{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3 jest\nA. 8\nB. 4\nC. 5\nD. 6\n\nMMAP-P0_100\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3 jest A. 8 B. 4 C. 5 D. 6","answer":"D","answer_text":"Zadanie 31. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\frac{3}{2} \\quad \\text{lub} \\quad x = \\sqrt{7} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{7}\\]\n\n## Sposób 1 - Własność iloczynu zerowego\n\nJeżeli iloczyn dwóch czynników równa się zero, to **co najmniej jeden z nich musi być zerem**.\n\nMamy:\n\\[(2x^2 + 3x)(x^2 - 7) = 0\\]\n\nZatem:\n\\[2x^2 + 3x = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad x^2 - 7 = 0\\]\n\n**Czynnik I:** \\(2x^2 + 3x = 0\\)\n\nWyciągamy \\(x\\) przed nawias:\n\\[x(2x + 3) = 0\\]\n\nZ własności iloczynu zerowego:\n\\[x = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad 2x + 3 = 0\\]\n\\[x = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad x = -\\frac{3}{2}\\]\n\n**Czynnik II:** \\(x^2 - 7 = 0\\)\n\n\\[x^2 = 7\\]\n\\[x = \\sqrt{7} \\qquad \\text{lub} \\qquad x = -\\sqrt{7}\\]\n\n**Odpowiedź:**\n\\[\\boxed{x = 0 \\quad \\lor \\quad x = -\\frac{3}{2} \\quad \\lor \\quad x = \\sqrt{7} \\quad \\lor \\quad x = -\\sqrt{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozwiązanie przez miejsca zerowe wielomianu (weryfikacja)\n\nRozwinięcie iloczynu nie jest konieczne, ale możemy sprawdzić wyniki, podstawiając je do oryginalnego równania.\n\n**Sprawdzenie \\(x = 0\\):**\n\\[(2 \\cdot 0 + 0)(0 - 7) = 0 \\cdot (-7) = 0 \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie \\(x = -\\frac{3}{2}\\):**\n\\[2 \\cdot \\frac{9}{4} + 3 \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = \\frac{9}{2} - \\frac{9}{2} = 0\\]\nZatem pierwszy czynnik \\(= 0\\), więc iloczyn \\(= 0 \\checkmark\\)\n\n**Sprawdzenie \\(x = \\sqrt{7}\\):**\n\\[(\\sqrt{7})^2 - 7 = 7 - 7 = 0\\]\nZatem drugi czynnik \\(= 0\\), więc iloczyn \\(= 0 \\checkmark\\)\n\n**Sprawdzenie \\(x = -\\sqrt{7}\\):**\n\\[(-\\sqrt{7})^2 - 7 = 7 - 7 = 0 \\checkmark\\]\n\nWszystkie cztery rozwiązania zweryfikowane.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowa własność algebraiczna (iloczyn zerowy) oraz umiejętność wyłączania wspólnego czynnika.\n\nPomocniczo korzystamy z elementarnego faktu:\n\n> Jeśli \\(A \\cdot B = 0\\), to \\(A = 0\\) lub \\(B = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **rozwinięcie nawiasów** zamiast użycia własności iloczynu zerowego. Mnożenie tworzy wielomian 4. stopnia, który trzeba potem i tak rozkładać - niepotrzebna praca!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(2x^2 + 3x = 0\\) uczniowie często **dzielą obie strony przez \\(x\\)**, przez co gubią rozwiązanie \\(x = 0\\). Zawsze wyłączaj \\(x\\) przed nawias - nigdy nie dziel przez zmienną!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z równania \\(x^2 = 7\\) wynikają **dwa** rozwiązania: \\(x = \\sqrt{7}\\) i \\(x = -\\sqrt{7}\\). Pominięcie rozwiązania ujemnego to klasyczna pomyłka - pamiętaj o \\(\\pm\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x\\in\\left\\{-\\sqrt{7},\\ -\\dfrac{3}{2},\\ 0,\\ \\sqrt{7}\\right\\}\\)**\n\n### Sposób 1 - Własność iloczynu\nIloczyn zeruje się, gdy co najmniej jeden czynnik \\(=0.\\)\n1) \\(2x^{2} + 3x = 0 \\Rightarrow x(2x+3) = 0 \\Rightarrow x=0\\) lub \\(x=-\\tfrac{3}{2}.\\)\n2) \\(x^{2} - 7 = 0 \\Rightarrow x^{2}=7 \\Rightarrow x=\\pm\\sqrt{7}.\\)\n\nZbiór rozwiązań: \\(\\left\\{-\\sqrt{7},\\ -\\dfrac{3}{2},\\ 0,\\ \\sqrt{7}\\right\\}.\\)\n\n### Sposób 2 - Delta\nDla \\(2x^{2}+3x=0\\): \\(\\Delta = 9 > 0\\), \\(x_{1}=0\\), \\(x_{2}=-\\tfrac{3}{2}.\\)\nDla \\(x^{2}-7=0\\): wzór skróconego mnożenia \\(x^{2}=7 \\Rightarrow x=\\pm\\sqrt{7}.\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE, 0-2 pkt)\n- **1 pkt** - obliczenie co najmniej dwóch spośród czterech rozwiązań poprawnie.\n- **2 pkt** - podanie wszystkich czterech rozwiązań.\n- Częsty błąd: zapomnienie o \\(x=0\\) (gdy skraca się przez \\(x\\)).\n\n**Trik:** \\((A)(B)=0 \\Leftrightarrow A=0\\) lub \\(B=0\\) - nie traktuj czynników razem, rozdzielaj.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3 jest
A. 8
B. 4
C. 5
D. 6

\n

MMAP-P0_100
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3 jest A. 8 B. 4 C. 5 D. 6

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
XI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
kombinatorycznych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\frac{3}{2} \\quad \\text{lub} \\quad x = \\sqrt{7} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{7}\\]

\n

Sposób 1 - Własność iloczynu zerowego

\n

Jeżeli iloczyn dwóch czynników równa się zero, to co najmniej jeden z nich musi być zerem.

