{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29.\nDany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku 6. Jedna z krawędzi bocznych\ntego ostrosłupa ma długość 12 i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.\nDany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku 6. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość 12 i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu. Objętość tego ostrosłupa jest równa ................. .","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D (6 liczb)\n\n## Sposób 1 - Systematyczne wyliczanie (przypadki wg pierwszej cyfry)\n\nSzukamy liczb trzycyfrowych \\(\\overline{abc}\\), gdzie \\(a + b + c = 3\\), \\(a \\geq 1\\), \\(b,c \\geq 0\\).\n\nPrzeglądamy przypadki według wartości \\(a\\):\n\n**Gdy \\(a = 1\\):** musimy mieć \\(b + c = 2\\):\n\n| \\(b\\) | \\(c\\) | Liczba |\n| 0 | 2 | 102 |\n| 1 | 1 | 111 |\n| 2 | 0 | 120 |\n\n→ **3 liczby**\n\n**Gdy \\(a = 2\\):** musimy mieć \\(b + c = 1\\):\n\n| \\(b\\) | \\(c\\) | Liczba |\n| 0 | 1 | 201 |\n| 1 | 0 | 210 |\n\n→ **2 liczby**\n\n**Gdy \\(a = 3\\):** musimy mieć \\(b + c = 0\\), więc \\(b = c = 0\\):\n\n| \\(b\\) | \\(c\\) | Liczba |\n| 0 | 0 | 300 |\n\n→ **1 liczba**\n\n**Gdy \\(a \\geq 4\\):** niemożliwe, bo sama pierwsza cyfra \\(\\geq 4 > 3\\).\n\n**Razem:** \\(3 + 2 + 1 = \\mathbf{6}\\) liczb.\n\n## Sposób 2 - Kombinatoryki (gwiazdki i przegrody)\n\nSzukamy liczby rozwiązań \\(a + b + c = 3\\) w liczbach naturalnych nieujemnych, przy warunku \\(a \\geq 1\\).\n\n**Podstawiamy** \\(a' = a - 1\\) (aby pozbyć się warunku \\(a \\geq 1\\)), wtedy:\n\\[a' + b + c = 2, \\quad a', b, c \\geq 0\\]\n\nLiczba nieujemnych rozwiązań całkowitoliczbowych równania \\(x_1 + x_2 + x_3 = n\\) to:\n\\[\\binom{n + 2}{2}\\]\n\nDla \\(n = 2\\):\n\\[\\binom{2 + 2}{2} = \\binom{4}{2} = \\frac{4!}{2! \\cdot 2!} = \\frac{4 \\cdot 3}{2} = \\mathbf{6}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - kombinacje bez powtórzeń:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\n\nUżyliśmy w Sposobie 2 wzoru na liczbę rozwiązań równania \"gwiazdki i przegrody\": liczba nieujemnych rozwiązań \\(x_1 + \\ldots + x_r = n\\) wynosi \\(\\binom{n+r-1}{r-1}\\). Dla \\(r=3, n=2\\): \\(\\binom{4}{2} = 6\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(8\\)) | Policzono rozwiązania bez warunku \\(a \\geq 1\\) metodą gwiazdek: \\(\\binom{5}{2} = 10\\), ale być może jeszcze inne pomyłki w liczeniu |\n| B (\\(4\\)) | Zapomniano o przypadku \\(a=1\\) z \\((b,c) = (0,2)\\) lub \\((2,0)\\), licząc tylko symetryczne - pominięto np. 102 i 120 |\n| C (\\(5\\)) | Zapomniano o jednej liczbie - najczęściej o \\(300\\) (gdy myślimy tylko o \"kombinacjach z jedynkami\") |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwsza cyfra liczby trzycyfrowej NIE może być zerem! Dlatego \\(a \\geq 1\\), a liczby takie jak \\(012\\) lub \\(021\\) NIE są liczbami trzycyfrowymi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo