{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba (1 + √5)\n2 -(1 -√5)\n2 jest równa\nA. 0\nB. (-10)\nC. 4√5\nD. 2 + 2√5\nLiczba (1+√5)²-(1-√5)² jest równa A. 0 B. (-10) C. 4√5 D. 2+2√5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - liczba \\(-23\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza znaków na osi liczbowej (metoda tabelki)\n\n**Pierwiastki wyrażenia** to miejsca, gdzie czynniki zerują się:\n\\[x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3, \\quad x - 2 = 0 \\Rightarrow x = 2, \\quad x + 20 = 0 \\Rightarrow x = -20\\]\n\nZaznaczamy je na osi w kolejności rosnącej: \\(-20, \\; 2, \\; 3\\). Dzielą one prostą na **4 przedziały**.\n\nAnalizujemy znak każdego czynnika i ich iloczynu:\n\n| Przedział | \\(x+20\\) | \\(x-2\\) | \\(x-3\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -20\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(-20 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✗ |\n| \\(2 < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✗ |\n\nZbiór rozwiązań nierówności:\n\\[\\boxed{x \\in (-\\infty, -20) \\cup (2, 3)}\\]\n\n**Sprawdzamy odpowiedzi:**\n- \\(-23 < -20\\), więc \\(-23\\) należy do \\((-\\infty, -20)\\) ✓\n\n**Odpowiedź B jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie (weryfikacja)\n\nSprawdzamy każdą z odpowiedzi przez podstawienie:\n\n**B. \\(x = -23\\):**\n\\[(-23-3)(-23-2)(-23+20) = (-26)(-25)(-3) = -1950 < 0 \\checkmark\\]\n\nDla pewności sprawdźmy też A i D:\n\n**A. \\(x = -20\\):**\n\\[(-20-3)(-20-2)(-20+20) = (-23)(-22)(0) = 0 \\not< 0 \\times\\]\n\n**D. \\(x = 23\\):**\n\\[(23-3)(23-2)(23+20) = (20)(21)(43) = 18060 > 0 \\times\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość analizy znaków iloczynu wielomianu w oparciu o jego miejsca zerowe (pojęcie z zakresu podstawowego funkcji).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(-20\\)) | \\(x = -20\\) to **pierwiastek** wyrażenia, więc iloczyn równa się \\(0\\), a nie jest ujemny. Nierówność jest **ostra** (\\(< 0\\)), więc \\(-20\\) **nie należy** do zbioru rozwiązań. |\n| C (\\(20\\)) | \\(20 > 3\\), więc leży w przedziale \\(x > 3\\), gdzie wszystkie trzy czynniki są dodatnie - iloczyn jest **dodatni**. |\n| D (\\(23\\)) | Identyczny błąd jak C - \\(23 > 3\\), iloczyn \\((20)(21)(43) > 0\\). Być może uczeń mylnie sprawdza tylko jeden czynnik lub nie wyznacza zbioru rozwiązań. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastki wyrażenia (tu: \\(-20, 2, 3\\)) **nie należą** do zbioru rozwiązań nierówności ostrej (\\(<0\\)). Odpowiedź A (\\(-20\\)) jest właśnie taką pułapką.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy trzech czynnikach łatwo się pomylić co do liczby minusów w danym przedziale. Rób **tabelkę znaków** czynnik po czynniku - to niezawodna metoda bez ryzyka błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić jednego czynnika - liczy się **znak całego iloczynu**. Liczba \\(-23\\) daje trzy czynniki ujemne (\\(-\\cdot-\\cdot- = -\\)), co spełnia nierówność.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Metoda znaków\nMiejsca zerowe: \\(x=-20,\\ 2,\\ 3\\). Trójmiany nieparzystego stopnia zmieniają znak w każdym miejscu zerowym. Dla \\(x\\to+\\infty\\) wyrażenie \\(\\to +\\infty\\), więc znaki (od prawej): \\(+,-,+,-\\) na przedziałach \\((3,\\infty),(2,3),(-20,2),(-\\infty,-20)\\).\nZbiór rozwiązań \\((-\\infty,-20)\\cup (2,3)\\).\n\n### Sposób 2 - Podstawianie\n- \\(x=-23\\): \\((-26)(-25)(-3) = -1950 < 0\\) ✓.\n- \\(x=-20\\): \\(0\\), nie spełnia \\(< 0\\).\n- \\(x=20\\): \\(17\\cdot 18\\cdot 40 > 0\\), nie.\n- \\(x=23\\): dodatnie, nie.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-20\\)** - miejsce zerowe, wyrażenie \\(=0\\), nierówność jest ostra.\n- **C, D. 20, 23** - oba \\(>3\\), wyrażenie dodatnie.\n\n**Trik:** dla wielomianu stopnia nieparzystego w nieskończoności znak zgadza się ze znakiem najwyższego wyrazu.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Wzory skróconego mnożenia, algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba (1 + √5)<br>2 -(1 -√5)<br>2 jest równa<br>A. 0<br>B. (-10)<br>C. 4√5<br>D. 2 + 2√5<br>Liczba (1+√5)²-(1-√5)² jest równa A. 0 B. (-10) C. 4√5 D. 2+2√5</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia<br>na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - liczba \\(-23\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza znaków na osi liczbowej (metoda tabelki)</h4>\n<p><strong>Pierwiastki wyrażenia</strong> to miejsca, gdzie czynniki zerują się:<br>\\[x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3, \\quad x - 2 = 0 \\Rightarrow x = 2, \\quad x + 20 = 0 \\Rightarrow x = -20\\]</p>\n<p>Zaznaczamy je na osi w kolejności rosnącej: \\(-20, \\; 2, \\; 3\\). Dzielą one prostą na <strong>4 przedziały</strong>.