{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"36","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"W trapezie równoramiennym ABCD podstawa CD ma długość 5 . Punkt F= (3, 11) jest środkiem odcinka CD . Prosta o równaniu y= -[4] x+ 15 jest osią symetrii tego trapezu 3 oraz . B= ([23] 2 , 8) Oblicz współrzędne wierzchołka A oraz pole tego trapezu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[A = \\left(\\frac{7}{2},\\ 2\\right), \\qquad P_{ABCD} = \\frac{225}{4} = 56{,}25\\]\n\n## Sposób 1 - Odbicie punktu B względem osi symetrii\n\n### Krok 1: Wyznaczamy C i D\n\n\\(F = (3, 11)\\) jest środkiem \\(CD\\), a \\(|CD| = 5\\).\n\nOś symetrii trapezu (prostą \\(y = -\\tfrac{4}{3}x + 15\\)) musi być **prostopadła** do podstawy \\(CD\\). Sprawdzamy, czy \\(F\\) leży na osi:\n\n\\[y = -\\frac{4}{3} \\cdot 3 + 15 = -4 + 15 = 11 \\quad \\checkmark\\]\n\nNachylenie osi: \\(-\\tfrac{4}{3}\\). Zatem nachylenie \\(CD\\):\n\n\\[a_{CD} = -\\frac{1}{-\\frac{4}{3}} = \\frac{3}{4}\\]\n\nWektor jednostkowy wzdłuż \\(CD\\): kierunek \\((4, 3)\\), długość \\(\\sqrt{16+9} = 5\\), więc wektor jednostkowy \\(= \\frac{1}{5}(4,3)\\).\n\nPołówka \\(CD\\) to \\(\\frac{5}{2}\\), więc:\n\n\\[C = F + \\frac{5}{2} \\cdot \\frac{1}{5}(4,3) = (3,11) + (2; 1{,}5) = \\left(5,\\ \\frac{25}{2}\\right)\\]\n\\[D = F - (2; 1{,}5) = \\left(1,\\ \\frac{19}{2}\\right)\\]\n\n### Krok 2: Wyznaczamy A jako odbicie B względem osi symetrii\n\nProsta osi symetrii w postaci ogólnej: \\(4x + 3y - 45 = 0\\) (mnożymy przez 3: \\(3y = -4x + 45\\)).\n\n**Wzór na odbicie** punktu \\((x_0, y_0)\\) względem prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\n\\[x' = x_0 - \\frac{2A(Ax_0 + By_0 + C)}{A^2+B^2}, \\qquad y' = y_0 - \\frac{2B(Ax_0 + By_0 + C)}{A^2+B^2}\\]\n\nDla \\(B = \\left(\\frac{23}{2},\\ 8\\right)\\), \\(A=4\\), \\(B=3\\), \\(C=-45\\):\n\n\\[Ax_0 + By_0 + C = 4 \\cdot \\frac{23}{2} + 3 \\cdot 8 - 45 = 46 + 24 - 45 = 25\\]\n\n\\[A^2 + B^2 = 16 + 9 = 25\\]\n\n\\[x_A = \\frac{23}{2} - \\frac{2 \\cdot 4 \\cdot 25}{25} = \\frac{23}{2} - 8 = \\frac{7}{2}\\]\n\n\\[y_A = 8 - \\frac{2 \\cdot 3 \\cdot 25}{25} = 8 - 6 = 2\\]\n\n\\[\\boxed{A = \\left(\\frac{7}{2},\\ 2\\right)}\\]\n\n### Krok 3: Długość podstawy AB\n\n\\[|AB| = \\sqrt{\\left(\\frac{23}{2} - \\frac{7}{2}\\right)^2 + (8-2)^2} = \\sqrt{8^2 + 6^2} = \\sqrt{64+36} = \\sqrt{100} = 10\\]\n\n### Krok 4: Wysokość trapezu\n\nWyznaczamy prostą zawierającą \\(CD\\) (nachylenie \\(\\frac{3}{4}\\), przez \\(C = (5, \\frac{25}{2})\\)):\n\n\\[3x - 4y + 35 = 0\\]\n\nSprawdzenie: \\(3(5) - 4(\\frac{25}{2}) + 35 = 15 - 50 + 35 = 0\\ \\checkmark\\)\n\nProsta zawierająca \\(AB\\) jest równoległa, sprawdzamy stałą dla \\(A = (\\frac{7}{2}, 2)\\):\n\n\\[3 \\cdot \\frac{7}{2} - 4 \\cdot 2 = \\frac{21}{2} - 8 = \\frac{5}{2} \\implies \\text{prosta: } 3x - 4y - \\frac{5}{2} = 0\\]\n\nOdległość między równoległymi prostymi \\(3x - 4y + 35 = 0\\) i \\(3x - 4y - \\frac{5}{2} = 0\\):\n\n\\[h = \\frac{\\left|35 - \\left(-\\frac{5}{2}\\right)\\right|}{\\sqrt{3^2+4^2}} = \\frac{35 + \\frac{5}{2}}{5} = \\frac{\\frac{75}{2}}{5} = \\frac{75}{10} = \\frac{15}{2}\\]\n\n### Krok 5: Pole trapezu\n\n\\[P = \\frac{(|CD| + |AB|) \\cdot h}{2} = \\frac{\\left(5 + 10\\right) \\cdot \\frac{15}{2}}{2} = \\frac{15 \\cdot \\frac{15}{2}}{2} = \\frac{225}{4}\\]\n\n\\[\\boxed{P = \\frac{225}{4} = 56{,}25}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ równań (warunek równoległości i środek na osi)\n\nSzukamy \\(A = (a, b)\\). Korzystamy z dwóch warunków:\n\n**Warunek 1:** \\(AB \\parallel CD\\), więc nachylenie \\(AB = \\frac{3}{4}\\):\n\n\\[\\frac{8 - b}{\\frac{23}{2} - a} = \\frac{3}{4} \\implies 4(8-b) = 3\\left(\\frac{23}{2}-a\\right) \\implies 3a - 4b = \\frac{5}{2}\\]\n\n**Warunek 2:** Środek \\(AB\\) leży na osi symetrii \\(y = -\\frac{4}{3}x + 15\\):\n\n\\[\\text{Środek} = \\left(\\frac{a + \\frac{23}{2}}{2},\\ \\frac{b+8}{2}\\right)\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\\frac{b+8}{2} = -\\frac{4}{3} \\cdot \\frac{a + \\frac{23}{2}}{2} + 15\\]\n\n\\[b + 8 = -\\frac{4}{3}\\left(a + \\frac{23}{2}\\right) + 30 \\implies 4a + 3b = 20\\]\n\n**Rozwiązujemy układ:**\n\n\\[\\begin{cases} 3a - 4b = \\dfrac{5}{2} \\\\[4pt] 4a + 3b = 20 \\end{cases}\\]\n\nMnożymy pierwsze równanie przez 3, drugie przez 4, dodajemy:\n\n\\[9a - 12b + 16a + 12b = \\frac{15}{2} + 80 \\implies 25a = \\frac{175}{2} \\implies a = \\frac{7}{2}\\]\n\n\\[b = \\frac{3 \\cdot \\frac{7}{2} - \\frac{5}{2}}{4} = \\frac{\\frac{16}{2}}{4} = \\frac{8}{4} = 2\\]\n\n\\[\\boxed{A = \\left(\\frac{7}{2},\\ 2\\right)} \\quad \\checkmark\\]\n\nPole wyznaczamy identycznie jak w Sposobie 1: \\(P = \\frac{225}{4}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\n- Długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyte do obliczenia \\(|AB| = 10\\).\n\n- Odległość punktu od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2+B^2}}\\]\nUżyte do wyznaczenia wysokości trapezu \\(h = \\frac{15}{2}\\).\n\n- Warunek prostopadłości prostych (współczynniki kierunkowe): \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) - użyte do znalezienia kierunku \\(CD\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21):**\n\n- Pole trapezu:\n\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]\ngdzie \\(a = 5\\), \\(b = 10\\), \\(h = \\frac{15}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii trapezu jest **prostopadła** do podstaw - nachylenie \\(CD\\) to \\(\\frac{3}{4}\\) (odwrotność ze zmianą znaku od \\(-\\frac{4}{3}\\)). Łatwo zapomnieć o zmianie znaku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu odległości między równoległymi prostymi \\(3x - 4y + k_1 = 0\\) i \\(3x - 4y + k_2 = 0\\) dzielimy przez \\(\\sqrt{A^2+B^2} = 5\\), a **nie** przez \\(\\sqrt{A^2-B^2}\\). To częsty błąd arytmetyczny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj, że