Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od 1 do 8 - losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby 8 . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Krok 1: Przestrzeń zdarzeń elementarnych
\nLosujemy kolejno bez zwracania 2 liczby ze zbioru \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\\}.\\)
\nPonieważ suma wylosowanych liczb nie zależy od kolejności, wygodnie liczyć pary nieuporządkowane:
\n\\[|\\Omega| = \\binom{8}{2} = \\frac{8 \\cdot 7}{2} = 28\\]
\nKażda para jest jednakowo prawdopodobna.
\nKrok 2: Które sumy są dzielnikami liczby 8?
\nDzielniki liczby \\(8\\) to: \\(1,\\, 2,\\, 4,\\, 8.\\)
\nMinimalna możliwa suma wylosowanych liczb: \\(1 + 2 = 3.\\)
Maksymalna: \\(7 + 8 = 15.\\)
Zatem z dzielników \\(8\\) w grę wchodzą tylko \\(4\\) i \\(8\\) (bo \\(1\\) i \\(2\\) są poniżej minimum).
\nKrok 3: Policz sprzyjające pary
\nSuma = 4:
Szukamy par \\(\\{a, b\\} \\subset \\{1,\\ldots,8\\}\\), \\(a \\neq b\\), \\(a+b=4\\):
\\[\\{1,3\\}\\]
Tylko 1 para.
Suma = 8:
Szukamy par \\(a+b=8\\), \\(a \\neq b\\), \\(a,b \\in \\{1,\\ldots,8\\}\\):
\\[\\{1,7\\},\\quad \\{2,6\\},\\quad \\{3,5\\}\\]
(Para \\(\\{4,4\\}\\) odpada - bez zwracania.)
Łącznie 3 pary.
Zdarzenie \\(A\\) zawiera \\(1 + 3 = 4\\) pary sprzyjające.
\nKrok 4: Prawdopodobieństwo
\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{4}{28} = \\boxed{\\dfrac{1}{7}}\\]
\nPonieważ losujemy kolejno, możemy liczyć pary uporządkowane \\((a,b)\\), gdzie \\(a\\) - pierwsza wylosowana, \\(b\\) - druga.
\n\\[|\\Omega| = 8 \\cdot 7 = 56\\]
\nKażda nieuporządkowana para sprzyjająca daje 2 pary uporządkowane, więc:
\n\\[|A| = 4 \\cdot 2 = 8\\]
\n\\[P(A) = \\frac{8}{56} = \\frac{1}{7}\\]
\nWynik zgodny - \\(P(A) = \\dfrac{1}{7}\\) ✓
\nDział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyliśmy w obu sposobach: liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.
Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6) - kombinacje:
\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]
Użyliśmy do policzenia \\(\\binom{8}{2} = 28\\) możliwych par.
⚠️ Uwaga: Dzielniki liczby \\(8\\) to \\(1, 2, 4, 8\\) - nie tylko \\(4\\) i \\(8\\)! Trzeba pamiętać, że suma dwóch różnych liczb ze zbioru \\(\\{1,\\ldots,8\\}\\) wynosi co najmniej 3, więc \\(1\\) i \\(2\\) jako sumy są niemożliwe. Pominięcie tego kroku prowadzi do szukania par o sumie 1 lub 2 - co jest błędem.\n
⚠️ Uwaga: Para \\(\\{4, 4\\}\\) dałaby sumę \\(8\\), ale losowanie bez zwracania wyklucza wylosowanie tej samej liczby dwa razy. Łatwo o ten błąd przy mechanicznym szukaniu par.\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić dzielników liczby \\(8\\) z dzielnikami sumy! Pytanie brzmi: suma musi być dzielnikiem liczby 8 (tj. musi dzielić \\(8\\)), a nie odwrotnie.\n
Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{3}{28}\\) (albo równoważnie \\(\\dfrac{6}{56}\\))
\nWszystkich par uporządkowanych (bez zwracania): \\(|\\Omega| = 8\\cdot 7 = 56.\\)
\nDzielniki \\(8\\): \\(1, 2, 4, 8\\). Suma dwóch różnych liczb z \\(\\{1,\\ldots,8\\}\\) jest \\(\\geq 1+2 = 3\\), więc dozwolone sumy to \\(4\\) i \\(8\\).
\nLiczba zdarzeń sprzyjających: \\(2+6 = 8.\\)
Wynik: \\(P(A) = \\dfrac{8}{56} = \\dfrac{1}{7}.\\)
Korekta: sprawdźmy ponownie - sprawdzam sumę \\(=2\\): wymaga dwóch różnych liczb sumujących się do 2, co wymaga \\(\\{1,1\\}\\), niemożliwe. Suma \\(=1\\) - niemożliwe dla dodatnich. Zatem zdarzeń sprzyjających jest \\(|A|=8.\\)
\n\\(P(A) = \\dfrac{8}{56} = \\dfrac{1}{7}.\\)
\n\\(|\\Omega| = \\binom{8}{2}=28.\\)
Pary sprzyjające: suma \\(=4\\): \\(\\{1,3\\}\\) (1 para). Suma \\(=8\\): \\(\\{1,7\\},\\{2,6\\},\\{3,5\\}\\) (3 pary). Razem: 4 pary.
\\(P(A) = \\dfrac{4}{28} = \\dfrac{1}{7}.\\)
Trik: suma dwóch liczb naturalnych z \\(\\{1,\\ldots,8\\}\\) mieści się w \\(\\{3,\\ldots,15\\}\\); wystarczy sprawdzić dzielniki \\(8\\) w tym przedziale.
"}]}