</p>\n<p>Analizujemy znak każdego czynnika i ich iloczynu:</p>\n<p>| Przedział | \\(x+20\\) | \\(x-2\\) | \\(x-3\\) | Iloczyn |<br>| \\(x &lt; -20\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |<br>| \\(-20 &lt; x &lt; 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✗ |<br>| \\(2 &lt; x &lt; 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |<br>| \\(x &gt; 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✗ |</p>\n<p>Zbiór rozwiązań nierówności:<br>\\[\\boxed{x \\in (-\\infty, -20) \\cup (2, 3)}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzamy odpowiedzi:</strong></p>\n<ul><li>\\(-23 &lt; -20\\), więc \\(-23\\) należy do \\((-\\infty, -20)\\) ✓</li></ul>\n<p><strong>Odpowiedź B jest poprawna.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie (weryfikacja)</h4>\n<p>Sprawdzamy każdą z odpowiedzi przez podstawienie:</p>\n<p><strong>B. \\(x = -23\\):</strong><br>\\[(-23-3)(-23-2)(-23+20) = (-26)(-25)(-3) = -1950 &lt; 0 \\checkmark\\]</p>\n<p>Dla pewności sprawdźmy też A i D:</p>\n<p><strong>A. \\(x = -20\\):</strong><br>\\[(-20-3)(-20-2)(-20+20) = (-23)(-22)(0) = 0 \\not&lt; 0 \\times\\]</p>\n<p><strong>D. \\(x = 23\\):</strong><br>\\[(23-3)(23-2)(23+20) = (20)(21)(43) = 18060 &gt; 0 \\times\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość analizy znaków iloczynu wielomianu w oparciu o jego miejsca zerowe (pojęcie z zakresu podstawowego funkcji).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A (\\(-20\\)) | \\(x = -20\\) to <strong>pierwiastek</strong> wyrażenia, więc iloczyn równa się \\(0\\), a nie jest ujemny. Nierówność jest <strong>ostra</strong> (\\(&lt; 0\\)), więc \\(-20\\) <strong>nie należy</strong> do zbioru rozwiązań. |<br>| C (\\(20\\)) | \\(20 &gt; 3\\), więc leży w przedziale \\(x &gt; 3\\), gdzie wszystkie trzy czynniki są dodatnie - iloczyn jest <strong>dodatni</strong>. |<br>| D (\\(23\\)) | Identyczny błąd jak C - \\(23 &gt; 3\\), iloczyn \\((20)(21)(43) &gt; 0\\). Być może uczeń mylnie sprawdza tylko jeden czynnik lub nie wyznacza zbioru rozwiązań. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pierwiastki wyrażenia (tu: \\(-20, 2, 3\\)) <strong>nie należą</strong> do zbioru rozwiązań nierówności ostrej (\\(&lt;0\\)). Odpowiedź A (\\(-20\\)) jest właśnie taką pułapką.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy trzech czynnikach łatwo się pomylić co do liczby minusów w danym przedziale. Rób <strong>tabelkę znaków</strong> czynnik po czynniku - to niezawodna metoda bez ryzyka błędu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wystarczy sprawdzić jednego czynnika - liczy się <strong>znak całego iloczynu</strong>. Liczba \\(-23\\) daje trzy czynniki ujemne (\\(-\\cdot-\\cdot- = -\\)), co spełnia nierówność.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Metoda znaków</h5>\n<p>Miejsca zerowe: \\(x=-20,\\ 2,\\ 3\\). Trójmiany nieparzystego stopnia zmieniają znak w każdym miejscu zerowym. Dla \\(x\\to+\\infty\\) wyrażenie \\(\\to +\\infty\\), więc znaki (od prawej): \\(+,-,+,-\\) na przedziałach \\((3,\\infty),(2,3),(-20,2),(-\\infty,-20)\\).<br>Zbiór rozwiązań \\((-\\infty,-20)\\cup (2,3)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Podstawianie</h5>\n<ul><li>\\(x=-23\\): \\((-26)(-25)(-3) = -1950 &lt; 0\\) ✓.</li><li>\\(x=-20\\): \\(0\\), nie spełnia \\(&lt; 0\\).</li><li>\\(x=20\\): \\(17\\cdot 18\\cdot 40 &gt; 0\\), nie.</li><li>\\(x=23\\): dodatnie, nie.</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-20\\)</strong> - miejsce zerowe, wyrażenie \\(=0\\), nierówność jest ostra.</li><li><strong>C, D. 20, 23</strong> - oba \\(&gt;3\\), wyrażenie dodatnie.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dla wielomianu stopnia nieparzystego w nieskończoności znak zgadza się ze znakiem najwyższego wyrazu.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy oraz kwadrat różnicy, mamy $(1+\\sqrt{5})^2-(1-\\sqrt{5})^2=1+2\\sqrt{5}+5-(1-2\\sqrt{5}+5)=4\\sqrt5$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Najpierw rozpisujemy oba wzory skróconego mnożenia:</p>\n<p>(1+√(5))^2=1^2+2·1·√(5)+(√(5))^2.</p>\n<p>Ponieważ (√(5))^2=5 , otrzymujemy</p>\n<p>(1+√(5))^2=1+2√(5)+5=6+2√(5).</p>\n<p>Podobnie</p>\n<p>(1-√(5))^2=1^2-2·1·√(5)+(√(5))^2,</p>\n<p>czyli</p>\n<p>(1-√(5))^2=1-2√(5)+5=6-2√(5).</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>(1+√(5))^2-(1-√(5))^2<br>=(6+2√(5))-(6-2√(5)).</p>\n<p>Usuwamy nawias:</p>\n<p>6+2√(5)-6+2√(5)=4√(5).</p>\n<p>Poprawna jest odpowiedź C.</p>"}]}