{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"W trójkącie prostokątnym równoramiennym ABC o przeciwprostokątnej BC punkt D jest środkiem ramienia AB . Odcinek CD ma długość 5\n\n/matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2306/z34.png\n\n. Oblicz obwód trójkąta ABC . C 5 A D B","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: obwód trójkąta \\(ABC\\) wynosi \\(4\\sqrt{5} + 2\\sqrt{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ACD\n\n**Oznaczenia i setup**\n\nTrójkąt prostokątny równoramienny \\(ABC\\) ma:\n- kąt prosty przy wierzchołku \\(A\\) (bo \\(BC\\) to przeciwprostokątna),\n- ramiona \\(AB = AC = a\\) (równoramienny → ramiona równe),\n- \\(D\\) - środek \\(AB\\), więc \\(AD = \\frac{a}{2}\\).\n\n**Obliczamy \\(CD\\) przez Pitagorasa w trójkącie \\(ACD\\)**\n\nTrójkąt \\(ACD\\) jest prostokątny przy \\(A\\) (kąt prosty się dziedziczy):\n\\[CD^2 = AC^2 + AD^2 = a^2 + \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 = a^2 + \\frac{a^2}{4} = \\frac{5a^2}{4}\\]\n\nZatem:\n\\[CD = \\frac{a\\sqrt{5}}{2}\\]\n\n**Podstawiamy \\(CD = 5\\):**\n\\[\\frac{a\\sqrt{5}}{2} = 5\\]\n\\[a\\sqrt{5} = 10\\]\n\\[a = \\frac{10}{\\sqrt{5}} = \\frac{10\\sqrt{5}}{5} = 2\\sqrt{5}\\]\n\n**Obliczamy obwód:**\n\nPrzeciwprostokątna: \\(BC = a\\sqrt{2} = 2\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{2} = 2\\sqrt{10}\\)\n\n\\[\\boxed{O = AB + AC + BC = 2\\sqrt{5} + 2\\sqrt{5} + 2\\sqrt{10} = 4\\sqrt{5} + 2\\sqrt{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ współrzędnych\n\nUmieszczamy \\(A\\) w początku układu, \\(B = (a, 0)\\), \\(C = (0, a)\\).\n\nKąt przy \\(A\\): między wektorem \\(\\vec{AB} = (a,0)\\) a \\(\\vec{AC} = (0,a)\\) - kąt prosty ✓\n\nŚrodek \\(AB\\): \\(D = \\left(\\frac{a}{2},\\ 0\\right)\\)\n\nOdległość \\(CD\\):\n\\[CD = \\sqrt{\\left(\\frac{a}{2} - 0\\right)^2 + (0 - a)^2} = \\sqrt{\\frac{a^2}{4} + a^2} = \\sqrt{\\frac{5a^2}{4}} = \\frac{a\\sqrt{5}}{2}\\]\n\nWarunek \\(CD = 5\\):\n\\[\\frac{a\\sqrt{5}}{2} = 5 \\implies a = 2\\sqrt{5}\\]\n\nObwód:\n\\[O = 2a + a\\sqrt{2} = 2 \\cdot 2\\sqrt{5} + 2\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{5} + 2\\sqrt{10}\\]\n\n**Weryfikacja liczbowa:** \\(4\\sqrt{5} \\approx 8{,}94\\), \\(2\\sqrt{10} \\approx 6{,}32\\), razem \\(\\approx 15{,}27\\). Sprawdzam \\(CD\\): \\(a\\sqrt{5}/2 = 2\\sqrt{5}\\cdot\\sqrt{5}/2 = 10/2 = 5\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy dwukrotnie - raz do wyznaczenia \\(CD\\) z trójkąta \\(ACD\\), raz do obliczenia \\(BC\\) z ramion.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Trójkąt równoboczny/prostokątny**, własność:\n\\[R = \\frac{c}{2},\\quad \\text{gdzie } c \\text{ to przeciwprostokątna}\\]\nPomocniczo: w trójkącie prostokątnym równoramiennym \\(c = a\\sqrt{2}\\) (wynika wprost z Pitagorasa: \\(c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt prostokątny równoramienny - kąt prosty jest **między ramionami**, czyli przy \\(A\\), nie przy \\(B\\) ani \\(C\\). Początkujący mylą \"ramię\" z \"noga\" i stawiają kąt prosty nie tam, gdzie trzeba.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(D\\) jest środkiem \\(AB\\), więc \\(AD = \\frac{a}{2}\\), a nie \\(a\\). Wzięcie \\(AD = a\\) daje \\(CD = a\\sqrt{2}\\) i błędny wynik \\(a = \\frac{5}{\\sqrt{2}} = \\frac{5\\sqrt{2}}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu obwodu pamiętaj, że mamy **dwa** ramiona (\\(AB + AC = 2a\\)) plus przeciwprostokątna. Łatwo policzyć tylko \\(a + a\\sqrt{2}\\) zapominając o jednym ramieniu lub pomylić liczby ramion.\n\n**Poprawna odpowiedź: Obwód \\(= 4\\sqrt{5}+2\\sqrt{10}\\)**\n\n### Sposób 1 - Pitagoras w trójkącie \\(ACD\\)\nTrójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny w \\(A\\) i równoramienny, więc \\(|AB|=|AC|=a\\), \\(|BC|=a\\sqrt{2}.\\)\n\\(D\\) - środek \\(AB\\), więc \\(|AD|=\\tfrac{a}{2}.\\)\nKąt \\(DAC=90^{\\circ}\\) (bo \\(D\\in AB\\) i \\(\\angle A\\) jest prosty).\nZ Pitagorasa w \\(\\triangle ACD\\):\n\\(|CD|^{2} = |AC|^{2} + |AD|^{2}\\)\n\\(25 = a^{2} + \\tfrac{a^{2}}{4} = \\tfrac{5a^{2}}{4}.\\)\n\\(a^{2} = 20 \\Rightarrow a = 2\\sqrt{5}.\\)\n\nObwód: \\(2a + a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{5} + 2\\sqrt{5}\\cdot\\sqrt{2} = 4\\sqrt{5} + 2\\sqrt{10}.\\)\n\n### Sposób 2 - Trygonometria\nW trójkącie \\(ACD\\): \\(\\operatorname{tg}(\\angle ACD) = \\tfrac{|AD|}{|AC|} = \\tfrac{1}{2}.\\) Z jedynki: \\(\\cos(\\angle ACD) = \\tfrac{2}{\\sqrt{5}}\\), \\(\\sin(\\angle ACD)=\\tfrac{1}{\\sqrt{5}}.\\)\n\\(|AC| = |CD|\\cos(\\angle ACD) = 5\\cdot\\tfrac{2}{\\sqrt{5}} = 2\\sqrt{5}.\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE, 0-2 pkt)\n- **1 pkt** - wyznaczenie \\(|AC|=2\\sqrt{5}\\) (lub \\(|AB|\\)).\n- **2 pkt** - obliczenie obwodu \\(4\\sqrt{5}+2\\sqrt{10}.\\)\n\n**Trik:** w trójkącie równoramiennym prostokątnym bok \\(c = a\\sqrt{2}\\), a środek ramienia daje pół długości przy wierzchołku prostym.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

