{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nDziałka ma kształt trapezu. Podstawy 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 tego trapezu mają długości |𝐴𝐵| = 400 m\noraz |𝐶𝐷| = 100 m. Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty 𝐷𝐴𝐵 i 𝐴𝐵𝐶 są\nostre.\nZ działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking.\nDwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie 𝐴𝐵 tego trapezu, a dwa\npozostałe - 𝐸 oraz 𝐹 - na ramionach 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶 trapezu (zobacz rysunek).\nWyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu\nbędzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.\nZapisz obliczenia.\nWskazówka:\nAby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest\nsumą pól trapezów 𝐴𝐵𝐹𝐸 oraz 𝐸𝐹𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸+ 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n100 m\nplac przeznaczony na parking\n75 m\n400 m\n𝐵\n𝐸\n𝐹\n𝐴\n𝐷\n𝐶\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nDziałka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD tego trapezu mają długości |AB|=400 m oraz |CD|=100 m. Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trapezu, a dwa pozostałe - E oraz F - na ramionach AD i BC trapezu (zobacz rysunek). [rysunek] Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Wskazówka: Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu ABCD jest sumą pól trapezów ABFE oraz EFCD: P_ABCD = P_ABFE + P_EFCD","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nXIII) Zdający rozwiązuje zadania\noptymalizacyjne w sytuacjach dających się\nopisać funkcją kwadratową.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda rozwiązania i poprawne wyniki: 50 m x 200 m, 10 000 m2 .\n3 pkt - zapisanie dziedziny funkcji 𝑃(𝑥): (0, 75], wyznaczenie argumentu, dla którego\nfunkcja pola przyjmuje wartość największą: 𝑥= 50 m.\n2 pkt - zapisanie wzoru na pole powierzchni placu (prostokąta) w zależności od długości\njednego z jego boków, np. 𝑃(𝑥) = 𝑥⋅(400 -4𝑥).\n1 pkt - zapisanie zależności między wymiarami placu (prostokąta), np. 𝑦= 400 -4𝑥.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nZ porównania sumy pól trapezów 𝐴𝐵𝐹𝐸 i 𝐸𝐹𝐶𝐷 otrzymujemy\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸+ 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n100 + 400\n2\n⋅75 = 400 + 𝑦\n2\n⋅𝑥+ 100 + 𝑦\n2\n⋅(75 -𝑥)\nStąd otrzymujemy\n𝑦= 400 -4𝑥\nZatem pole 𝑃 placu wyraża się wzorem 𝑃(𝑥) = 𝑥⋅(400 -4𝑥) dla 𝑥∈(0,75].\nKorzystamy z własności funkcji kwadratowej i obliczamy wartość 𝑥, dla którego wyrażenie\n𝑥(400 -4𝑥) osiąga wartość największą:\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= 0 + 100\n2\n= 50\n400 m\n100 m\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑥\n75 m\n𝑦\n𝐸\n𝐹\nPonieważ 50 ∈(0, 75], więc funkcja 𝑃 osiąga wartość największa dla argumentu 𝑥= 50.\nWtedy 𝑦= 200. Zatem plac o największej powierzchni ma wymiary 50 m x 200 m.\nPowierzchnia placu o największej powierzchni jest równa 50 m ⋅ 200 m = 10 000 m2 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH\nOSÓB ZE STWIERDZONĄ DYSKALKULIĄ\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy, termin\ndodatkowy 2023.\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku\narkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nDodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych\nw przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\n(egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy, termin dodatkowy 2023)\nZadanie 3. (0-2)\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 8. (0-2)\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n2𝑥2 -3𝑥, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 2𝑥2 -𝑥< 0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych\nzasad oceniania),\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci (\n3\n2 , 0), to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 9. (0-3)\n2 pkt - zapisanie dwóch pierwiastków wielomianu 𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36 (o ile nie zostały one\nuzyskane w wyniku błędnej metody).\n1 pkt - przekształcenie wielomianu 𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36 do postaci\n𝑥2(𝑥+ 4) -9(𝑥+ 4) lub 𝑥(𝑥2 -9) + 4(𝑥2 -9).\nZadanie 13.2. (0-1)\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci (-3, -5), to może otrzymać\n1 punkt.