przeoczyć \\(300\\) - uczniowie często szukają tylko liczb z kilkoma niezerowymi cyframi i zapominają, że jedna cyfra może \"wchłonąć\" całą sumę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu kombinatorycznym pamiętaj o zamianie \\(a \\geq 1\\) na \\(a' \\geq 0\\) przed użyciem wzoru - inaczej dostaniesz za duży wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wyliczenie\nLiczba trzycyfrowa: \\(\\overline{abc}\\), gdzie \\(a\\in\\{1,\\ldots,9\\}\\), \\(b,c\\in\\{0,\\ldots,9\\}\\), \\(a+b+c=3\\).\n- \\(a=1\\): \\(b+c=2 \\Rightarrow (0,2),(1,1),(2,0)\\) - 3 liczby: 102, 111, 120.\n- \\(a=2\\): \\(b+c=1 \\Rightarrow (0,1),(1,0)\\) - 2 liczby: 201, 210.\n- \\(a=3\\): \\(b+c=0 \\Rightarrow (0,0)\\) - 1 liczba: 300.\nŁącznie \\(3+2+1=6.\\)\n\n### Sposób 2 - Wzór kombinatoryczny (stars & bars)\nLiczba rozwiązań \\(a+b+c=3\\) z \\(a\\geq 1\\): podstaw \\(a'=a-1\\geq 0\\); \\(a'+b+c=2\\); \\(\\binom{2+2}{2}=\\binom{4}{2}=6.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 8, B. 4, C. 5** - błędne liczenie kombinacji.\n\n**Trik:** wyliczenie przez przypadki według pierwszej cyfry \\(a\\); sprawdź wszystkie \\(a=1,2,3\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":null,"page_from":26,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 29.<br>Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku 6. Jedna z krawędzi bocznych<br>tego ostrosłupa ma długość 12 i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.<br>Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku 6. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość 12 i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu. Objętość tego ostrosłupa jest równa ................. .</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D (6 liczb)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Systematyczne wyliczanie (przypadki wg pierwszej cyfry)</h4>\n<p>Szukamy liczb trzycyfrowych \\(\\overline{abc}\\), gdzie \\(a + b + c = 3\\), \\(a \\geq 1\\), \\(b,c \\geq 0\\).</p>\n<p>Przeglądamy przypadki według wartości \\(a\\):</p>\n<p><strong>Gdy \\(a = 1\\):</strong> musimy mieć \\(b + c = 2\\):</p>\n<p>| \\(b\\) | \\(c\\) | Liczba |<br>| 0 | 2 | 102 |<br>| 1 | 1 | 111 |<br>| 2 | 0 | 120 |</p>\n<p>→ <strong>3 liczby</strong></p>\n<p><strong>Gdy \\(a = 2\\):</strong> musimy mieć \\(b + c = 1\\):</p>\n<p>| \\(b\\) | \\(c\\) | Liczba |<br>| 0 | 1 | 201 |<br>| 1 | 0 | 210 |</p>\n<p>→ <strong>2 liczby</strong></p>\n<p><strong>Gdy \\(a = 3\\):</strong> musimy mieć \\(b + c = 0\\), więc \\(b = c = 0\\):</p>\n<p>| \\(b\\) | \\(c\\) | Liczba |<br>| 0 | 0 | 300 |</p>\n<p>→ <strong>1 liczba</strong></p>\n<p><strong>Gdy \\(a \\geq 4\\):</strong> niemożliwe, bo sama pierwsza cyfra \\(\\geq 4 &gt; 3\\).</p>\n<p><strong>Razem:</strong> \\(3 + 2 + 1 = \\mathbf{6}\\) liczb.</p>\n<h4>Sposób 2 - Kombinatoryki (gwiazdki i przegrody)</h4>\n<p>Szukamy liczby rozwiązań \\(a + b + c = 3\\) w liczbach naturalnych nieujemnych, przy warunku \\(a \\geq 1\\).