{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-1)\nDany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′𝐹′, w którym krawędź\npodstawy ma długość 5. Przekątna 𝐴𝐷′ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny\npodstawy pod kątem 45° (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe\nA. 12,5\nB. 25\nC. 50\nD. 100\n5\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐴′\n𝐵′\n𝐶′\n𝐷′\n𝐸′\n𝐹′\n45°\n\nMMAP-P0_100\nDany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFA'B'C'D'E'F', w którym krawędź podstawy ma długość 5. Przekątna AD' tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45° (zobacz rysunek). [rysunek] Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe A. 12,5 B. 25 C. 50 D. 100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 30. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nX.4) oblicza […] pola powierzchni\ngraniastosłupów i ostrosłupów, również\nz wykorzystaniem trygonometrii i poznanych\ntwierdzeń.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do zera i faktoryzacja\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę** (chcemy mieć 0 po prawej):\n\n\\[x(2x-1) < 2x\\]\n\n\\[x(2x-1) - 2x < 0\\]\n\n**Wyłączamy \\(x\\) przed nawias** (wyciągamy wspólny czynnik):\n\n\\[x\\bigl[(2x-1) - 2\\bigr] < 0\\]\n\n\\[x(2x - 3) < 0\\]\n\nMamy iloczyn dwóch czynników. Szukamy **miejsc zerowych**:\n\n\\[x = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad 2x - 3 = 0 \\implies x = \\frac{3}{2}\\]\n\nTeraz analizujemy znaki na osi liczbowej (współczynnik przy \\(x^2\\) to \\(+2 > 0\\), parabola skierowana ramionami w górę):\n\n| Przedział | \\(x\\) | \\(2x-3\\) | iloczyn |\n| \\(x < 0\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(0 < x < \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest **ujemny** (spełnia \\(< 0\\)) właśnie dla \\(x \\in \\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\)\n\n## Sposób 2 - Rozwinięcie i trójmian kwadratowy\n\n**Rozwijamy lewą stronę:**\n\n\\[x(2x-1) < 2x\\]\n\n\\[2x^2 - x < 2x\\]\n\n**Przenosimy \\(2x\\) na lewą stronę:**\n\n\\[2x^2 - x - 2x < 0\\]\n\n\\[2x^2 - 3x < 0\\]\n\nMamy trójmian (właściwie dwumian) kwadratowy \\(f(x) = 2x^2 - 3x\\) z \\(a = 2 > 0\\).\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe** przez wyłączenie \\(x\\):\n\n\\[x(2x - 3) = 0 \\implies x_1 = 0, \\quad x_2 = \\frac{3}{2}\\]\n\nPonieważ parabola jest skierowana **ramionami w górę** (\\(a > 0\\)), wartości ujemne przyjmuje **między pierwiastkami**:\n\n\\[2x^2 - 3x < 0 \\iff x \\in \\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\]\n\n**Weryfikacja** - sprawdzamy np. \\(x = 1\\) (leży w przedziale):\n\n\\[1 \\cdot (2 \\cdot 1 - 1) = 1 \\cdot 1 = 1 < 2 \\cdot 1 = 2 \\quad \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy \\(x = 2\\) (poza przedziałem):\n\n\\[2 \\cdot (4-1) = 6 \\not< 4 \\quad \\checkmark \\text{ (nie spełnia, jak powinno)}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nMiejsca zerowe trójmianu kwadratowego. W tym zadaniu skorzystaliśmy z faktu, że dla \\(a > 0\\):\n\n\\[ax^2 + bx + c < 0 \\iff x \\in (x_1, x_2)\\]\n\ngdzie \\(x_1, x_2\\) to miejsca zerowe. Tutaj wyznaczyliśmy je przez faktoryzację (bez liczenia \\(\\Delta\\)), bo trójmian miał wspólny czynnik \\(x\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie dziel obu stron przez \\(x\\) bez analizy znaku! Gdybyś podzielił \\(x(2x-1) < 2x\\) przez \\(x\\), to dla \\(x < 0\\) nierówność **zmienia zwrot**. Faktoryzacja jest bezpieczniejsza.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału \\(x = 0\\) i \\(x = \\frac{3}{2}\\) **nie należą** do rozwiązania - nierówność jest ostra (\\(<\\), nie \\(\\leq\\)), więc stosujemy przedział otwarty \\(\\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zgubić znak przy przenoszeniu - zawsze przenoś **wszystko na jedną stronę** i dopiero wtedy analizuj znaki iloczynu na osi liczbowej.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x\\in\\left(0, \\dfrac{3}{2}\\right)\\)**\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie do postaci ogólnej\n\\(x(2x-1) < 2x\\)\n\\(2x^{2} - x - 2x < 0\\)\n\\(2x^{2} - 3x < 0\\)\n\\(x(2x - 3) < 0.\\)\nMiejsca zerowe: \\(x=0\\) oraz \\(x=\\tfrac{3}{2}.\\) Parabola \\(f(x)=2x^{2}-3x\\) ma ramiona w górę; \\(f(x)<0\\) między miejscami zerowymi.\nZbiór rozwiązań: \\(x\\in\\left(0,\\dfrac{3}{2}\\right).\\)\n\n### Sposób 2 - Delta\n\\(\\Delta = (-3)^{2} - 4\\cdot 2\\cdot 0 = 9\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=3.\\)\n\\(x_{1} = \\dfrac{3-3}{4}=0\\), \\(x_{2}=\\dfrac{3+3}{4}=\\dfrac{3}{2}.\\)\nZ wykresu paraboli: \\(x\\in\\left(0,\\dfrac{3}{2}\\right).\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE, 0-2 pkt)\n- **1 pkt** - obliczenie pierwiastków trójmianu \\(2x^{2}-3x\\): \\(x_{1}=0\\) i \\(x_{2}=\\tfrac{3}{2}\\).\n- **2 pkt** - zapisanie zbioru rozwiązań \\(\\left(0,\\tfrac{3}{2}\\right)\\) (lub graficznie z zaznaczonymi otwartymi końcami).\n- **0 pkt** - dzielenie obu stron przez \\(x\\) (albo \\(2x\\)) bez założenia o znaku.\n\n**Trik:** zawsze sprowadzaj do postaci \\(f(x)<0\\) (lub \\(>0\\)) i analizuj znak trójmianu z wykresu paraboli.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (0-1)
Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′𝐹′, w którym krawędź
podstawy ma długość 5. Przekątna 𝐴𝐷′ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny
podstawy pod kątem 45° (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe
A. 12,5
B. 25
C. 50
D. 100
5
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝐴′
𝐵′
𝐶′
𝐷′
𝐸′
𝐹′
45°