\nZadanie 15.1. (0-1)\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 15.2. (0-1)\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 29.1. (0-1)\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 32. (0-2)\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 56 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi\nnr 1 ze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 7) i konsekwentnie zapisze\nwynik\n7\n56 , to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 33. (0-4)\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = -\\frac{3}{4}x^2 + 3\\)\n\n## Sposób 1 - Postać kanoniczna (wzór z wierzchołkiem)\n\nSkoro wiemy, gdzie jest wierzchołek paraboli, **od razu piszemy wzór w postaci kanonicznej**.\n\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\ngdzie \\(W = (p, q)\\) to wierzchołek.\n\n**Krok 1.** Podstawiamy wierzchołek \\(A = (0, 3)\\), czyli \\(p = 0\\), \\(q = 3\\):\n\\[f(x) = a(x - 0)^2 + 3 = ax^2 + 3\\]\n\nWzór zawiera jedną nieznaną - \\(a\\). Do jej wyznaczenia użyjemy warunku, że punkt \\(B = (2, 0)\\) leży na wykresie.\n\n**Krok 2.** Warunek \\(f(2) = 0\\):\n\\[a \\cdot 2^2 + 3 = 0\\]\n\\[4a + 3 = 0\\]\n\\[4a = -3\\]\n\\[a = -\\frac{3}{4}\\]\n\n**Krok 3.** Wzór funkcji:\n\\[\\boxed{f(x) = -\\frac{3}{4}x^2 + 3}\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(0) = 3\\) ✓, \\(f(2) = -\\frac{3}{4} \\cdot 4 + 3 = -3 + 3 = 0\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Postać ogólna z własnością wierzchołka\n\nZaczynamy od postaci ogólnej \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) i korzystamy z obu danych.\n\n**Krok 1.** Wierzchołek ma współrzędną \\(x\\)-ową równą \\(p = -\\frac{b}{2a}\\).\n\nSkoro \\(p = 0\\):\n\\[-\\frac{b}{2a} = 0 \\implies b = 0\\]\n\nWzór upraszcza się do \\(f(x) = ax^2 + c\\).\n\n**Krok 2.** Wierzchołek leży na wykresie: \\(f(0) = 3\\):\n\\[a \\cdot 0 + c = 3 \\implies c = 3\\]\n\n**Krok 3.** Punkt \\(B = (2, 0)\\) leży na wykresie: \\(f(2) = 0\\):\n\\[a \\cdot 4 + 3 = 0 \\implies a = -\\frac{3}{4}\\]\n\n**Wynik:**\n\\[f(x) = -\\frac{3}{4}x^2 + 3\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\nWierzchołek paraboli to punkt \\((p, q)\\) - bezpośrednio zastosowany w Sposobie 1.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna \\(x\\) wierzchołka w postaci ogólnej:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyciągnięcia warunku \\(b = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek \\(A = (0, 3)\\) leży na osi \\(OY\\) - to znaczy \\(p = 0\\), więc postać kanoniczna od razu daje \\(f(x) = ax^2 + 3\\). Nie ma członu liniowego! Uczniowie często zostawiają \\(bx\\) i mają za dużo niewiadomych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(B = (2, 0)\\) to **miejsce zerowe** paraboli - \\(f(2) = 0\\), nie \\(f(0) = 2\\). Przestaw argumenty w głowie przed podstawieniem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola ma wierzchołek powyżej osi \\(OX\\) i przecina tę oś - musi być skierowana ramionami **w dół**, czyli \\(a < 0\\). Jeśli wychodzi Ci \\(a > 0\\), na pewno gdzieś jest błąd - to dobra szybka weryfikacja logiczna.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = -\\dfrac{3}{4}x^{2} + 3\\)**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna\nWierzchołek \\(A=(0,3)\\), więc \\(f(x) = a(x-0)^{2} + 3 = ax^{2} + 3.\\)\nPunkt \\(B=(2,0)\\) należy do wykresu:\n\\(0 = a\\cdot 4 + 3 \\Rightarrow a = -\\dfrac{3}{4}.\\)\nWzór: \\(f(x) = -\\dfrac{3}{4}x^{2} + 3.\\)\n\n### Sposób 2 - Postać ogólna\nWspółrzędna \\(x\\)-owa wierzchołka: \\(x_{w} = -\\tfrac{b}{2a} = 0 \\Rightarrow b=0.\\)\n\\(f(0) = c = 3.\\)\n\\(f(2) = 4a+3 = 0 \\Rightarrow a = -\\tfrac{3}{4}.\\)\nWzór: \\(f(x) = -\\tfrac{3}{4}x^{2}+3.\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE, 0-2 pkt)\n- **1 pkt** - ustalenie postaci z \\(b=0\\) (lub postaci kanonicznej), czyli \\(f(x) = ax^{2}+3.\\)\n- **2 pkt** - wyznaczenie \\(a=-\\tfrac{3}{4}\\) i zapisanie pełnego wzoru.\n\n**Trik:** gdy wierzchołek ma współrzędną \\(x_{w}=0\\), parabola jest symetryczna względem osi \\(OY\\), czyli \\(b=0\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 33. (0-4)<br>Działka ma kształt trapezu. Podstawy 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 tego trapezu mają długości |𝐴𝐵| = 400 m<br>oraz |𝐶𝐷| = 100 m. Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty 𝐷𝐴𝐵 i 𝐴𝐵𝐶 są<br>ostre.<br>Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking.