{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nZe zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od 1 do 8 - losujemy kolejno bez zwracania\ndwa razy po jednej liczbie.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest\ndzielnikiem liczby 8.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nZe zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od 1 do 8 - losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby 8. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.","answer":"P(A)=(1)/(7)","answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania zadania i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) =\n8\n56 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie ich liczby:\n|Ω| = 8 ⋅7\nALBO\n- wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu 𝐴 (bez żadnego zdarzenia niewłaściwego):\n(1, 3), (1, 7), (2, 6), (3, 1), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1),\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 8,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa\n1\n8 na co najmniej\njednym z odcinków pierwszego etapu doświadczenia i prawdopodobieństwa\n1\n7 na co\nnajmniej jednym z odcinków drugiego etapu doświadczenia,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) =\n8\n56 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 8 oraz 56 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający sporządzi jedynie tabelę o 64 (lub 56) pustych polach, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} i 𝑎≠𝑏.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 8 ⋅7 = 56.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(1, 3), (1, 7), (2, 6), (3, 1), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1),\nwięc |𝐴| = 8.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| =\n8\n56 =\n1\n7 .\nSposób II\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} i 𝑎≠𝑏.\nJest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.\nI losowanie\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nII losowanie\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nBiałe pola tabeli odpowiadają zdarzeniom elementarnym. Symbolem „+” oznaczono pola\nodpowiadające zdarzeniom elementarnym sprzyjającym zdarzeniu 𝐴.\nWszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu jest 56.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest równa 8.\nStąd 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 8\n56 = 1\n7 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich dopuszczalnych \\(a, b\\)\n\nJest to zadanie otwarte - **dowód** nierówności, a nie wybór odpowiedzi.\n\n## Sposób 1 - Dopełnienie do pełnego kwadratu\n\nChcemy pokazać, że lewa strona jest większa od prawej, czyli że różnica LHS \\(-\\) RHS jest dodatnia.\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**\n\\[a^2 + 3b^2 + 4 - 2a - 6b > 0\\]\n\n**Grupujemy wyrazy i uzupełniamy do pełnych kwadratów:**\n\\[\n(a^2 - 2a) + 3(b^2 - 2b) + 4 > 0\n\\]\n\nUzupełniamy pierwszy nawias: \\(a^2 - 2a = (a-1)^2 - 1\\)\n\nUzupełniamy drugi nawias: \\(b^2 - 2b = (b-1)^2 - 1\\)\n\n**Podstawiamy:**\n\\[\n\\bigl[(a-1)^2 - 1\\bigr] + 3\\bigl[(b-1)^2 - 1\\bigr] + 4 > 0\n\\]\n\\[\n(a-1)^2 - 1 + 3(b-1)^2 - 3 + 4 > 0\n\\]\n\\[\n\\boxed{(a-1)^2 + 3(b-1)^2 > 0}\n\\]\n\n**Czy ta nierówność zawsze zachodzi?**\n\nWiemy, że \\((a-1)^2 \\geq 0\\) i \\(3(b-1)^2 \\geq 0\\) dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\).\n\nSuma tych dwóch wyrażeń równa się zero **tylko wtedy**, gdy oba składniki wynoszą zero, czyli gdy:\n\\[\na - 1 = 0 \\quad \\text{i} \\quad b - 1 = 0 \\quad \\Longrightarrow \\quad a = 1 \\text{ i } b = 1\n\\]\n\nAle \\(a = 1\\) i \\(b = 1\\) oznacza \\(b = a\\) - co jest wykluczone przez założenie \\(b \\neq a\\).\n\n**Zatem:** skoro jedyny punkt, w którym wyrażenie byłoby równe \\(0\\), jest wykluczony założeniem, to dla wszystkich dopuszczalnych \\(a, b\\) (z warunkiem \\(b \\neq a\\)):\n\\[(a-1)^2 + 3(b-1)^2 > 0\\]\nco kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Metoda wyróżnika funkcji kwadratowej\n\nPotraktujmy lewą stronę jako **funkcję kwadratową zmiennej \\(a\\)**:\n\\[\nf(a) = a^2 - 2a + (3b^2 - 6b + 4)\n\\]\nJest to parabola z ramionami skierowanymi w górę (współczynnik przy \\(a^2\\) wynosi \\(1 > 0\\)), więc \\(f(a) \\geq \\min f(a)\\).