podstawy trapezu są poziome! Tu obie podstawy mają nachylenie \\(\\frac{3}{4}\\) - trapez jest \"przekrzywiony\". Wysokość to **prostopadła odległość** między prostymi, nie różnica współrzędnych \\(y\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(A = \\left(-\\dfrac{11}{2},-4\\right)\\), Pole \\(= \\dfrac{275}{2}\\)**\n\n### Sposób 1 - Symetria osiowa i wektory\nOś symetrii trapezu równoramiennego \\(l: y=-\\tfrac{4}{3}x+15\\) przechodzi przez środki podstaw \\(AB\\) i \\(CD\\). Punkt \\(F=(3,11)\\) - środek \\(CD\\) - rzeczywiście spełnia \\(-\\tfrac{4}{3}\\cdot 3+15=11\\) ✓.\n\n**Wierzchołek \\(A\\):** symetryczny do \\(B\\) względem osi \\(l\\).\nWspółczynnik kierunkowy \\(l\\) to \\(m=-\\tfrac{4}{3}\\). Prosta prostopadła ma współczynnik \\(\\tfrac{3}{4}.\\)\nProsta przez \\(B=(\\tfrac{23}{2},8)\\) prostopadła do \\(l\\):\n\\(y - 8 = \\tfrac{3}{4}(x - \\tfrac{23}{2}) \\Rightarrow y = \\tfrac{3}{4}x - \\tfrac{69}{8} + 8 = \\tfrac{3}{4}x - \\tfrac{5}{8}.\\)\n\nPrzecięcie z \\(l\\): \\(-\\tfrac{4}{3}x + 15 = \\tfrac{3}{4}x - \\tfrac{5}{8}.\\)\nMnożymy przez 24: \\(-32x + 360 = 18x - 15 \\Rightarrow -50x = -375 \\Rightarrow x = \\tfrac{15}{2}.\\)\n\\(y = -\\tfrac{4}{3}\\cdot\\tfrac{15}{2}+15 = -10+15 = 5.\\)\nŚrodek \\(AB\\): \\(E=(\\tfrac{15}{2},5).\\)\n\nWierzchołek \\(A = 2E - B = (15-\\tfrac{23}{2}, 10-8) = (\\tfrac{7}{2}, 2).\\)\n\n**Weryfikacja w innym kierunku.** Ponieważ \\(E\\) to środek \\(AB\\), to \\(A=2E-B.\\) Otrzymaliśmy \\(A=(\\tfrac{7}{2}, 2).\\)\n\n**Długości:**\n\\(|AB| = 2|BE| = 2\\sqrt{(\\tfrac{23}{2}-\\tfrac{15}{2})^{2}+(8-5)^{2}} = 2\\sqrt{16+9} = 2\\cdot 5 = 10.\\)\n\n**Wysokość trapezu (odległość \\(E\\) do \\(F\\)):**\n\\(|EF| = \\sqrt{(3-\\tfrac{15}{2})^{2}+(11-5)^{2}} = \\sqrt{(-\\tfrac{9}{2})^{2}+36} = \\sqrt{\\tfrac{81}{4}+36} = \\sqrt{\\tfrac{225}{4}} = \\tfrac{15}{2}.\\)\n\n**Pole trapezu:** \\(P = \\tfrac{|AB|+|CD|}{2}\\cdot h = \\tfrac{10+5}{2}\\cdot\\tfrac{15}{2} = \\tfrac{15}{2}\\cdot\\tfrac{15}{2} = \\tfrac{225}{4}.\\)\n\n### Weryfikacja\n\\(A=(\\tfrac{7}{2}, 2)\\), \\(B=(\\tfrac{23}{2}, 8)\\), \\(|AB|=\\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\\sqrt{100}=10\\) ✓.\n\n**Ostateczne wyniki:** \\(A=\\left(\\dfrac{7}{2}, 2\\right)\\), pole \\(= \\dfrac{225}{4}.\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE, 0-5 pkt)\n- **1 pkt** - wyznaczenie prostej zawierającej \\(AB\\) (prostopadła do osi przez \\(B\\)) lub ustalenie środka \\(E\\) podstawy \\(AB.\\)\n- **2 pkt** - wyznaczenie \\(E = (\\tfrac{15}{2}, 5).\\)\n- **3 pkt** - wyznaczenie \\(A = (\\tfrac{7}{2}, 2).\\)\n- **4 pkt** - obliczenie długości \\(|AB|=10\\) i wysokości \\(|EF|=\\tfrac{15}{2}.\\)\n- **5 pkt** - poprawne pole \\(P = \\tfrac{225}{4}.\\)\n\n**Trik:** środek podstawy trapezu równoramiennego leży na osi symetrii; wierzchołki \\(A\\) i \\(B\\) są symetryczne względem osi.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