<br>Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie 𝐴𝐵 tego trapezu, a dwa<br>pozostałe - 𝐸 oraz 𝐹 - na ramionach 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶 trapezu (zobacz rysunek).<br>Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu<br>będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.<br>Zapisz obliczenia.<br>Wskazówka:<br>Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest<br>sumą pól trapezów 𝐴𝐵𝐹𝐸 oraz 𝐸𝐹𝐶𝐷:<br>𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸+ 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷<br>100 m<br>plac przeznaczony na parking<br>75 m<br>400 m<br>𝐵<br>𝐸<br>𝐹<br>𝐴<br>𝐷<br>𝐶</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>Działka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD tego trapezu mają długości |AB|=400 m oraz |CD|=100 m. Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trapezu, a dwa pozostałe - E oraz F - na ramionach AD i BC trapezu (zobacz rysunek). [rysunek] Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Wskazówka: Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu ABCD jest sumą pól trapezów ABFE oraz EFCD: P_ABCD = P_ABFE + P_EFCD</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33. (0-4)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>XIII) Zdający rozwiązuje zadania<br>optymalizacyjne w sytuacjach dających się<br>opisać funkcją kwadratową.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - poprawna metoda rozwiązania i poprawne wyniki: 50 m x 200 m, 10 000 m2 .<br>3 pkt - zapisanie dziedziny funkcji 𝑃(𝑥): (0, 75], wyznaczenie argumentu, dla którego<br>funkcja pola przyjmuje wartość największą: 𝑥= 50 m.<br>2 pkt - zapisanie wzoru na pole powierzchni placu (prostokąta) w zależności od długości<br>jednego z jego boków, np. 𝑃(𝑥) = 𝑥⋅(400 -4𝑥).<br>1 pkt - zapisanie zależności między wymiarami placu (prostokąta), np. 𝑦= 400 -4𝑥.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.<br>Z porównania sumy pól trapezów 𝐴𝐵𝐹𝐸 i 𝐸𝐹𝐶𝐷 otrzymujemy<br>𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸+ 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷<br>100 + 400<br>2<br>⋅75 = 400 + 𝑦<br>2<br>⋅𝑥+ 100 + 𝑦<br>2<br>⋅(75 -𝑥)<br>Stąd otrzymujemy<br>𝑦= 400 -4𝑥<br>Zatem pole 𝑃 placu wyraża się wzorem 𝑃(𝑥) = 𝑥⋅(400 -4𝑥) dla 𝑥∈(0,75].<br>Korzystamy z własności funkcji kwadratowej i obliczamy wartość 𝑥, dla którego wyrażenie<br>𝑥(400 -4𝑥) osiąga wartość największą:<br>𝑝= 𝑥1 + 𝑥2<br>2<br>= 0 + 100<br>2<br>= 50<br>400 m<br>100 m<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝑥<br>75 m<br>𝑦<br>𝐸<br>𝐹<br>Ponieważ 50 ∈(0, 75], więc funkcja 𝑃 osiąga wartość największa dla argumentu 𝑥= 50.<br>Wtedy 𝑦= 200. Zatem plac o największej powierzchni ma wymiary 50 m x 200 m.<br>Powierzchnia placu o największej powierzchni jest równa 50 m ⋅ 200 m = 10 000 m2 .<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH<br>OSÓB ZE STWIERDZONĄ DYSKALKULIĄ<br>Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez<br>stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:<br>a) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią (punkty 1.-12.);<br>b) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób<br>ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy, termin<br>dodatkowy 2023.<br>Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku<br>arkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią</p>\n<ol><li>Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:</li></ol>\n<p>błędnego przepisania<br>przestawienia cyfr<br>zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie<br>przestawienia położenia przecinka.</p>\n<ol><li>W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu</li></ol>\n<p>oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza<br>umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania<br>badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.</p>\n<ol><li>We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,</li></ol>\n<p>części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie<br>z kryteriami do poszczególnych zadań.