{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝒌 reszta z dzielenia liczby 𝟒𝟗𝒌𝟐+ 𝟕𝒌-𝟐\nprzez 𝟕 jest równa 𝟓.\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej k reszta z dzielenia liczby 49k^2+7k-2 przez 7 jest równa 5.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia nie trudniejsze niż dowód\npodzielności przez 24 iloczynu czterech\nkolejnych liczb naturalnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie danego wyrażenia do postaci 7 ⋅(7𝑘2 + 𝑘-1) + 5 oraz zapisanie,\nże 7𝑘2 + 𝑘-1 jest liczbą całkowitą.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 49𝑘2 + 7𝑘-2 do postaci 7 ⋅(7𝑘2 + 𝑘-1) + 5.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy dla wybranych wartości 𝑘, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równoważnie dane wyrażenie\n49𝑘2 + 7𝑘-2 = 49𝑘2 + 7𝑘-7 + 5 = 7 ⋅(7𝑘2 + 𝑘-1) + 5\nPonieważ 𝑘 jest liczbą całkowitą, więc 7𝑘2 + 𝑘-1 jest liczbą całkowitą. Zatem\n7 ⋅(7𝑘2 + 𝑘-1) jest wielokrotnością liczby 7. Stąd 7 ⋅(7𝑘2 + 𝑘-1) + 5 przy dzieleniu\nprzez 7 daje resztę 5. To należało pokazać.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(4347\\) zł\n\n## Sposób 1 - Obliczenie odsetek za każdy rok osobno\n\n**Rok 1:**\n\nKapitał początkowy: \\(K_0 = 30\\,000\\) zł\n\nOdsetki po pierwszym roku:\n\\[O_1 = 7\\% \\cdot 30\\,000 = 0{,}07 \\cdot 30\\,000 = 2\\,100 \\text{ zł}\\]\n\nKapitał po pierwszym roku:\n\\[K_1 = 30\\,000 + 2\\,100 = 32\\,100 \\text{ zł}\\]\n\n**Rok 2:**\n\nOdsetki są teraz naliczane od **nowego, większego kapitału** \\(K_1\\):\n\\[O_2 = 7\\% \\cdot 32\\,100 = 0{,}07 \\cdot 32\\,100 = 2\\,247 \\text{ zł}\\]\n\n**Łączne odsetki po dwóch latach:**\n\\[O_1 + O_2 = 2\\,100 + 2\\,247 = \\mathbf{4\\,347} \\text{ zł}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na procent składany, potem odjęcie kapitału\n\nKorzystamy ze wzoru na kapitał po \\(n\\) latach przy procentach składanych:\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\n\nDla \\(K_0 = 30\\,000\\), \\(p = 7\\), \\(n = 2\\):\n\\[K_2 = 30\\,000 \\cdot (1{,}07)^2 = 30\\,000 \\cdot 1{,}1449 = 34\\,347 \\text{ zł}\\]\n\nŁączne odsetki = końcowy kapitał minus kapitał początkowy:\n\\[O = K_2 - K_0 = 34\\,347 - 30\\,000 = \\mathbf{4\\,347} \\text{ zł}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na procent składany:\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia wartości lokaty po 2 latach, a następnie odjęliśmy kapitał startowy.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(2100\\) zł | Obliczono odsetki **tylko za pierwszy rok** - zapomniano o drugim roku |\n| B. \\(2247\\) zł | Obliczono odsetki **tylko za drugi rok** - zapomniano o pierwszym roku |\n| C. \\(4200\\) zł | Przyjęto **odsetki proste** (nie składane): \\(2 \\times 2100 = 4200\\) - w obu latach liczono 7% od tego samego kapitału \\(30\\,000\\), ignorując że po roku kapitał wzrósł do \\(32\\,100\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(4200\\) zł) to klasyczna pułapka - wygląda logicznie (7% × 2 lata = 14%), ale **lokata jest składana**, nie prosta. W każdym roku odsetki są doliczone do kapitału i w kolejnym roku też \"pracują\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzi A i B to odsetki tylko z jednego z lat - łatwo się pomylić, gdy obliczamy krokami i przypadkowo zapiszemy wynik pośredni jako ostateczny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **łączną wartość doliczonych odsetek**, a nie o końcowy kapitał (\\(34\\,347\\) zł). Zawsze czytaj uważnie, czy pytają o odsetki czy o cały kapitał końcowy!