W trójkącie prostokątnym równoramiennym ABC o przeciwprostokątnej BC punkt D jest środkiem ramienia AB . Odcinek CD ma długość 5

\n

/matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2306/z34.png

\n

. Oblicz obwód trójkąta ABC . C 5 A D B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: obwód trójkąta \\(ABC\\) wynosi \\(4\\sqrt{5} + 2\\sqrt{10}\\)

\n

Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ACD

\n

Oznaczenia i setup

\n

Trójkąt prostokątny równoramienny \\(ABC\\) ma:

\n\n

Obliczamy \\(CD\\) przez Pitagorasa w trójkącie \\(ACD\\)

\n

Trójkąt \\(ACD\\) jest prostokątny przy \\(A\\) (kąt prosty się dziedziczy):
\\[CD^2 = AC^2 + AD^2 = a^2 + \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 = a^2 + \\frac{a^2}{4} = \\frac{5a^2}{4}\\]

\n

Zatem:
\\[CD = \\frac{a\\sqrt{5}}{2}\\]

\n

Podstawiamy \\(CD = 5\\):
\\[\\frac{a\\sqrt{5}}{2} = 5\\]
\\[a\\sqrt{5} = 10\\]
\\[a = \\frac{10}{\\sqrt{5}} = \\frac{10\\sqrt{5}}{5} = 2\\sqrt{5}\\]

\n

Obliczamy obwód:

\n

Przeciwprostokątna: \\(BC = a\\sqrt{2} = 2\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{2} = 2\\sqrt{10}\\)

\n

\\[\\boxed{O = AB + AC + BC = 2\\sqrt{5} + 2\\sqrt{5} + 2\\sqrt{10} = 4\\sqrt{5} + 2\\sqrt{10}}\\]

\n

Sposób 2 - Układ współrzędnych

\n

Umieszczamy \\(A\\) w początku układu, \\(B = (a, 0)\\), \\(C = (0, a)\\).