\n\n**Obliczamy wyróżnik** \\(\\Delta\\) tej funkcji kwadratowej (jako funkcji zmiennej \\(a\\)):\n\\[\n\\Delta = (-2)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (3b^2 - 6b + 4) = 4 - 12b^2 + 24b - 16\n\\]\n\\[\n\\Delta = -12b^2 + 24b - 12 = -12(b^2 - 2b + 1) = -12(b-1)^2\n\\]\n\n**Analizujemy znak wyróżnika:**\n\n**Przypadek 1: \\(b \\neq 1\\)**\n\nWtedy \\((b-1)^2 > 0\\), więc \\(\\Delta = -12(b-1)^2 < 0\\).\n\nParabola z \\(\\Delta < 0\\) nie przecina osi \\(OX\\) i leży całkowicie powyżej osi - zatem \\(f(a) > 0\\) dla każdego \\(a \\in \\mathbb{R}\\). ✓\n\n**Przypadek 2: \\(b = 1\\)**\n\nWtedy \\(\\Delta = 0\\), a jedyne miejsce zerowe funkcji:\n\\[\na_0 = \\frac{-(-2)}{2 \\cdot 1} = 1\n\\]\nZatem \\(f(a) = (a-1)^2 \\geq 0\\), i \\(f(a) = 0\\) tylko dla \\(a = 1\\).\n\nAle \\(a = 1\\) i \\(b = 1\\) daje \\(a = b\\) - wykluczone założeniem \\(b \\neq a\\).\n\n**Wniosek:** w obu przypadkach \\(f(a) > 0\\), co kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy go w Sposób 1 do uzupełnienia pełnych kwadratów:\n\\(a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2\\) oraz \\(b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy go w Sposób 2 - obliczając wyróżnik i badając liczbę miejsc zerowych, żeby stwierdzić, kiedy parabola nie przecina osi OX.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno stwierdzić tylko, że \"suma kwadratów jest nieujemna\". To udowodniłoby \\(\\geq 0\\), a nie ścisłą nierówność \\(> 0\\). Trzeba skorzystać z założenia \\(b \\neq a\\), żeby wykluczyć przypadek równości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(b \\neq a\\) nie jest przypadkowy! Dokładnie wyklucza punkt \\(a = b = 1\\), który jest **jedynym punktem**, gdzie wyrażenie \\((a-1)^2 + 3(b-1)^2\\) przyjmuje wartość zero. Bez tego warunku nierówność byłaby tylko \\(\\geq\\), nie \\(>\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy metodzie wyróżnika (Sposób 2) pamiętaj, że traktujesz \\(b\\) jako **stały parametr**, a szukasz wartości \\(f(a)\\) jako funkcji jednej zmiennej. To technika przydatna w wielu zadaniach dowodowych.\n\n**Dowód:**\n\n### Sposób 1 - Przeniesienie i grupowanie\nChcemy wykazać: \\(a^{2} + 3b^{2} + 4 - 2a - 6b > 0.\\)\nGrupujemy i uzupełniamy do kwadratów:\n\\(a^{2} - 2a + 1 + 3(b^{2} - 2b + 1) = (a-1)^{2} + 3(b-1)^{2}.\\)\nSprawdzamy: \\((a-1)^{2} + 3(b-1)^{2} = a^{2}-2a+1 + 3b^{2}-6b+3 = a^{2}+3b^{2}+4-2a-6b.\\)\n\nPozostaje pokazać, że \\((a-1)^{2} + 3(b-1)^{2} > 0\\) przy założeniu \\(a\\ne b.\\)\n\n**Uwaga:** \\((a-1)^{2}\\geq 0\\) i \\(3(b-1)^{2}\\geq 0\\); suma jest \\(=0\\) \\(\\Leftrightarrow a=1\\) i \\(b=1\\), czyli \\(a=b=1\\). Ale założenie mówi \\(b\\ne a\\), więc nie można mieć \\(a=1\\) i \\(b=1\\) jednocześnie z \\(a=b\\). Zatem co najmniej jeden składnik jest dodatni, suma \\(>0.\\)\n\n### Sposób 2 - Analiza przypadków\nJeśli \\(a=1\\), to z \\(b\\ne a = 1\\) mamy \\((b-1)^{2}>0\\), więc \\(3(b-1)^{2}>0\\) i suma \\(>0.\\)\nJeśli \\(a\\ne 1\\), to \\((a-1)^{2}>0\\), więc suma \\(>0.\\)\nW obu przypadkach nierówność jest spełniona.\n\n### Uwagi o punktacji\n- Kluczowe: rozpoznanie kwadratów zupełnych.\n- Pełny dowód wymaga wyjaśnienia, dlaczego suma jest silnie dodatnia przy założeniu \\(a\\ne b\\).\n\n**Trik:** zawsze próbuj przenieść wszystko na jedną stronę i rozpoznaj sumę kwadratów \\((\\square)^{2}+(\\square)^{2}\\geq 0\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":29,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (0-2)
Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od 1 do 8 - losujemy kolejno bez zwracania
dwa razy po jednej liczbie.
Niech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest
dzielnikiem liczby 8.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨. Zapisz obliczenia.