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje</li></ol>\n<p>nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub<br>stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie<br>zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu</li></ol>\n<p>kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę<br>wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania<br>wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności<br>kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,<br>istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych</li></ol>\n<p>lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie<br>takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na</li></ol>\n<p>płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu<br>rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur<br>geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać</li></ol>\n<p>przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających<br>rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę<br>wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli</li></ol>\n<p>podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia<br>rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub</li></ol>\n<p>geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która<br>wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać<br>1 punkt.<br>Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych<br>w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>(egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy, termin dodatkowy 2023)<br>Zadanie 3. (0-2)<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 8. (0-2)<br>1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego<br>2𝑥2 -3𝑥, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego<br>i obliczenie tych pierwiastków<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze</li></ul>\n<p>dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne rozwiązanie nierówności 2𝑥2 -𝑥&lt; 0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych</li></ul>\n<p>zasad oceniania),<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego</li></ul>\n<p>trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze</li></ol>\n<p>zbiór rozwiązań nierówności w postaci (<br>3<br>2 , 0), to może otrzymać 2 punkty za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.</li></ol>\n<p>Zadanie 9. (0-3)<br>2 pkt - zapisanie dwóch pierwiastków wielomianu 𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36 (o ile nie zostały one<br>uzyskane w wyniku błędnej metody).<br>1 pkt - przekształcenie wielomianu 𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36 do postaci<br>𝑥2(𝑥+ 4) -9(𝑥+ 4) lub 𝑥(𝑥2 -9) + 4(𝑥2 -9).<br>Zadanie 13.2. (0-1)<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci (-3, -5), to może otrzymać<br>1 punkt.<br>Zadanie 15.1. (0-1)<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 15.2. (0-1)<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 29.1. (0-1)<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 32. (0-2)<br>1 pkt - zapisanie jedynie liczby 56 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich<br>zdarzeń elementarnych).<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi</li></ol>\n<p>nr 1 ze standardowych zasad oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające</li></ol>\n<p>zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 7) i konsekwentnie zapisze<br>wynik<br>7<br>56 , to otrzymuje 2 punkty.<br>Zadanie 33. (0-4)<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = -\\frac{3}{4}x^2 + 3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Postać kanoniczna (wzór z wierzchołkiem)</h4>\n<p>Skoro wiemy, gdzie jest wierzchołek paraboli, <strong>od razu piszemy wzór w postaci kanonicznej</strong>.</p>\n<p>Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]<br>gdzie \\(W = (p, q)\\) to wierzchołek.</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Podstawiamy wierzchołek \\(A = (0, 3)\\), czyli \\(p = 0\\), \\(q = 3\\):<br>\\[f(x) = a(x - 0)^2 + 3 = ax^2 + 3\\]</p>\n<p>Wzór zawiera jedną nieznaną - \\(a\\). Do jej wyznaczenia użyjemy warunku, że punkt \\(B = (2, 0)\\) leży na wykresie.</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Warunek \\(f(2) = 0\\):<br>\\[a \\cdot 2^2 + 3 = 0\\]<br>\\[4a + 3 = 0\\]<br>\\[4a = -3\\]<br>\\[a = -\\frac{3}{4}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Wzór funkcji:<br>\\[\\boxed{f(x) = -\\frac{3}{4}x^2 + 3}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie:</strong> \\(f(0) = 3\\) ✓, \\(f(2) = -\\frac{3}{4} \\cdot 4 + 3 = -3 + 3 = 0\\) ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Postać ogólna z własnością wierzchołka</h4>\n<p>Zaczynamy od postaci ogólnej \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) i korzystamy z obu danych.