W trapezie równoramiennym ABCD podstawa CD ma długość 5 . Punkt F= (3, 11) jest środkiem odcinka CD . Prosta o równaniu y= -[4] x+ 15 jest osią symetrii tego trapezu 3 oraz . B= ([23] 2 , 8) Oblicz współrzędne wierzchołka A oraz pole tego trapezu.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\[A = \\left(\\frac{7}{2},\\ 2\\right), \\qquad P_{ABCD} = \\frac{225}{4} = 56{,}25\\]

\n

Sposób 1 - Odbicie punktu B względem osi symetrii

\n
Krok 1: Wyznaczamy C i D
\n

\\(F = (3, 11)\\) jest środkiem \\(CD\\), a \\(|CD| = 5\\).

\n

Oś symetrii trapezu (prostą \\(y = -\\tfrac{4}{3}x + 15\\)) musi być prostopadła do podstawy \\(CD\\). Sprawdzamy, czy \\(F\\) leży na osi:

\n

\\[y = -\\frac{4}{3} \\cdot 3 + 15 = -4 + 15 = 11 \\quad \\checkmark\\]

\n

Nachylenie osi: \\(-\\tfrac{4}{3}\\). Zatem nachylenie \\(CD\\):

\n

\\[a_{CD} = -\\frac{1}{-\\frac{4}{3}} = \\frac{3}{4}\\]

\n

Wektor jednostkowy wzdłuż \\(CD\\): kierunek \\((4, 3)\\), długość \\(\\sqrt{16+9} = 5\\), więc wektor jednostkowy \\(= \\frac{1}{5}(4,3)\\).

\n

Połówka \\(CD\\) to \\(\\frac{5}{2}\\), więc:

\n

\\[C = F + \\frac{5}{2} \\cdot \\frac{1}{5}(4,3) = (3,11) + (2; 1{,}5) = \\left(5,\\ \\frac{25}{2}\\right)\\]
\\[D = F - (2; 1{,}5) = \\left(1,\\ \\frac{19}{2}\\right)\\]

\n
Krok 2: Wyznaczamy A jako odbicie B względem osi symetrii
\n

Prosta osi symetrii w postaci ogólnej: \\(4x + 3y - 45 = 0\\) (mnożymy przez 3: \\(3y = -4x + 45\\)).

\n

Wzór na odbicie punktu \\((x_0, y_0)\\) względem prostej \\(Ax + By + C = 0\\):

\n

\\[x' = x_0 - \\frac{2A(Ax_0 + By_0 + C)}{A^2+B^2}, \\qquad y' = y_0 - \\frac{2B(Ax_0 + By_0 + C)}{A^2+B^2}\\]

\n

Dla \\(B = \\left(\\frac{23}{2},\\ 8\\right)\\), \\(A=4\\), \\(B=3\\), \\(C=-45\\):

\n

\\[Ax_0 + By_0 + C = 4 \\cdot \\frac{23}{2} + 3 \\cdot 8 - 45 = 46 + 24 - 45 = 25\\]

\n

\\[A^2 + B^2 = 16 + 9 = 25\\]

\n

\\[x_A = \\frac{23}{2} - \\frac{2 \\cdot 4 \\cdot 25}{25} = \\frac{23}{2} - 8 = \\frac{7}{2}\\]

\n

\\[y_A = 8 - \\frac{2 \\cdot 3 \\cdot 25}{25} = 8 - 6 = 2\\]

\n

\\[\\boxed{A = \\left(\\frac{7}{2},\\ 2\\right)}\\]

\n
Krok 3: Długość podstawy AB
\n

\\[|AB| = \\sqrt{\\left(\\frac{23}{2} - \\frac{7}{2}\\right)^2 + (8-2)^2} = \\sqrt{8^2 + 6^2} = \\sqrt{64+36} = \\sqrt{100} = 10\\]

\n
Krok 4: Wysokość trapezu
\n

Wyznaczamy prostą zawierającą \\(CD\\) (nachylenie \\(\\frac{3}{4}\\), przez \\(C = (5, \\frac{25}{2})\\)):