\n

MMAP-P0_100
Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od 1 do 8 - losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby 8. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XII.1) oblicza prawdopodobieństwo
w modelu klasycznym.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda rozwiązania zadania i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) =
8
56 .
1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie ich liczby:
|Ω| = 8 ⋅7
ALBO

\n\n

zdarzeniu 𝐴 (bez żadnego zdarzenia niewłaściwego):
(1, 3), (1, 7), (2, 6), (3, 1), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1),
ALBO

\n\n

|𝐴| = 8,
ALBO

\n\n

sprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa
1
8 na co najmniej
jednym z odcinków pierwszego etapu doświadczenia i prawdopodobieństwa
1
7 na co
najmniej jednym z odcinków drugiego etapu doświadczenia,
ALBO

\n\n

8
56 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 8 oraz 56 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
\n

liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający sporządzi jedynie tabelę o 64 (lub 56) pustych polach, to otrzymuje
\n

0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie
𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} i 𝑎≠𝑏.
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 8 ⋅7 = 56.
Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
(1, 3), (1, 7), (2, 6), (3, 1), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1),
więc |𝐴| = 8.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω| =
8
56 =
1
7 .
Sposób II
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie
𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} i 𝑎≠𝑏.
Jest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.
I losowanie
1
2
3
4
5
6
7
8
II losowanie
1
2
3
4
5
6
7
8
Białe pola tabeli odpowiadają zdarzeniom elementarnym. Symbolem „+” oznaczono pola
odpowiadające zdarzeniom elementarnym sprzyjającym zdarzeniu 𝐴.
Wszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu jest 56.
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest równa 8.
Stąd 𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω| = 8
56 = 1
7 .
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich dopuszczalnych \\(a, b\\)

\n

Jest to zadanie otwarte - dowód nierówności, a nie wybór odpowiedzi.

\n

Sposób 1 - Dopełnienie do pełnego kwadratu

\n

Chcemy pokazać, że lewa strona jest większa od prawej, czyli że różnica LHS \\(-\\) RHS jest dodatnia.

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\\[a^2 + 3b^2 + 4 - 2a - 6b > 0\\]

\n

Grupujemy wyrazy i uzupełniamy do pełnych kwadratów:
\\[
(a^2 - 2a) + 3(b^2 - 2b) + 4 > 0
\\]

\n

Uzupełniamy pierwszy nawias: \\(a^2 - 2a = (a-1)^2 - 1\\)

\n

Uzupełniamy drugi nawias: \\(b^2 - 2b = (b-1)^2 - 1\\)

\n

Podstawiamy:
\\[
\\bigl[(a-1)^2 - 1\\bigr] + 3\\bigl[(b-1)^2 - 1\\bigr] + 4 > 0
\\]
\\[
(a-1)^2 - 1 + 3(b-1)^2 - 3 + 4 > 0
\\]
\\[
\\boxed{(a-1)^2 + 3(b-1)^2 > 0}
\\]

\n

Czy ta nierówność zawsze zachodzi?

\n

Wiemy, że \\((a-1)^2 \\geq 0\\) i \\(3(b-1)^2 \\geq 0\\) dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\).

\n

Suma tych dwóch wyrażeń równa się zero tylko wtedy, gdy oba składniki wynoszą zero, czyli gdy:
\\[
a - 1 = 0 \\quad \\text{i} \\quad b - 1 = 0 \\quad \\Longrightarrow \\quad a = 1 \\text{ i } b = 1
\\]

\n

Ale \\(a = 1\\) i \\(b = 1\\) oznacza \\(b = a\\) - co jest wykluczone przez założenie \\(b \\neq a\\).

\n

Zatem: skoro jedyny punkt, w którym wyrażenie byłoby równe \\(0\\), jest wykluczony założeniem, to dla wszystkich dopuszczalnych \\(a, b\\) (z warunkiem \\(b \\neq a\\)):
\\[(a-1)^2 + 3(b-1)^2 > 0\\]
co kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - Metoda wyróżnika funkcji kwadratowej

\n

Potraktujmy lewą stronę jako funkcję kwadratową zmiennej \\(a\\):
\\[
f(a) = a^2 - 2a + (3b^2 - 6b + 4)
\\]
Jest to parabola z ramionami skierowanymi w górę (współczynnik przy \\(a^2\\) wynosi \\(1 > 0\\)), więc \\(f(a) \\geq \\min f(a)\\).