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Procent składany\nKapitał po dwóch latach: \\(30\\,000\\cdot (1{,}07)^{2} = 30\\,000\\cdot 1{,}1449 = 34\\,347\\) zł.\nOdsetki: \\(34\\,347 - 30\\,000 = 4347\\) zł.\n\n### Sposób 2 - Obliczenie rok po roku\nPo 1. roku: \\(30\\,000\\cdot 1{,}07 = 32\\,100\\) zł (odsetki \\(2100\\)).\nPo 2. roku: \\(32\\,100\\cdot 1{,}07 = 34\\,347\\) zł (odsetki \\(2247\\)).\nŁącznie: \\(2100 + 2247 = 4347\\) zł.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 2100 zł** - odsetki tylko po 1. roku.\n- **B. 2247 zł** - odsetki tylko po 2. roku.\n- **C. 4200 zł** - procent prosty: \\(2\\cdot 7\\%\\cdot 30\\,000\\), ignoruje kapitalizację.\n\n**Trik:** kapitał po \\(n\\) latach: \\(K_{0}\\cdot (1+p)^{n}\\) - zawsze potęga, nie mnożenie.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Dowody algebraiczne, algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 3. (0-2)<br>Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝒌 reszta z dzielenia liczby 𝟒𝟗𝒌𝟐+ 𝟕𝒌-𝟐<br>przez 𝟕 jest równa 𝟓.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k reszta z dzielenia liczby 49k^2+7k-2 przez 7 jest równa 5.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące<br>podzielności liczb całkowitych i reszt<br>z dzielenia nie trudniejsze niż dowód<br>podzielności przez 24 iloczynu czterech<br>kolejnych liczb naturalnych.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - przekształcenie danego wyrażenia do postaci 7 ⋅(7𝑘2 + 𝑘-1) + 5 oraz zapisanie,<br>że 7𝑘2 + 𝑘-1 jest liczbą całkowitą.<br>1 pkt - przekształcenie wyrażenia 49𝑘2 + 7𝑘-2 do postaci 7 ⋅(7𝑘2 + 𝑘-1) + 5.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy dla wybranych wartości 𝑘, to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przekształcamy równoważnie dane wyrażenie<br>49𝑘2 + 7𝑘-2 = 49𝑘2 + 7𝑘-7 + 5 = 7 ⋅(7𝑘2 + 𝑘-1) + 5<br>Ponieważ 𝑘 jest liczbą całkowitą, więc 7𝑘2 + 𝑘-1 jest liczbą całkowitą. Zatem<br>7 ⋅(7𝑘2 + 𝑘-1) jest wielokrotnością liczby 7. Stąd 7 ⋅(7𝑘2 + 𝑘-1) + 5 przy dzieleniu<br>przez 7 daje resztę 5. To należało pokazać.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(4347\\) zł</h4>\n<h4>Sposób 1 - Obliczenie odsetek za każdy rok osobno</h4>\n<p><strong>Rok 1:</strong></p>\n<p>Kapitał początkowy: \\(K_0 = 30\\,000\\) zł</p>\n<p>Odsetki po pierwszym roku:<br>\\[O_1 = 7\\% \\cdot 30\\,000 = 0{,}07 \\cdot 30\\,000 = 2\\,100 \\text{ zł}\\]</p>\n<p>Kapitał po pierwszym roku:<br>\\[K_1 = 30\\,000 + 2\\,100 = 32\\,100 \\text{ zł}\\]</p>\n<p><strong>Rok 2:</strong></p>\n<p>Odsetki są teraz naliczane od <strong>nowego, większego kapitału</strong> \\(K_1\\):<br>\\[O_2 = 7\\% \\cdot 32\\,100 = 0{,}07 \\cdot 32\\,100 = 2\\,247 \\text{ zł}\\]</p>\n<p><strong>Łączne odsetki po dwóch