\n

\\[3x - 4y + 35 = 0\\]

\n

Sprawdzenie: \\(3(5) - 4(\\frac{25}{2}) + 35 = 15 - 50 + 35 = 0\\ \\checkmark\\)

\n

Prosta zawierająca \\(AB\\) jest równoległa, sprawdzamy stałą dla \\(A = (\\frac{7}{2}, 2)\\):

\n

\\[3 \\cdot \\frac{7}{2} - 4 \\cdot 2 = \\frac{21}{2} - 8 = \\frac{5}{2} \\implies \\text{prosta: } 3x - 4y - \\frac{5}{2} = 0\\]

\n

Odległość między równoległymi prostymi \\(3x - 4y + 35 = 0\\) i \\(3x - 4y - \\frac{5}{2} = 0\\):

\n

\\[h = \\frac{\\left|35 - \\left(-\\frac{5}{2}\\right)\\right|}{\\sqrt{3^2+4^2}} = \\frac{35 + \\frac{5}{2}}{5} = \\frac{\\frac{75}{2}}{5} = \\frac{75}{10} = \\frac{15}{2}\\]

\n
Krok 5: Pole trapezu
\n

\\[P = \\frac{(|CD| + |AB|) \\cdot h}{2} = \\frac{\\left(5 + 10\\right) \\cdot \\frac{15}{2}}{2} = \\frac{15 \\cdot \\frac{15}{2}}{2} = \\frac{225}{4}\\]

\n

\\[\\boxed{P = \\frac{225}{4} = 56{,}25}\\]

\n

Sposób 2 - Układ równań (warunek równoległości i środek na osi)

\n

Szukamy \\(A = (a, b)\\). Korzystamy z dwóch warunków:

\n

Warunek 1: \\(AB \\parallel CD\\), więc nachylenie \\(AB = \\frac{3}{4}\\):

\n

\\[\\frac{8 - b}{\\frac{23}{2} - a} = \\frac{3}{4} \\implies 4(8-b) = 3\\left(\\frac{23}{2}-a\\right) \\implies 3a - 4b = \\frac{5}{2}\\]

\n

Warunek 2: Środek \\(AB\\) leży na osi symetrii \\(y = -\\frac{4}{3}x + 15\\):

\n

\\[\\text{Środek} = \\left(\\frac{a + \\frac{23}{2}}{2},\\ \\frac{b+8}{2}\\right)\\]

\n

Podstawiamy:

\n

\\[\\frac{b+8}{2} = -\\frac{4}{3} \\cdot \\frac{a + \\frac{23}{2}}{2} + 15\\]

\n

\\[b + 8 = -\\frac{4}{3}\\left(a + \\frac{23}{2}\\right) + 30 \\implies 4a + 3b = 20\\]

\n

Rozwiązujemy układ:

\n

\\[\\begin{cases} 3a - 4b = \\dfrac{5}{2} \\\\[4pt] 4a + 3b = 20 \\end{cases}\\]

\n

Mnożymy pierwsze równanie przez 3, drugie przez 4, dodajemy:

\n

\\[9a - 12b + 16a + 12b = \\frac{15}{2} + 80 \\implies 25a = \\frac{175}{2} \\implies a = \\frac{7}{2}\\]

\n

\\[b = \\frac{3 \\cdot \\frac{7}{2} - \\frac{5}{2}}{4} = \\frac{\\frac{16}{2}}{4} = \\frac{8}{4} = 2\\]

\n

\\[\\boxed{A = \\left(\\frac{7}{2},\\ 2\\right)} \\quad \\checkmark\\]

\n

Pole wyznaczamy identycznie jak w Sposobie 1: \\(P = \\frac{225}{4}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):

\n\n

\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyte do obliczenia \\(|AB| = 10\\).

\n\n

\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2+B^2}}\\]
Użyte do wyznaczenia wysokości trapezu \\(h = \\frac{15}{2}\\).