\n

MMAP-P0_100
Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFA'B'C'D'E'F', w którym krawędź podstawy ma długość 5. Przekątna AD' tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45° (zobacz rysunek). [rysunek] Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe A. 12,5 B. 25 C. 50 D. 100

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
X.4) oblicza […] pola powierzchni
graniastosłupów i ostrosłupów, również
z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych
twierdzeń.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\)

\n

Sposób 1 - Sprowadzenie do zera i faktoryzacja

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę (chcemy mieć 0 po prawej):

\n

\\[x(2x-1) < 2x\\]

\n

\\[x(2x-1) - 2x < 0\\]

\n

Wyłączamy \\(x\\) przed nawias (wyciągamy wspólny czynnik):

\n

\\[x\\bigl[(2x-1) - 2\\bigr] < 0\\]

\n

\\[x(2x - 3) < 0\\]

\n

Mamy iloczyn dwóch czynników. Szukamy miejsc zerowych:

\n

\\[x = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad 2x - 3 = 0 \\implies x = \\frac{3}{2}\\]

\n

Teraz analizujemy znaki na osi liczbowej (współczynnik przy \\(x^2\\) to \\(+2 > 0\\), parabola skierowana ramionami w górę):

\n

| Przedział | \\(x\\) | \\(2x-3\\) | iloczyn |
| \\(x < 0\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(0 < x < \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |
| \\(x > \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Iloczyn jest ujemny (spełnia \\(< 0\\)) właśnie dla \\(x \\in \\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\).

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\)

\n

Sposób 2 - Rozwinięcie i trójmian kwadratowy

\n

Rozwijamy lewą stronę:

\n

\\[x(2x-1) < 2x\\]

\n

\\[2x^2 - x < 2x\\]

\n

Przenosimy \\(2x\\) na lewą stronę:

\n

\\[2x^2 - x - 2x < 0\\]

\n

\\[2x^2 - 3x < 0\\]

\n

Mamy trójmian (właściwie dwumian) kwadratowy \\(f(x) = 2x^2 - 3x\\) z \\(a = 2 > 0\\).

