{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od 0 i 2 wyrażenie 𝑥2+𝑥\n(𝑥-2)2 ⋅𝑥-2\n𝑥 jest równe\nA. 𝑥2+1\n𝑥-2\nB. 𝑥+1\n2\nC.\n𝑥2\n(𝑥-2)2\nD. 𝑥+1\n𝑥-2\n\nMMAP-P0_100\nDla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 0 i 2 wyrażenie x^2+x/(x-2)^2 ⋅ x-2/x jest równe A. x^2+1/x-2 B. x+1/2 C. x^2/(x-2)^2 D. x+1/x-2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n[…] stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nII.5) mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\((-5,-1)\\cup (1,5)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt dziedziny z wykresu\n\n**Dziedzina funkcji** to zbiór wszystkich argumentów \\(x\\), dla których funkcja jest zdefiniowana - czyli wszystkich wartości na osi \\(OX\\), dla których na wykresie istnieje odpowiadający punkt.\n\n**Co robimy:** patrzymy na wykres i szukamy, dla jakich \\(x\\) wykres \"istnieje\" (jest narysowany).\n\n**Krok 1:** Obserwujemy, że wykres składa się z **dwóch oddzielnych części** (gałęzi) - to od razu eliminuje odpowiedzi B i D, które są jednym spójnym przedziałem.\n\n**Krok 2:** Wyznaczamy zakres każdej gałęzi na osi \\(OX\\):\n- Lewa gałąź: od \\(x = -5\\) do \\(x = -1\\)\n- Prawa gałąź: od \\(x = 1\\) do \\(x = 5\\)\n\n**Krok 3:** Sprawdzamy, czy punkty końcowe są **zawarte** czy **wyłączone**. Na rysunku końce gałęzi zaznaczone są **pustymi kółkami** (punkty otwarte), co oznacza, że punkty \\(-5, -1, 1, 5\\) **nie należą** do dziedziny. Stosujemy nawiasy okrągłe (ostre).\n\n**Wniosek:**\n\\[\\text{Dziedzina} = (-5, -1) \\cup (1, 5)\\]\n\n**Odpowiedź C jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację\n\nZamiast bezpośredniego odczytu, sprawdzamy każdą odpowiedź:\n\n**Odp. A:** \\((-3,-1)\\cup(1,3)\\) - granice \\(\\pm 3\\), ale z wykresu widać, że gałęzie sięgają dalej, do \\(\\pm 5\\). ✗\n\n**Odp. B:** \\((-3,3)\\) - jeden ciągły przedział, ale wykres ma **przerwę** wokół \\(x = 0\\) (brak wykresu między \\(-1\\) a \\(1\\)). ✗\n\n**Odp. C:** \\((-5,-1)\\cup(1,5)\\) - dwie gałęzie, każda sięga do \\(\\pm 5\\), przerwa w \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\). ✓\n\n**Odp. D:** \\((-5,5)\\) - jeden ciągły przedział bez przerwy. Wykluczone z tego samego powodu co B. ✗\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja dziedziny funkcji (odczyt z wykresu) i znajomość notacji przedziałowej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń błędnie odczytuje granice gałęzi jako \\(\\pm 3\\) zamiast \\(\\pm 5\\) - myli np. punkt \\((-3, 0)\\) z końcem gałęzi |\n| B | Uczeń ignoruje przerwę na wykresie i zapisuje całą \"rozpiętość\" osi \\(x\\) jako jeden przedział \\((-3, 3)\\) |\n| D | Podobny błąd jak B, ale z poprawnymi granicami \\(\\pm 5\\) - uczeń widzi skrajne punkty wykresu, ale pomija przerwę między gałęziami |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Puste kółko na końcu gałęzi = punkt **nie należy** do dziedziny → nawias okrągły \\((\\,)\\). Pełne kółko = punkt **należy** → nawias kwadratowy \\(\\langle\\,\\rangle\\). Sprawdzaj to na każdym zadaniu z wykresem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dziedzina to zakres na osi **\\(OX\\)** (argumenty), nie na osi \\(OY\\) (wartości). Nie mylić dziedziny ze zbiorem wartości!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli wykres ma **dwie oddzielne gałęzie**, dziedzina musi być sumą dwóch przedziałów ze znakiem \\(\\cup\\). Odpowiedź będąca jednym spójnym przedziałem jest od razu podejrzana.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nWykres funkcji istnieje dla \\(x\\in(-5,-1)\\) (lewa część) oraz \\(x\\in(1,5)\\) (prawa część). Wszystkie końce są otwarte (puste kółka).\nDziedzina: \\((-5,-1)\\cup (1,5).\\)\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- Wykres nie istnieje dla \\(x\\in\\langle -1,1\\rangle\\), więc A (\\(-3,-1\\)) i B (\\(-3,3\\)) są za wąskie lub obejmują przerwę.\n- Zakres \\(x\\) sięga do \\(\\pm 5\\), nie \\(\\pm 3\\) - eliminuje A, B.\n- Dziedzina nie jest spójna, co eliminuje D.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-3,-1)\\cup (1,3)\\)** - pomylono z inną skalą.\n- **B. \\((-3,3)\\)** - ignoruje przerwę.\n- **D. \\((-5,5)\\)** - ignoruje przerwę dla \\(x\\in\\langle -1,1\\rangle\\).\n\n**Trik:** dziedzina funkcji to rzut wykresu na oś \\(OX\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Funkcja wymierna, algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od 0 i 2 wyrażenie 𝑥2+𝑥
(𝑥-2)2 ⋅𝑥-2
𝑥 jest równe
A. 𝑥2+1
𝑥-2
B. 𝑥+1
2
C.
𝑥2
(𝑥-2)2
D. 𝑥+1
𝑥-2