</p>\n<p><strong>Podstawiamy</strong> \\(a&#x27; = a - 1\\) (aby pozbyć się warunku \\(a \\geq 1\\)), wtedy:<br>\\[a&#x27; + b + c = 2, \\quad a&#x27;, b, c \\geq 0\\]</p>\n<p>Liczba nieujemnych rozwiązań całkowitoliczbowych równania \\(x_1 + x_2 + x_3 = n\\) to:<br>\\[\\binom{n + 2}{2}\\]</p>\n<p>Dla \\(n = 2\\):<br>\\[\\binom{2 + 2}{2} = \\binom{4}{2} = \\frac{4!}{2! \\cdot 2!} = \\frac{4 \\cdot 3}{2} = \\mathbf{6}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)</strong> - kombinacje bez powtórzeń:<br>\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]</p>\n<p>Użyliśmy w Sposobie 2 wzoru na liczbę rozwiązań równania &quot;gwiazdki i przegrody&quot;: liczba nieujemnych rozwiązań \\(x_1 + \\ldots + x_r = n\\) wynosi \\(\\binom{n+r-1}{r-1}\\). Dla \\(r=3, n=2\\): \\(\\binom{4}{2} = 6\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (\\(8\\)) | Policzono rozwiązania bez warunku \\(a \\geq 1\\) metodą gwiazdek: \\(\\binom{5}{2} = 10\\), ale być może jeszcze inne pomyłki w liczeniu |<br>| B (\\(4\\)) | Zapomniano o przypadku \\(a=1\\) z \\((b,c) = (0,2)\\) lub \\((2,0)\\), licząc tylko symetryczne - pominięto np. 102 i 120 |<br>| C (\\(5\\)) | Zapomniano o jednej liczbie - najczęściej o \\(300\\) (gdy myślimy tylko o &quot;kombinacjach z jedynkami&quot;) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pierwsza cyfra liczby trzycyfrowej NIE może być zerem! Dlatego \\(a \\geq 1\\), a liczby takie jak \\(012\\) lub \\(021\\) NIE są liczbami trzycyfrowymi.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo przeoczyć \\(300\\) - uczniowie często szukają tylko liczb z kilkoma niezerowymi cyframi i zapominają, że jedna cyfra może &quot;wchłonąć&quot; całą sumę.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy liczeniu kombinatorycznym pamiętaj o zamianie \\(a \\geq 1\\) na \\(a&#x27; \\geq 0\\) przed użyciem wzoru - inaczej dostaniesz za duży wynik.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wyliczenie</h5>\n<p>Liczba trzycyfrowa: \\(\\overline{abc}\\), gdzie \\(a\\in\\{1,\\ldots,9\\}\\), \\(b,c\\in\\{0,\\ldots,9\\}\\), \\(a+b+c=3\\).</p>\n<ul><li>\\(a=1\\): \\(b+c=2 \\Rightarrow (0,2),(1,1),(2,0)\\) - 3 liczby: 102, 111, 120.</li><li>\\(a=2\\): \\(b+c=1 \\Rightarrow (0,1),(1,0)\\) - 2 liczby: 201, 210.</li><li>\\(a=3\\): \\(b+c=0 \\Rightarrow (0,0)\\) - 1 liczba: 300.</li></ul>\n<p>Łącznie \\(3+2+1=6.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór kombinatoryczny (stars &amp; bars)</h5>\n<p>Liczba rozwiązań \\(a+b+c=3\\) z \\(a\\geq 1\\): podstaw \\(a&#x27;=a-1\\geq 0\\); \\(a&#x27;+b+c=2\\); \\(\\binom{2+2}{2}=\\binom{4}{2}=6.\\)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. 8, B. 4, C. 5</strong> - błędne liczenie kombinacji.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> wyliczenie przez przypadki według pierwszej cyfry \\(a\\); sprawdź wszystkie \\(a=1,2,3\\).</p>"}]}