\n

Mamy:
\\[(2x^2 + 3x)(x^2 - 7) = 0\\]

\n

Zatem:
\\[2x^2 + 3x = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad x^2 - 7 = 0\\]

\n

Czynnik I: \\(2x^2 + 3x = 0\\)

\n

Wyciągamy \\(x\\) przed nawias:
\\[x(2x + 3) = 0\\]

\n

Z własności iloczynu zerowego:
\\[x = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad 2x + 3 = 0\\]
\\[x = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad x = -\\frac{3}{2}\\]

\n

Czynnik II: \\(x^2 - 7 = 0\\)

\n

\\[x^2 = 7\\]
\\[x = \\sqrt{7} \\qquad \\text{lub} \\qquad x = -\\sqrt{7}\\]

\n

Odpowiedź:
\\[\\boxed{x = 0 \\quad \\lor \\quad x = -\\frac{3}{2} \\quad \\lor \\quad x = \\sqrt{7} \\quad \\lor \\quad x = -\\sqrt{7}}\\]

\n

Sposób 2 - Rozwiązanie przez miejsca zerowe wielomianu (weryfikacja)

\n

Rozwinięcie iloczynu nie jest konieczne, ale możemy sprawdzić wyniki, podstawiając je do oryginalnego równania.

\n

Sprawdzenie \\(x = 0\\):
\\[(2 \\cdot 0 + 0)(0 - 7) = 0 \\cdot (-7) = 0 \\checkmark\\]

\n

Sprawdzenie \\(x = -\\frac{3}{2}\\):
\\[2 \\cdot \\frac{9}{4} + 3 \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = \\frac{9}{2} - \\frac{9}{2} = 0\\]
Zatem pierwszy czynnik \\(= 0\\), więc iloczyn \\(= 0 \\checkmark\\)

\n

Sprawdzenie \\(x = \\sqrt{7}\\):
\\[(\\sqrt{7})^2 - 7 = 7 - 7 = 0\\]
Zatem drugi czynnik \\(= 0\\), więc iloczyn \\(= 0 \\checkmark\\)

\n

Sprawdzenie \\(x = -\\sqrt{7}\\):
\\[(-\\sqrt{7})^2 - 7 = 7 - 7 = 0 \\checkmark\\]

\n

Wszystkie cztery rozwiązania zweryfikowane.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowa własność algebraiczna (iloczyn zerowy) oraz umiejętność wyłączania wspólnego czynnika.

\n

Pomocniczo korzystamy z elementarnego faktu:

\n
Jeśli \\(A \\cdot B = 0\\), to \\(A = 0\\) lub \\(B = 0\\).
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to rozwinięcie nawiasów zamiast użycia własności iloczynu zerowego. Mnożenie tworzy wielomian 4. stopnia, który trzeba potem i tak rozkładać - niepotrzebna praca!
\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(2x^2 + 3x = 0\\) uczniowie często dzielą obie strony przez \\(x\\), przez co gubią rozwiązanie \\(x = 0\\). Zawsze wyłączaj \\(x\\) przed nawias - nigdy nie dziel przez zmienną!
\n
⚠️ Uwaga: Z równania \\(x^2 = 7\\) wynikają dwa rozwiązania: \\(x = \\sqrt{7}\\) i \\(x = -\\sqrt{7}\\). Pominięcie rozwiązania ujemnego to klasyczna pomyłka - pamiętaj o \\(\\pm\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x\\in\\left\\{-\\sqrt{7},\\ -\\dfrac{3}{2},\\ 0,\\ \\sqrt{7}\\right\\}\\)

\n
Sposób 1 - Własność iloczynu
\n

Iloczyn zeruje się, gdy co najmniej jeden czynnik \\(=0.\\)

\n
  1. \\(2x^{2} + 3x = 0 \\Rightarrow x(2x+3) = 0 \\Rightarrow x=0\\) lub \\(x=-\\tfrac{3}{2}.\\)
  2. \\(x^{2} - 7 = 0 \\Rightarrow x^{2}=7 \\Rightarrow x=\\pm\\sqrt{7}.\\)
\n

Zbiór rozwiązań: \\(\\left\\{-\\sqrt{7},\\ -\\dfrac{3}{2},\\ 0,\\ \\sqrt{7}\\right\\}.\\)

\n
Sposób 2 - Delta
\n

Dla \\(2x^{2}+3x=0\\): \\(\\Delta = 9 > 0\\), \\(x_{1}=0\\), \\(x_{2}=-\\tfrac{3}{2}.\\)
Dla \\(x^{2}-7=0\\): wzór skróconego mnożenia \\(x^{2}=7 \\Rightarrow x=\\pm\\sqrt{7}.\\)

\n
Uwagi o punktacji (CKE, 0-2 pkt)
\n\n

Trik: \\((A)(B)=0 \\Leftrightarrow A=0\\) lub \\(B=0\\) - nie traktuj czynników razem, rozdzielaj.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, liczby spełniające ten warunek to: $111$, $102$, $120$, $201$, $210$, $300$, czyli łącznie $6$ liczb.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Liczby spełniające warunek to:

\n

111, 102, 120, 201, 210, 300.

\n

Jest ich 6 .

"}]}