\n

MMAP-P0_100
Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 0 i 2 wyrażenie x^2+x/(x-2)^2 ⋅ x-2/x jest równe A. x^2+1/x-2 B. x+1/2 C. x^2/(x-2)^2 D. x+1/x-2

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Sprawność rachunkowa.
[…] stosowanie praw działań
matematycznych przy przekształcaniu
wyrażeń algebraicznych oraz
wykorzystywanie tych umiejętności przy
rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Zdający:
II.5) mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\((-5,-1)\\cup (1,5)\\)

\n

Sposób 1 - Odczyt dziedziny z wykresu

\n

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów \\(x\\), dla których funkcja jest zdefiniowana - czyli wszystkich wartości na osi \\(OX\\), dla których na wykresie istnieje odpowiadający punkt.

\n

Co robimy: patrzymy na wykres i szukamy, dla jakich \\(x\\) wykres "istnieje" (jest narysowany).

\n

Krok 1: Obserwujemy, że wykres składa się z dwóch oddzielnych części (gałęzi) - to od razu eliminuje odpowiedzi B i D, które są jednym spójnym przedziałem.

\n

Krok 2: Wyznaczamy zakres każdej gałęzi na osi \\(OX\\):

\n\n

Krok 3: Sprawdzamy, czy punkty końcowe są zawarte czy wyłączone. Na rysunku końce gałęzi zaznaczone są pustymi kółkami (punkty otwarte), co oznacza, że punkty \\(-5, -1, 1, 5\\) nie należą do dziedziny. Stosujemy nawiasy okrągłe (ostre).

\n

Wniosek:
\\[\\text{Dziedzina} = (-5, -1) \\cup (1, 5)\\]

\n

Odpowiedź C jest poprawna.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację

\n

Zamiast bezpośredniego odczytu, sprawdzamy każdą odpowiedź:

\n

Odp. A: \\((-3,-1)\\cup(1,3)\\) - granice \\(\\pm 3\\), ale z wykresu widać, że gałęzie sięgają dalej, do \\(\\pm 5\\). ✗

\n

Odp. B: \\((-3,3)\\) - jeden ciągły przedział, ale wykres ma przerwę wokół \\(x = 0\\) (brak wykresu między \\(-1\\) a \\(1\\)). ✗

