Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka:

\n

P= ((x_A+x_S)/(2),(y_A+y_S)/(2) ).

\n

Podstawiamy A=(1,7) i P=(3,1) :

\n

3=(1+x_S)/(2), 1=(7+y_S)/(2).

\n

Stąd

\n

x_S=5, y_S=-5,

\n

czyli

\n

S=(5,-5).

\n

Teraz S jest środkiem odcinka AB , więc ponownie korzystamy ze wzoru na środek:

\n

5=(1+x_B)/(2), -5=(7+y_B)/(2).

\n

Stąd

\n

x_B=9, y_B=-17.

\n

Zatem

\n

B=(9,-17).

\n

Poprawna jest odpowiedź B.

"}]}