latach:</strong><br>\\[O_1 + O_2 = 2\\,100 + 2\\,247 = \\mathbf{4\\,347} \\text{ zł}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór na procent składany, potem odjęcie kapitału</h4>\n<p>Korzystamy ze wzoru na kapitał po \\(n\\) latach przy procentach składanych:<br>\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]</p>\n<p>Dla \\(K_0 = 30\\,000\\), \\(p = 7\\), \\(n = 2\\):<br>\\[K_2 = 30\\,000 \\cdot (1{,}07)^2 = 30\\,000 \\cdot 1{,}1449 = 34\\,347 \\text{ zł}\\]</p>\n<p>Łączne odsetki = końcowy kapitał minus kapitał początkowy:<br>\\[O = K_2 - K_0 = 34\\,347 - 30\\,000 = \\mathbf{4\\,347} \\text{ zł}\\]</p>\n<p>Oba sposoby dają ten sam wynik. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na procent składany:<br>\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia wartości lokaty po 2 latach, a następnie odjęliśmy kapitał startowy.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A. \\(2100\\) zł | Obliczono odsetki <strong>tylko za pierwszy rok</strong> - zapomniano o drugim roku |<br>| B. \\(2247\\) zł | Obliczono odsetki <strong>tylko za drugi rok</strong> - zapomniano o pierwszym roku |<br>| C. \\(4200\\) zł | Przyjęto <strong>odsetki proste</strong> (nie składane): \\(2 \\times 2100 = 4200\\) - w obu latach liczono 7% od tego samego kapitału \\(30\\,000\\), ignorując że po roku kapitał wzrósł do \\(32\\,100\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź C (\\(4200\\) zł) to klasyczna pułapka - wygląda logicznie (7% × 2 lata = 14%), ale <strong>lokata jest składana</strong>, nie prosta. W każdym roku odsetki są doliczone do kapitału i w kolejnym roku też &quot;pracują&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedzi A i B to odsetki tylko z jednego z lat - łatwo się pomylić, gdy obliczamy krokami i przypadkowo zapiszemy wynik pośredni jako ostateczny.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadanie pyta o <strong>łączną wartość doliczonych odsetek</strong>, a nie o końcowy kapitał (\\(34\\,347\\) zł). Zawsze czytaj uważnie, czy pytają o odsetki czy o cały kapitał końcowy!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Procent składany</h5>\n<p>Kapitał po dwóch latach: \\(30\\,000\\cdot (1{,}07)^{2} = 30\\,000\\cdot 1{,}1449 = 34\\,347\\) zł.<br>Odsetki: \\(34\\,347 - 30\\,000 = 4347\\) zł.</p>\n<h5>Sposób 2 - Obliczenie rok po roku</h5>\n<p>Po 1. roku: \\(30\\,000\\cdot 1{,}07 = 32\\,100\\) zł (odsetki \\(2100\\)).<br>Po 2. roku: \\(32\\,100\\cdot 1{,}07 = 34\\,347\\) zł (odsetki \\(2247\\)).<br>Łącznie: \\(2100 + 2247 = 4347\\) zł.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. 2100 zł</strong> - odsetki tylko po 1. roku.</li><li><strong>B. 2247 zł</strong> - odsetki tylko po 2. roku.</li><li><strong>C. 4200 zł</strong> - procent prosty: \\(2\\cdot 7\\%\\cdot 30\\,000\\), ignoruje kapitalizację.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> kapitał po \\(n\\) latach: \\(K_{0}\\cdot (1+p)^{n}\\) - zawsze potęga, nie mnożenie.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>49k^2+7k-2=49k^2+7k-7+5=7(7k^2+k-1)+5.</p>\n<p>Liczba 7k^2+k-1 jest całkowita, więc reszta z dzielenia przez 7 wynosi 5 .</p>"}]}