\n

Odp. C: \\((-5,-1)\\cup(1,5)\\) - dwie gałęzie, każda sięga do \\(\\pm 5\\), przerwa w \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\). ✓

\n

Odp. D: \\((-5,5)\\) - jeden ciągły przedział bez przerwy. Wykluczone z tego samego powodu co B. ✗

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja dziedziny funkcji (odczyt z wykresu) i znajomość notacji przedziałowej.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń błędnie odczytuje granice gałęzi jako \\(\\pm 3\\) zamiast \\(\\pm 5\\) - myli np. punkt \\((-3, 0)\\) z końcem gałęzi |
| B | Uczeń ignoruje przerwę na wykresie i zapisuje całą "rozpiętość" osi \\(x\\) jako jeden przedział \\((-3, 3)\\) |
| D | Podobny błąd jak B, ale z poprawnymi granicami \\(\\pm 5\\) - uczeń widzi skrajne punkty wykresu, ale pomija przerwę między gałęziami |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Puste kółko na końcu gałęzi = punkt nie należy do dziedziny → nawias okrągły \\((\\,)\\). Pełne kółko = punkt należy → nawias kwadratowy \\(\\langle\\,\\rangle\\). Sprawdzaj to na każdym zadaniu z wykresem!
\n
⚠️ Uwaga: Dziedzina to zakres na osi \\(OX\\) (argumenty), nie na osi \\(OY\\) (wartości). Nie mylić dziedziny ze zbiorem wartości!
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli wykres ma dwie oddzielne gałęzie, dziedzina musi być sumą dwóch przedziałów ze znakiem \\(\\cup\\). Odpowiedź będąca jednym spójnym przedziałem jest od razu podejrzana.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Odczyt z wykresu
\n

Wykres funkcji istnieje dla \\(x\\in(-5,-1)\\) (lewa część) oraz \\(x\\in(1,5)\\) (prawa część). Wszystkie końce są otwarte (puste kółka).
Dziedzina: \\((-5,-1)\\cup (1,5).\\)

\n
Sposób 2 - Eliminacja
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: dziedzina funkcji to rzut wykresu na oś \\(OX\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od wyrażenia, które mamy uprościć:
\n

$$\\frac{x^2+x}{(x-2)^2} \\times \\frac{x-2}{x}$$

\n
  1. Możemy zredukować wspólny czynnik $x-2$ w liczniku pierwszego ułamka i w mianowniku drugiego ułamka:
\n

$$\\frac{x^2 + x}{(x-2)^2} \\times \\frac{x-2}{x} = \\frac{x^2 + x}{(x-2) \\times x}$$

\n
  1. Teraz możemy zapisać wyrażenie jako pojedynczy ułamek:
\n

$$\\frac{x^2 + x}{(x-2) \\times x}$$

\n
  1. Uproszczamy licznik. Zauważ, że w liczniku możemy wyciągnąć $x$ jako wspólny czynnik:
\n

$$x^2 + x = x(x + 1)$$

\n
  1. Podstawiamy to do naszego wyrażenia:
\n

$$\\frac{x(x + 1)}{(x-2) \\times x}$$

\n
  1. Możemy zredukować $x$ w liczniku i mianowniku, pamiętając, że $x$ różne od 0:
\n

$$\\frac{x + 1}{x-2}$$

\n
  1. To kończy nasze przekształcenia. Ostateczne wyrażenie to:
\n

$$\\frac{x + 1}{x-2}$$

\n
  1. Zwracamy uwagę, że poszukiwaliśmy wartości, która odpowiada jednej z opcji. Nasz wynik to:
\n

$$\\frac{x + 1}{x-2}$$

\n
  1. Porównując z podanymi opcjami, widzimy, że wyrażenie to odpowiada opcji D:
\n

$$D. \\frac{x+1}{x-2}$$

\n

Odpowiedź: D

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

(x^2+x)/((x-2)^2)·(x-2)/(x)
=(x(x+1))/((x-2)^2)·(x-2)/(x)
=(x+1)/(x-2).

"}]}