\n

Kąt przy \\(A\\): między wektorem \\(\\vec{AB} = (a,0)\\) a \\(\\vec{AC} = (0,a)\\) - kąt prosty ✓

\n

Środek \\(AB\\): \\(D = \\left(\\frac{a}{2},\\ 0\\right)\\)

\n

Odległość \\(CD\\):
\\[CD = \\sqrt{\\left(\\frac{a}{2} - 0\\right)^2 + (0 - a)^2} = \\sqrt{\\frac{a^2}{4} + a^2} = \\sqrt{\\frac{5a^2}{4}} = \\frac{a\\sqrt{5}}{2}\\]

\n

Warunek \\(CD = 5\\):
\\[\\frac{a\\sqrt{5}}{2} = 5 \\implies a = 2\\sqrt{5}\\]

\n

Obwód:
\\[O = 2a + a\\sqrt{2} = 2 \\cdot 2\\sqrt{5} + 2\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{5} + 2\\sqrt{10}\\]

\n

Weryfikacja liczbowa: \\(4\\sqrt{5} \\approx 8{,}94\\), \\(2\\sqrt{10} \\approx 6{,}32\\), razem \\(\\approx 15{,}27\\). Sprawdzam \\(CD\\): \\(a\\sqrt{5}/2 = 2\\sqrt{5}\\cdot\\sqrt{5}/2 = 10/2 = 5\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy dwukrotnie - raz do wyznaczenia \\(CD\\) z trójkąta \\(ACD\\), raz do obliczenia \\(BC\\) z ramion.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Trójkąt równoboczny/prostokątny, własność:
\\[R = \\frac{c}{2},\\quad \\text{gdzie } c \\text{ to przeciwprostokątna}\\]
Pomocniczo: w trójkącie prostokątnym równoramiennym \\(c = a\\sqrt{2}\\) (wynika wprost z Pitagorasa: \\(c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\\)).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Trójkąt prostokątny równoramienny - kąt prosty jest między ramionami, czyli przy \\(A\\), nie przy \\(B\\) ani \\(C\\). Początkujący mylą "ramię" z "noga" i stawiają kąt prosty nie tam, gdzie trzeba.
\n
⚠️ Uwaga: \\(D\\) jest środkiem \\(AB\\), więc \\(AD = \\frac{a}{2}\\), a nie \\(a\\). Wzięcie \\(AD = a\\) daje \\(CD = a\\sqrt{2}\\) i błędny wynik \\(a = \\frac{5}{\\sqrt{2}} = \\frac{5\\sqrt{2}}{2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu obwodu pamiętaj, że mamy dwa ramiona (\\(AB + AC = 2a\\)) plus przeciwprostokątna. Łatwo policzyć tylko \\(a + a\\sqrt{2}\\) zapominając o jednym ramieniu lub pomylić liczby ramion.
\n

Poprawna odpowiedź: Obwód \\(= 4\\sqrt{5}+2\\sqrt{10}\\)

\n
Sposób 1 - Pitagoras w trójkącie \\(ACD\\)
\n

Trójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny w \\(A\\) i równoramienny, więc \\(|AB|=|AC|=a\\), \\(|BC|=a\\sqrt{2}.\\)
\\(D\\) - środek \\(AB\\), więc \\(|AD|=\\tfrac{a}{2}.\\)
Kąt \\(DAC=90^{\\circ}\\) (bo \\(D\\in AB\\) i \\(\\angle A\\) jest prosty).
Z Pitagorasa w \\(\\triangle ACD\\):
\\(|CD|^{2} = |AC|^{2} + |AD|^{2}\\)
\\(25 = a^{2} + \\tfrac{a^{2}}{4} = \\tfrac{5a^{2}}{4}.\\)
\\(a^{2} = 20 \\Rightarrow a = 2\\sqrt{5}.\\)

\n

Obwód: \\(2a + a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{5} + 2\\sqrt{5}\\cdot\\sqrt{2} = 4\\sqrt{5} + 2\\sqrt{10}.\\)

\n
Sposób 2 - Trygonometria
\n

W trójkącie \\(ACD\\): \\(\\operatorname{tg}(\\angle ACD) = \\tfrac{|AD|}{|AC|} = \\tfrac{1}{2}.\\) Z jedynki: \\(\\cos(\\angle ACD) = \\tfrac{2}{\\sqrt{5}}\\), \\(\\sin(\\angle ACD)=\\tfrac{1}{\\sqrt{5}}.\\)
\\(|AC| = |CD|\\cos(\\angle ACD) = 5\\cdot\\tfrac{2}{\\sqrt{5}} = 2\\sqrt{5}.\\)

\n
Uwagi o punktacji (CKE, 0-2 pkt)
\n\n

Trik: w trójkącie równoramiennym prostokątnym bok \\(c = a\\sqrt{2}\\), a środek ramienia daje pół długości przy wierzchołku prostym.

"}]}