</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Wierzchołek ma współrzędną \\(x\\)-ową równą \\(p = -\\frac{b}{2a}\\).</p>\n<p>Skoro \\(p = 0\\):<br>\\[-\\frac{b}{2a} = 0 \\implies b = 0\\]</p>\n<p>Wzór upraszcza się do \\(f(x) = ax^2 + c\\).</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Wierzchołek leży na wykresie: \\(f(0) = 3\\):<br>\\[a \\cdot 0 + c = 3 \\implies c = 3\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Punkt \\(B = (2, 0)\\) leży na wykresie: \\(f(2) = 0\\):<br>\\[a \\cdot 4 + 3 = 0 \\implies a = -\\frac{3}{4}\\]</p>\n<p><strong>Wynik:</strong><br>\\[f(x) = -\\frac{3}{4}x^2 + 3\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać kanoniczna:<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]<br>Wierzchołek paraboli to punkt \\((p, q)\\) - bezpośrednio zastosowany w Sposobie 1.</p>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - współrzędna \\(x\\) wierzchołka w postaci ogólnej:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]<br>Użyte w Sposobie 2 do wyciągnięcia warunku \\(b = 0\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wierzchołek \\(A = (0, 3)\\) leży na osi \\(OY\\) - to znaczy \\(p = 0\\), więc postać kanoniczna od razu daje \\(f(x) = ax^2 + 3\\). Nie ma członu liniowego! Uczniowie często zostawiają \\(bx\\) i mają za dużo niewiadomych.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt \\(B = (2, 0)\\) to <strong>miejsce zerowe</strong> paraboli - \\(f(2) = 0\\), nie \\(f(0) = 2\\). Przestaw argumenty w głowie przed podstawieniem!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Parabola ma wierzchołek powyżej osi \\(OX\\) i przecina tę oś - musi być skierowana ramionami <strong>w dół</strong>, czyli \\(a &lt; 0\\). Jeśli wychodzi Ci \\(a &gt; 0\\), na pewno gdzieś jest błąd - to dobra szybka weryfikacja logiczna.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = -\\dfrac{3}{4}x^{2} + 3\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Postać kanoniczna</h5>\n<p>Wierzchołek \\(A=(0,3)\\), więc \\(f(x) = a(x-0)^{2} + 3 = ax^{2} + 3.\\)<br>Punkt \\(B=(2,0)\\) należy do wykresu:<br>\\(0 = a\\cdot 4 + 3 \\Rightarrow a = -\\dfrac{3}{4}.\\)<br>Wzór: \\(f(x) = -\\dfrac{3}{4}x^{2} + 3.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Postać ogólna</h5>\n<p>Współrzędna \\(x\\)-owa wierzchołka: \\(x_{w} = -\\tfrac{b}{2a} = 0 \\Rightarrow b=0.\\)<br>\\(f(0) = c = 3.\\)<br>\\(f(2) = 4a+3 = 0 \\Rightarrow a = -\\tfrac{3}{4}.\\)<br>Wzór: \\(f(x) = -\\tfrac{3}{4}x^{2}+3.\\)</p>\n<h5>Uwagi o punktacji (CKE, 0-2 pkt)</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong> - ustalenie postaci z \\(b=0\\) (lub postaci kanonicznej), czyli \\(f(x) = ax^{2}+3.\\)</li><li><strong>2 pkt</strong> - wyznaczenie \\(a=-\\tfrac{3}{4}\\) i zapisanie pełnego wzoru.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> gdy wierzchołek ma współrzędną \\(x_{w}=0\\), parabola jest symetryczna względem osi \\(OY\\), czyli \\(b=0\\).</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Oznaczmy:</p>\n<p>a=|EF|</p>\n<ul><li>długość prostokąta oraz</li></ul>\n<p>b</p>\n<ul><li>jego wysokość.</li></ul>\n<p>Pole całego trapezu ABCD wynosi</p>\n<p>P_ABCD=(400+100)/(2)·75<br>=250·75<br>=18750.</p>\n<p>Zgodnie ze wskazówką:</p>\n<p>P_ABCD=P_ABFE+P_EFCD.</p>\n<p>Dolny trapez ABFE ma podstawy 400 i a oraz wysokość b :</p>\n<p>P_ABFE=(400+a)/(2)· b.</p>\n<p>Górny trapez EFCD ma podstawy a i 100 oraz wysokość 75-b :</p>\n<p>P_EFCD=(a+100)/(2)·(75-b).</p>\n<p>Układamy równanie:</p>\n<p>(400+a)/(2)b+(a+100)/(2)(75-b)=18750.</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez 2 :</p>\n<p>(400+a)b+(a+100)(75-b)=37500.</p>\n<p>Rozwijamy nawiasy:</p>\n<p>400b+ab+75a+7500-ab-100b=37500.</p>\n<p>300b+75a=30000.</p>\n<p>Dzielimy przez 75 :</p>\n<p>4b+a=400.</p>\n<p>Stąd</p>\n<p>b=100-(1)/(4)a.</p>\n<p>Pole prostokąta:</p>\n<p>P(a)=a· b<br>=a (100-(1)/(4)a )<br>=-(1)/(4)a^2+100a.</p>\n<p>Jest to funkcja kwadratowa, której ramiona są skierowane w dół. Największą wartość przyjmuje w wierzchołku:</p>\n<p>a=-(100)/(2· (-frac14 ))=200.</p>\n<p>Wtedy</p>\n<p>b=100-(1)/(4)·200=50.</p>\n<p>Największe pole:</p>\n<p>P_max=200·50=10000 m^2.</p>\n<p>Prostokąt powinien mieć boki długości</p>\n<p>200 m i 50 m,</p>\n<p>a jego największe pole wynosi</p>\n<p>10000 m^2.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$50$ m x $200$ m, $10 000 \\text{ m}^{2}$</p>"}]}