{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nKlient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie\noszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału\nznajdującego się na lokacie.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPo dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez\nuwzględniania podatków) jest równa\nA. 2100 zł\nB. 2247 zł\nC. 4200 zł\nD. 4347 zł\nKlient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa A. 2100 zł B. 2247 zł C. 4200 zł D. 4347 zł","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.8) wykorzystuje własności potęgowania\ni pierwiastkowania w sytuacjach\npraktycznych, w tym do obliczania\nprocentów składanych z kapitalizacją\nroczną i zysków z lokat.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\((-1)\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana na potęgi dwójki\n\nKażdy składnik zamieniamy oddzielnie, rozpoznając potęgi liczby \\(2\\).\n\n**Krok 1.** Oblicz \\(\\log_2 \\dfrac{1}{8}\\):\n\n\\[\\frac{1}{8} = \\frac{1}{2^3} = 2^{-3}\\]\n\n\\[\\log_2 2^{-3} = -3\\]\n\n**Krok 2.** Oblicz \\(\\log_2 4\\):\n\n\\[4 = 2^2\\]\n\n\\[\\log_2 2^2 = 2\\]\n\n**Krok 3.** Zsumuj oba wyniki:\n\n\\[\\log_2 \\frac{1}{8} + \\log_2 4 = -3 + 2 = \\mathbf{-1}\\]\n\n## Sposób 2 - Własność logarytmu iloczynu\n\nKorzystamy ze wzoru \\(\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\), by najpierw połączyć oba logarytmy w jeden.\n\n**Krok 1.** Zastosuj własność sumy logarytmów:\n\n\\[\\log_2 \\frac{1}{8} + \\log_2 4 = \\log_2\\!\\left(\\frac{1}{8} \\cdot 4\\right)\\]\n\n**Krok 2.** Oblicz argument:\n\n\\[\\frac{1}{8} \\cdot 4 = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 3.** Oblicz logarytm:\n\n\\[\\log_2 \\frac{1}{2} = \\log_2 2^{-1} = \\mathbf{-1}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - to dobry znak!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nDefinicja: \\(\\log_a b = c \\iff a^c = b\\)\n\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 do obliczenia \\(\\log_2 2^{-3} = -3\\) i \\(\\log_2 2^2 = 2\\).\n\nWłasność sumy logarytmów: \\(\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\)\n\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do połączenia dwóch logarytmów w jeden.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\n\nUżyliśmy przy zamianie \\(\\dfrac{1}{8} = 2^{-3}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Uczeń liczy \\(\\log_2(1/8) = \\frac{1}{8}\\) lub miesza logarytm z argumentem |\n| C. \\(2\\) | Uczeń wyciąga tylko \\(\\log_2 4 = 2\\) i ignoruje \\(\\log_2 \\frac{1}{8}\\), albo błędnie zakłada, że \\(\\log_2 \\frac{1}{8} = 0\\) |\n| D. \\(5\\) | Uczeń dodaje argumenty: \\(\\frac{1}{8} + 4\\) lub myli sumę logarytmów z logarytmem sumy i liczy \\(\\log_2(8+4)\\) - klasyczny błąd! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_2 \\frac{1}{8} \\neq \\frac{1}{8}\\) - logarytm to **wykładnik**, nie argument! Pytasz: \"2 do jakiej potęgi daje \\(\\frac{1}{8}\\)?\" Odpowiedź: \\(-3\\), bo \\(2^{-3} = \\frac{1}{8}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm z ułamka mniejszego niż 1 (przy podstawie \\(> 1\\)) jest **zawsze ujemny**. To naturalny wynik, nie błąd obliczeniowy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić własności: \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\), ale **NIE** \\(\\log_a(x + y)\\). To jeden z najczęstszych błędów na maturze!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Osobne logarytmy\n\\(\\log_{2}\\dfrac{1}{8} = \\log_{2} 2^{-3} = -3\\), \\(\\log_{2} 4 = \\log_{2} 2^{2} = 2\\).\nSuma: \\(-3 + 2 = -1.\\)\n\n### Sposób 2 - Suma logarytmów\n\\(\\log_{2}\\dfrac{1}{8} + \\log_{2} 4 = \\log_{2}\\left(\\dfrac{1}{8}\\cdot 4\\right) = \\log_{2}\\dfrac{1}{2} = -1.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - błąd: ktoś obliczył \\(\\tfrac{1}{8}\\cdot 4 = \\tfrac{1}{2}\\) i zapomniał o logarytmie.\n- **C. 2** - \\(\\log_{2} 4 = 2\\) bez uwzględnienia pierwszego składnika.\n- **D. 5** - suma \\(|-3|+2\\) (ignoruje znak).\n\n**Trik:** \\(\\log_{2}\\tfrac{1}{8} = -\\log_{2} 8 = -3\\); ujemne potęgi w argumencie dają ujemne logarytmy.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Procenty, ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Klient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie
oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału
znajdującego się na lokacie.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez
uwzględniania podatków) jest równa
A. 2100 zł
B. 2247 zł
C. 4200 zł
D. 4347 zł
Klient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa A. 2100 zł B. 2247 zł C. 4200 zł D. 4347 zł

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
I.8) wykorzystuje własności potęgowania
i pierwiastkowania w sytuacjach
praktycznych, w tym do obliczania
procentów składanych z kapitalizacją
roczną i zysków z lokat.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\((-1)\\)

\n

Sposób 1 - Zamiana na potęgi dwójki

\n

Każdy składnik zamieniamy oddzielnie, rozpoznając potęgi liczby \\(2\\).

