{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log2 1\n8 + log2 4 jest równa\nA. (-1)\nB. 1\n2\nC. 2\nD. 5\n\nMMAP-P0_100\nLiczba log_2 1/8 + log_2 4 jest równa A. (-1) B. 1/2 C. 2 D. 5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(4\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na różnicę kwadratów\n\nZauważamy, że mamy wyrażenie postaci \\(A^2 - B^2\\), gdzie \\(A = 1 + \\sqrt{5}\\) i \\(B = 1 - \\sqrt{5}\\).\n\nStosujemy wzór skróconego mnożenia:\n\\[A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\\]\n\nObliczamy \\(A - B\\) i \\(A + B\\):\n\\[A - B = (1 + \\sqrt{5}) - (1 - \\sqrt{5}) = 1 + \\sqrt{5} - 1 + \\sqrt{5} = 2\\sqrt{5}\\]\n\\[A + B = (1 + \\sqrt{5}) + (1 - \\sqrt{5}) = 1 + \\sqrt{5} + 1 - \\sqrt{5} = 2\\]\n\nZatem:\n\\[(1+\\sqrt{5})^2 - (1-\\sqrt{5})^2 = 2\\sqrt{5} \\cdot 2 = \\mathbf{4\\sqrt{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - rozwinięcie każdego kwadratu osobno\n\nRozwijamy oba kwadraty używając wzoru \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\) oraz \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\):\n\n\\[(1+\\sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \\cdot 1 \\cdot \\sqrt{5} + (\\sqrt{5})^2 = 1 + 2\\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\\sqrt{5}\\]\n\n\\[(1-\\sqrt{5})^2 = 1^2 - 2 \\cdot 1 \\cdot \\sqrt{5} + (\\sqrt{5})^2 = 1 - 2\\sqrt{5} + 5 = 6 - 2\\sqrt{5}\\]\n\nOdejmujemy:\n\\[(6 + 2\\sqrt{5}) - (6 - 2\\sqrt{5}) = 6 + 2\\sqrt{5} - 6 + 2\\sqrt{5} = \\mathbf{4\\sqrt{5}}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - potwierdzenie poprawności.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\nW Sposobie 1:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nPozwoliło to błyskawicznie rozłożyć wyrażenie bez żmudnego rozwijania obu nawiasów.\n\nW Sposobie 2:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \\quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nStandardowe rozwinięcie kwadratów dwumianu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(0\\)) | Uczeń myśli: „wyrazy wyglądają symetrycznie, więc się zniosą\" - ale zniosłoby się \\(A^2 - A^2\\), a tu \\(B = 1-\\sqrt{5} \\neq A\\) |\n| B (\\(-10\\)) | Błędne obliczenie \\((\\sqrt{5})^2 = 25\\) zamiast \\(5\\), lub pomylenie znaku przy odejmowaniu nawiasów |\n| D (\\(2 + 2\\sqrt{5}\\)) | Uczeń liczy tylko jeden nawias \\((1+\\sqrt{5})^2 = 6+2\\sqrt{5}\\) i „upraszcza\" \\(6 \\approx 4\\) lub zapomina odjąć drugi wyraz |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu nawiasów \\((6 + 2\\sqrt{5}) - (6 - 2\\sqrt{5})\\) pamiętaj zmienić znak przy \\(-2\\sqrt{5}\\) na \\(+2\\sqrt{5}\\). Brak tej zmiany to najpopularniejszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\), nie \\(25\\). Pierwiastek i potęga się znoszą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli widzisz \\(A^2 - B^2\\), zawsze rozważ wzór na różnicę kwadratów - Sposób 1 jest tu ponad dwa razy szybszy niż ręczne rozwijanie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)\\)\nNiech \\(A=1+\\sqrt{5}\\), \\(B=1-\\sqrt{5}\\). Wtedy \\(A-B=2\\sqrt{5}\\), \\(A+B=2\\).\n\\(A^{2}-B^{2}=2\\sqrt{5}\\cdot 2 = 4\\sqrt{5}.\\)\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie kwadratów\n\\((1+\\sqrt{5})^{2} = 1+2\\sqrt{5}+5 = 6+2\\sqrt{5}\\).\n\\((1-\\sqrt{5})^{2} = 1-2\\sqrt{5}+5 = 6-2\\sqrt{5}\\).\nRóżnica: \\((6+2\\sqrt{5})-(6-2\\sqrt{5}) = 4\\sqrt{5}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 0** - założono błędnie, że kwadraty są równe.\n- **B. \\(-10\\)** - błąd znaku przy \\(2\\sqrt{5}\\cdot 2\\sqrt{5}\\).\n- **D. \\(2+2\\sqrt{5}\\)** - zapomniano o podwojeniu środkowych wyrazów.\n\n**Trik:** \\((a+b)^{2}-(a-b)^{2} = 4ab\\); tu \\(4\\cdot 1\\cdot\\sqrt{5} = 4\\sqrt{5}\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Logarytmy","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba log2 1
8 + log2 4 jest równa
A. (-1)
B. 1
2
C. 2
D. 5