\n\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20-21):

\n\n

\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]
gdzie \\(a = 5\\), \\(b = 10\\), \\(h = \\frac{15}{2}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Oś symetrii trapezu jest prostopadła do podstaw - nachylenie \\(CD\\) to \\(\\frac{3}{4}\\) (odwrotność ze zmianą znaku od \\(-\\frac{4}{3}\\)). Łatwo zapomnieć o zmianie znaku!
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu odległości między równoległymi prostymi \\(3x - 4y + k_1 = 0\\) i \\(3x - 4y + k_2 = 0\\) dzielimy przez \\(\\sqrt{A^2+B^2} = 5\\), a nie przez \\(\\sqrt{A^2-B^2}\\). To częsty błąd arytmetyczny.
\n
⚠️ Uwaga: Nie zakładaj, że podstawy trapezu są poziome! Tu obie podstawy mają nachylenie \\(\\frac{3}{4}\\) - trapez jest "przekrzywiony". Wysokość to prostopadła odległość między prostymi, nie różnica współrzędnych \\(y\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(A = \\left(-\\dfrac{11}{2},-4\\right)\\), Pole \\(= \\dfrac{275}{2}\\)

\n
Sposób 1 - Symetria osiowa i wektory
\n

Oś symetrii trapezu równoramiennego \\(l: y=-\\tfrac{4}{3}x+15\\) przechodzi przez środki podstaw \\(AB\\) i \\(CD\\). Punkt \\(F=(3,11)\\) - środek \\(CD\\) - rzeczywiście spełnia \\(-\\tfrac{4}{3}\\cdot 3+15=11\\) ✓.

\n

Wierzchołek \\(A\\): symetryczny do \\(B\\) względem osi \\(l\\).
Współczynnik kierunkowy \\(l\\) to \\(m=-\\tfrac{4}{3}\\). Prosta prostopadła ma współczynnik \\(\\tfrac{3}{4}.\\)
Prosta przez \\(B=(\\tfrac{23}{2},8)\\) prostopadła do \\(l\\):
\\(y - 8 = \\tfrac{3}{4}(x - \\tfrac{23}{2}) \\Rightarrow y = \\tfrac{3}{4}x - \\tfrac{69}{8} + 8 = \\tfrac{3}{4}x - \\tfrac{5}{8}.\\)

\n

Przecięcie z \\(l\\): \\(-\\tfrac{4}{3}x + 15 = \\tfrac{3}{4}x - \\tfrac{5}{8}.\\)
Mnożymy przez 24: \\(-32x + 360 = 18x - 15 \\Rightarrow -50x = -375 \\Rightarrow x = \\tfrac{15}{2}.\\)
\\(y = -\\tfrac{4}{3}\\cdot\\tfrac{15}{2}+15 = -10+15 = 5.\\)
Środek \\(AB\\): \\(E=(\\tfrac{15}{2},5).\\)

\n

Wierzchołek \\(A = 2E - B = (15-\\tfrac{23}{2}, 10-8) = (\\tfrac{7}{2}, 2).\\)

\n

Weryfikacja w innym kierunku. Ponieważ \\(E\\) to środek \\(AB\\), to \\(A=2E-B.\\) Otrzymaliśmy \\(A=(\\tfrac{7}{2}, 2).\\)

\n

Długości:
\\(|AB| = 2|BE| = 2\\sqrt{(\\tfrac{23}{2}-\\tfrac{15}{2})^{2}+(8-5)^{2}} = 2\\sqrt{16+9} = 2\\cdot 5 = 10.\\)

\n

Wysokość trapezu (odległość \\(E\\) do \\(F\\)):
\\(|EF| = \\sqrt{(3-\\tfrac{15}{2})^{2}+(11-5)^{2}} = \\sqrt{(-\\tfrac{9}{2})^{2}+36} = \\sqrt{\\tfrac{81}{4}+36} = \\sqrt{\\tfrac{225}{4}} = \\tfrac{15}{2}.\\)

\n

Pole trapezu: \\(P = \\tfrac{|AB|+|CD|}{2}\\cdot h = \\tfrac{10+5}{2}\\cdot\\tfrac{15}{2} = \\tfrac{15}{2}\\cdot\\tfrac{15}{2} = \\tfrac{225}{4}.\\)

\n
Weryfikacja
\n

\\(A=(\\tfrac{7}{2}, 2)\\), \\(B=(\\tfrac{23}{2}, 8)\\), \\(|AB|=\\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\\sqrt{100}=10\\) ✓.

\n

Ostateczne wyniki: \\(A=\\left(\\dfrac{7}{2}, 2\\right)\\), pole \\(= \\dfrac{225}{4}.\\)

\n
Uwagi o punktacji (CKE, 0-5 pkt)
\n\n

Trik: środek podstawy trapezu równoramiennego leży na osi symetrii; wierzchołki \\(A\\) i \\(B\\) są symetryczne względem osi.

"}]}