\n

Obliczamy wyróżnik \\(\\Delta\\) tej funkcji kwadratowej (jako funkcji zmiennej \\(a\\)):
\\[
\\Delta = (-2)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (3b^2 - 6b + 4) = 4 - 12b^2 + 24b - 16
\\]
\\[
\\Delta = -12b^2 + 24b - 12 = -12(b^2 - 2b + 1) = -12(b-1)^2
\\]

\n

Analizujemy znak wyróżnika:

\n

Przypadek 1: \\(b \\neq 1\\)

\n

Wtedy \\((b-1)^2 > 0\\), więc \\(\\Delta = -12(b-1)^2 < 0\\).

\n

Parabola z \\(\\Delta < 0\\) nie przecina osi \\(OX\\) i leży całkowicie powyżej osi - zatem \\(f(a) > 0\\) dla każdego \\(a \\in \\mathbb{R}\\). ✓

\n

Przypadek 2: \\(b = 1\\)

\n

Wtedy \\(\\Delta = 0\\), a jedyne miejsce zerowe funkcji:
\\[
a_0 = \\frac{-(-2)}{2 \\cdot 1} = 1
\\]
Zatem \\(f(a) = (a-1)^2 \\geq 0\\), i \\(f(a) = 0\\) tylko dla \\(a = 1\\).

\n

Ale \\(a = 1\\) i \\(b = 1\\) daje \\(a = b\\) - wykluczone założeniem \\(b \\neq a\\).

\n

Wniosek: w obu przypadkach \\(f(a) > 0\\), co kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy go w Sposób 1 do uzupełnienia pełnych kwadratów:
\\(a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2\\) oraz \\(b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy go w Sposób 2 - obliczając wyróżnik i badając liczbę miejsc zerowych, żeby stwierdzić, kiedy parabola nie przecina osi OX.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno stwierdzić tylko, że "suma kwadratów jest nieujemna". To udowodniłoby \\(\\geq 0\\), a nie ścisłą nierówność \\(> 0\\). Trzeba skorzystać z założenia \\(b \\neq a\\), żeby wykluczyć przypadek równości.
\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(b \\neq a\\) nie jest przypadkowy! Dokładnie wyklucza punkt \\(a = b = 1\\), który jest jedynym punktem, gdzie wyrażenie \\((a-1)^2 + 3(b-1)^2\\) przyjmuje wartość zero. Bez tego warunku nierówność byłaby tylko \\(\\geq\\), nie \\(>\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy metodzie wyróżnika (Sposób 2) pamiętaj, że traktujesz \\(b\\) jako stały parametr, a szukasz wartości \\(f(a)\\) jako funkcji jednej zmiennej. To technika przydatna w wielu zadaniach dowodowych.
\n

Dowód:

\n
Sposób 1 - Przeniesienie i grupowanie
\n

Chcemy wykazać: \\(a^{2} + 3b^{2} + 4 - 2a - 6b > 0.\\)
Grupujemy i uzupełniamy do kwadratów:
\\(a^{2} - 2a + 1 + 3(b^{2} - 2b + 1) = (a-1)^{2} + 3(b-1)^{2}.\\)
Sprawdzamy: \\((a-1)^{2} + 3(b-1)^{2} = a^{2}-2a+1 + 3b^{2}-6b+3 = a^{2}+3b^{2}+4-2a-6b.\\)

\n

Pozostaje pokazać, że \\((a-1)^{2} + 3(b-1)^{2} > 0\\) przy założeniu \\(a\\ne b.\\)

\n

Uwaga: \\((a-1)^{2}\\geq 0\\) i \\(3(b-1)^{2}\\geq 0\\); suma jest \\(=0\\) \\(\\Leftrightarrow a=1\\) i \\(b=1\\), czyli \\(a=b=1\\). Ale założenie mówi \\(b\\ne a\\), więc nie można mieć \\(a=1\\) i \\(b=1\\) jednocześnie z \\(a=b\\). Zatem co najmniej jeden składnik jest dodatni, suma \\(>0.\\)

\n
Sposób 2 - Analiza przypadków
\n

Jeśli \\(a=1\\), to z \\(b\\ne a = 1\\) mamy \\((b-1)^{2}>0\\), więc \\(3(b-1)^{2}>0\\) i suma \\(>0.\\)
Jeśli \\(a\\ne 1\\), to \\((a-1)^{2}>0\\), więc suma \\(>0.\\)
W obu przypadkach nierówność jest spełniona.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: zawsze próbuj przenieść wszystko na jedną stronę i rozpoznaj sumę kwadratów \\((\\square)^{2}+(\\square)^{2}\\geq 0\\).

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Wszystkich uporządkowanych par różnych liczb jest

\n

|Ω|=8·7=56.

\n

Sumę 4 dają pary (1,3),(3,1) , a sumę 8 :

\n

(1,7),(7,1),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3).

\n

Zdarzeń sprzyjających jest 8 , więc

\n

P(A)=(8)/(56)=(1)/(7).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P(A) = \\dfrac{8}{56} = \\dfrac{1}{7}$

"}]}