\n

Krok 1. Oblicz \\(\\log_2 \\dfrac{1}{8}\\):

\n

\\[\\frac{1}{8} = \\frac{1}{2^3} = 2^{-3}\\]

\n

\\[\\log_2 2^{-3} = -3\\]

\n

Krok 2. Oblicz \\(\\log_2 4\\):

\n

\\[4 = 2^2\\]

\n

\\[\\log_2 2^2 = 2\\]

\n

Krok 3. Zsumuj oba wyniki:

\n

\\[\\log_2 \\frac{1}{8} + \\log_2 4 = -3 + 2 = \\mathbf{-1}\\]

\n

Sposób 2 - Własność logarytmu iloczynu

\n

Korzystamy ze wzoru \\(\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\), by najpierw połączyć oba logarytmy w jeden.

\n

Krok 1. Zastosuj własność sumy logarytmów:

\n

\\[\\log_2 \\frac{1}{8} + \\log_2 4 = \\log_2\\!\\left(\\frac{1}{8} \\cdot 4\\right)\\]

\n

Krok 2. Oblicz argument:

\n

\\[\\frac{1}{8} \\cdot 4 = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Krok 3. Oblicz logarytm:

\n

\\[\\log_2 \\frac{1}{2} = \\log_2 2^{-1} = \\mathbf{-1}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - to dobry znak!

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)

\n

Definicja: \\(\\log_a b = c \\iff a^c = b\\)

\n

Użyliśmy jej w Sposobie 1 do obliczenia \\(\\log_2 2^{-3} = -3\\) i \\(\\log_2 2^2 = 2\\).

\n

Własność sumy logarytmów: \\(\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\)

\n

Użyliśmy jej w Sposobie 2 do połączenia dwóch logarytmów w jeden.

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)

\n

\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]

\n

Użyliśmy przy zamianie \\(\\dfrac{1}{8} = 2^{-3}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B. \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Uczeń liczy \\(\\log_2(1/8) = \\frac{1}{8}\\) lub miesza logarytm z argumentem |
| C. \\(2\\) | Uczeń wyciąga tylko \\(\\log_2 4 = 2\\) i ignoruje \\(\\log_2 \\frac{1}{8}\\), albo błędnie zakłada, że \\(\\log_2 \\frac{1}{8} = 0\\) |
| D. \\(5\\) | Uczeń dodaje argumenty: \\(\\frac{1}{8} + 4\\) lub myli sumę logarytmów z logarytmem sumy i liczy \\(\\log_2(8+4)\\) - klasyczny błąd! |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\log_2 \\frac{1}{8} \\neq \\frac{1}{8}\\) - logarytm to wykładnik, nie argument! Pytasz: "2 do jakiej potęgi daje \\(\\frac{1}{8}\\)?" Odpowiedź: \\(-3\\), bo \\(2^{-3} = \\frac{1}{8}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Logarytm z ułamka mniejszego niż 1 (przy podstawie \\(> 1\\)) jest zawsze ujemny. To naturalny wynik, nie błąd obliczeniowy!
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić własności: \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\), ale NIE \\(\\log_a(x + y)\\). To jeden z najczęstszych błędów na maturze!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Osobne logarytmy
\n

\\(\\log_{2}\\dfrac{1}{8} = \\log_{2} 2^{-3} = -3\\), \\(\\log_{2} 4 = \\log_{2} 2^{2} = 2\\).
Suma: \\(-3 + 2 = -1.\\)

\n
Sposób 2 - Suma logarytmów
\n

\\(\\log_{2}\\dfrac{1}{8} + \\log_{2} 4 = \\log_{2}\\left(\\dfrac{1}{8}\\cdot 4\\right) = \\log_{2}\\dfrac{1}{2} = -1.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(\\log_{2}\\tfrac{1}{8} = -\\log_{2} 8 = -3\\); ujemne potęgi w argumencie dają ujemne logarytmy.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, całkowity zysk z odsetek po dwóch latach wynosi $4347\\;\\text{[zł]}$, co jest sumą odsetek po pierwszym roku w wysokości $2100\\;\\text{[zł]}$ (obliczonych jako $0,07\\cdot 30\\;000$) oraz odsetek po drugim roku w wysokości $2247\\;\\text{[zł]}$ (obliczonych jako $0,07\\cdot 32\\;100=2247\\;\\text{[zł]}$).

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

30000·1 , 07^2=34347.

\n

Odsetki wynoszą

\n

34347-30000=4347 zł.

"}]}