\n

MMAP-P0_100
Liczba log_2 1/8 + log_2 4 jest równa A. (-1) B. 1/2 C. 2 D. 5

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
I.9) stosuje związek logarytmowania
z potęgowaniem, posługuje się wzorami na
logarytm iloczynu, logarytm ilorazu
i logarytm potęgi.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
A
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(4\\sqrt{5}\\)

\n

Sposób 1 - wzór na różnicę kwadratów

\n

Zauważamy, że mamy wyrażenie postaci \\(A^2 - B^2\\), gdzie \\(A = 1 + \\sqrt{5}\\) i \\(B = 1 - \\sqrt{5}\\).

\n

Stosujemy wzór skróconego mnożenia:
\\[A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\\]

\n

Obliczamy \\(A - B\\) i \\(A + B\\):
\\[A - B = (1 + \\sqrt{5}) - (1 - \\sqrt{5}) = 1 + \\sqrt{5} - 1 + \\sqrt{5} = 2\\sqrt{5}\\]
\\[A + B = (1 + \\sqrt{5}) + (1 - \\sqrt{5}) = 1 + \\sqrt{5} + 1 - \\sqrt{5} = 2\\]

\n

Zatem:
\\[(1+\\sqrt{5})^2 - (1-\\sqrt{5})^2 = 2\\sqrt{5} \\cdot 2 = \\mathbf{4\\sqrt{5}}\\]

\n

Sposób 2 - rozwinięcie każdego kwadratu osobno

\n

Rozwijamy oba kwadraty używając wzoru \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\) oraz \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\):

\n

\\[(1+\\sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \\cdot 1 \\cdot \\sqrt{5} + (\\sqrt{5})^2 = 1 + 2\\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\\sqrt{5}\\]

\n

\\[(1-\\sqrt{5})^2 = 1^2 - 2 \\cdot 1 \\cdot \\sqrt{5} + (\\sqrt{5})^2 = 1 - 2\\sqrt{5} + 5 = 6 - 2\\sqrt{5}\\]

\n

Odejmujemy:
\\[(6 + 2\\sqrt{5}) - (6 - 2\\sqrt{5}) = 6 + 2\\sqrt{5} - 6 + 2\\sqrt{5} = \\mathbf{4\\sqrt{5}}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - potwierdzenie poprawności.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)

\n

W Sposobie 1:
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Pozwoliło to błyskawicznie rozłożyć wyrażenie bez żmudnego rozwijania obu nawiasów.