\n

Wyznaczamy miejsca zerowe przez wyłączenie \\(x\\):

\n

\\[x(2x - 3) = 0 \\implies x_1 = 0, \\quad x_2 = \\frac{3}{2}\\]

\n

Ponieważ parabola jest skierowana ramionami w górę (\\(a > 0\\)), wartości ujemne przyjmuje między pierwiastkami:

\n

\\[2x^2 - 3x < 0 \\iff x \\in \\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\]

\n

Weryfikacja - sprawdzamy np. \\(x = 1\\) (leży w przedziale):

\n

\\[1 \\cdot (2 \\cdot 1 - 1) = 1 \\cdot 1 = 1 < 2 \\cdot 1 = 2 \\quad \\checkmark\\]

\n

Sprawdzamy \\(x = 2\\) (poza przedziałem):

\n

\\[2 \\cdot (4-1) = 6 \\not< 4 \\quad \\checkmark \\text{ (nie spełnia, jak powinno)}}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Miejsca zerowe trójmianu kwadratowego. W tym zadaniu skorzystaliśmy z faktu, że dla \\(a > 0\\):

\n

\\[ax^2 + bx + c < 0 \\iff x \\in (x_1, x_2)\\]

\n

gdzie \\(x_1, x_2\\) to miejsca zerowe. Tutaj wyznaczyliśmy je przez faktoryzację (bez liczenia \\(\\Delta\\)), bo trójmian miał wspólny czynnik \\(x\\).

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Nie dziel obu stron przez \\(x\\) bez analizy znaku! Gdybyś podzielił \\(x(2x-1) < 2x\\) przez \\(x\\), to dla \\(x < 0\\) nierówność zmienia zwrot. Faktoryzacja jest bezpieczniejsza.
\n
⚠️ Uwaga: Końce przedziału \\(x = 0\\) i \\(x = \\frac{3}{2}\\) nie należą do rozwiązania - nierówność jest ostra (\\(<\\), nie \\(\\leq\\)), więc stosujemy przedział otwarty \\(\\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo zgubić znak przy przenoszeniu - zawsze przenoś wszystko na jedną stronę i dopiero wtedy analizuj znaki iloczynu na osi liczbowej.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x\\in\\left(0, \\dfrac{3}{2}\\right)\\)

\n
Sposób 1 - Przekształcenie do postaci ogólnej
\n

\\(x(2x-1) < 2x\\)
\\(2x^{2} - x - 2x < 0\\)
\\(2x^{2} - 3x < 0\\)
\\(x(2x - 3) < 0.\\)
Miejsca zerowe: \\(x=0\\) oraz \\(x=\\tfrac{3}{2}.\\) Parabola \\(f(x)=2x^{2}-3x\\) ma ramiona w górę; \\(f(x)<0\\) między miejscami zerowymi.
Zbiór rozwiązań: \\(x\\in\\left(0,\\dfrac{3}{2}\\right).\\)

\n
Sposób 2 - Delta
\n

\\(\\Delta = (-3)^{2} - 4\\cdot 2\\cdot 0 = 9\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=3.\\)
\\(x_{1} = \\dfrac{3-3}{4}=0\\), \\(x_{2}=\\dfrac{3+3}{4}=\\dfrac{3}{2}.\\)
Z wykresu paraboli: \\(x\\in\\left(0,\\dfrac{3}{2}\\right).\\)

\n
Uwagi o punktacji (CKE, 0-2 pkt)
\n\n

Trik: zawsze sprowadzaj do postaci \\(f(x)<0\\) (lub \\(>0\\)) i analizuj znak trójmianu z wykresu paraboli.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, dłuższa przekątna podstawy, przekątna $AD'$ oraz wysokość graniastosłupa tworzą trójkąt o kątach $45^{\\circ}$, $45^{\\circ}$, $90^{\\circ}$, z czego wynika, że wysokość graniastosłupa wynosi $10$, więc pole ściany bocznej to $50$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego:

\n

AD=2·5=10.

\n

Ponieważ kąt nachylenia ma 45^° , wysokość graniastosłupa także wynosi 10 . Pole ściany bocznej:

\n

P=5·10=50.

"}]}