\n

W Sposobie 2:
\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \\quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Standardowe rozwinięcie kwadratów dwumianu.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A (\\(0\\)) | Uczeń myśli: „wyrazy wyglądają symetrycznie, więc się zniosą" - ale zniosłoby się \\(A^2 - A^2\\), a tu \\(B = 1-\\sqrt{5} \\neq A\\) |
| B (\\(-10\\)) | Błędne obliczenie \\((\\sqrt{5})^2 = 25\\) zamiast \\(5\\), lub pomylenie znaku przy odejmowaniu nawiasów |
| D (\\(2 + 2\\sqrt{5}\\)) | Uczeń liczy tylko jeden nawias \\((1+\\sqrt{5})^2 = 6+2\\sqrt{5}\\) i „upraszcza" \\(6 \\approx 4\\) lub zapomina odjąć drugi wyraz |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Przy odejmowaniu nawiasów \\((6 + 2\\sqrt{5}) - (6 - 2\\sqrt{5})\\) pamiętaj zmienić znak przy \\(-2\\sqrt{5}\\) na \\(+2\\sqrt{5}\\). Brak tej zmiany to najpopularniejszy błąd!
\n
⚠️ Uwaga: \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\), nie \\(25\\). Pierwiastek i potęga się znoszą.
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli widzisz \\(A^2 - B^2\\), zawsze rozważ wzór na różnicę kwadratów - Sposób 1 jest tu ponad dwa razy szybszy niż ręczne rozwijanie.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wzór \\(A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)\\)
\n

Niech \\(A=1+\\sqrt{5}\\), \\(B=1-\\sqrt{5}\\). Wtedy \\(A-B=2\\sqrt{5}\\), \\(A+B=2\\).
\\(A^{2}-B^{2}=2\\sqrt{5}\\cdot 2 = 4\\sqrt{5}.\\)

\n
Sposób 2 - Rozwinięcie kwadratów
\n

\\((1+\\sqrt{5})^{2} = 1+2\\sqrt{5}+5 = 6+2\\sqrt{5}\\).
\\((1-\\sqrt{5})^{2} = 1-2\\sqrt{5}+5 = 6-2\\sqrt{5}\\).
Różnica: \\((6+2\\sqrt{5})-(6-2\\sqrt{5}) = 4\\sqrt{5}.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\((a+b)^{2}-(a-b)^{2} = 4ab\\); tu \\(4\\cdot 1\\cdot\\sqrt{5} = 4\\sqrt{5}\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zacznijmy od zapisu naszego wyrażenia: $$\\text{S} = \\text{log}_2 \\frac{1}{8} + \\text{log}_2 4$$
\n
  1. Możemy zastosować własność logarytmów, która mówi, że $$\\text{log}_b(a) + \\text{log}_b(c) = \\text{log}_b(a \\cdot c)$$. W naszym przypadku: $$\\text{S} = \\text{log}_2 \\left( \\frac{1}{8} \\cdot 4 \\right)$$
\n
  1. Obliczamy teraz iloczyn wewnątrz logarytmu: $$\\frac{1}{8} \\cdot 4 = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}$$. Zatem nasze wyrażenie staje się: $$\\text{S} = \\text{log}_2 \\frac{1}{2}$$
\n
  1. Zgodnie z definicją logarytmu, $\\text{log}_2 \\frac{1}{2}$ to liczba, do której potęgi musimy podnieść 2, aby otrzymać $\\frac{1}{2}$. Możemy to zapisać jako: $$\\text{log}_2 \\frac{1}{2} = \\text{log}_2 2^{-1}$$
\n
  1. Używając kolejnej własności logarytmów: $$\\text{log}_b(a^n) = n \\cdot \\text{log}_b(a)$$, otrzymujemy: $$\\text{log}_2 2^{-1} = -1 \\cdot \\text{log}_2 2$$
\n
  1. Wiemy, że $$\\text{log}_2 2 = 1$$, więc mamy: $$\\text{S} = -1 \\cdot 1 = -1$$
\n
  1. Ostatecznie, liczba $$\\log_2 \\frac{1}{8} + \\log_2 4$$ jest równa $-1$.
\n

Odpowiedź: (-1)

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

log_2(1)/(8)+log_2 4
=log_2(1)/(2)=-1.

"}]}