Zadanie 11. (0-5)
Ciąg (𝑎, 𝑏, 𝑐) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg
(2𝑎, 2𝑏, 𝑐+ 1) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek
𝑐-𝑏= 6.
Oblicz 𝒂, 𝒃 oraz 𝒄. Zapisz obliczenia.
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
Ciąg (a,b,c) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg (2a,2b,c+1) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek c-b=6. Oblicz a, b oraz c.
Zadanie 11. (0-5)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
VI.6) wykorzystuje własności ciągów, w tym
arytmetycznych i geometrycznych, do
rozwiązywania zadań, również osadzonych
w kontekście praktycznym.
Zasady oceniania
5 pkt - obliczenie 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐: 𝑎= 1 i 𝑏= 3 i 𝑐= 9 .
4 pkt - rozwiązanie równania z jedną niewiadomą, np. 𝑎= -
49
2 oraz 𝑎= 1, 𝑞= 3 oraz
𝑞=
4
7 .
3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. (
2
3 𝑎+
7
3)
2
= 𝑎(
2
3 𝑎+
25
3 ),
4 ⋅
6
𝑞2-𝑞⋅𝑞= 2 ⋅
6
𝑞2-𝑞+
6
𝑞2-𝑞⋅𝑞2 + 1.
2 pkt - wykorzystanie związku między wyrazami ciągu arytmetycznego oraz związku między
wyrazami ciągu geometrycznego i zapisanie układu warunków z trzema
niewiadomymi prowadzącego do rozwiązania zadania, np. 𝑏2 = 𝑎𝑐 i 2𝑏=
2𝑎+𝑐+1
2
i 𝑐-𝑏= 6
ALBO
np. (𝑎,
2
3 𝑎+
7
3 ,
2
3 𝑎+
25
3 ),
ALBO
np. (
𝑏2
𝑏+6 , 2𝑏, 𝑏+ 6),
ALBO
wyrazami ciągu geometrycznego i zapisanie układu warunków z dwiema
niewiadomymi prowadzącego do rozwiązania zadania, np.
2𝑎𝑞=
2𝑎+𝑎𝑞2+1
2
i 𝑎𝑞2 -𝑎𝑞= 6.
1 pkt - wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie równania 2𝑏=
2𝑎+𝑐+1
2
ALBO
2𝑏=
2𝑎+𝑏+6+1
2
,
ALBO
ALBO
\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Z warunku 𝑐-𝑏= 6 wyznaczamy 𝑐: 𝑐= 𝑏+ 6.
Zatem ciąg (2𝑎, 2𝑏, 𝑏+ 7) jest arytmetyczny. Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego
i otrzymujemy 2𝑏=
2𝑎+𝑏+7
2
. Stąd 4𝑏= 2𝑎+ 𝑏+ 7 , czyli 𝑏=
2
3 𝑎+
7
3 .
Z zależności 𝑐= 𝑏+ 6 oraz 𝑏=
2
3 𝑎+
7
3 otrzymujemy 𝑐=
2
3 𝑎+
25
3 . Zatem ciąg
(𝑎,
2
3 𝑎+
7
3 ,
2
3 𝑎+
25
3 ) jest geometryczny.
Korzystamy z własności ciągu geometrycznego i otrzymujemy
(2
3 𝑎+ 7
3)
2
= 𝑎⋅(2
3 𝑎+ 25
3 ) /⋅9
(2𝑎+ 7)2 = 𝑎⋅(6𝑎+ 75)
0 = 2𝑎2 + 47𝑎-49
Δ = 472 -4 ⋅2 ⋅(-49) = 2601, √Δ = 51
𝑎= -49
2 lub 𝑎= 1
Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu (𝑎, 𝑏, 𝑐) są dodatnie, więc 𝑎= 1.
Wtedy 𝑏=
2
3 ∙1 +
7
3 = 3 i 𝑐= 3 + 6 = 9. Stąd (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (1, 3, 9)
i (2𝑎, 2𝑏, 𝑐+ 1) = (2, 6, 10).
Ciąg (1, 3, 9) ma wszystkie wyrazy dodatnie i jest geometryczny (o ilorazie 3), ciąg (2, 6, 10)
jest arytmetyczny (o różnicy 4).
Zatem ostatecznie 𝑎= 1 , 𝑏= 3 oraz 𝑐= 9 .
Sposób II
Ciąg (𝑎, 𝑏, 𝑐) jest geometryczny, więc ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego otrzymujemy
𝑏= 𝑎𝑞 oraz 𝑐= 𝑎𝑞2. Z warunku 𝑐-𝑏= 6 otrzymujemy 𝑎𝑞2 -𝑎𝑞= 6. Stąd
𝑎𝑞(𝑞-1) = 6.
Z warunków zadania 𝑎≠0. Gdyby 𝑞= 0 lub 𝑞= 1, to równanie 𝑎𝑞(𝑞-1) = 6 byłoby
sprzeczne. Zatem 𝑞≠0 oraz 𝑞≠1. Wtedy 𝑎=
6
𝑞2-𝑞.
Ciąg (2𝑎, 2𝑏, 𝑐+ 1) jest arytmetyczny, więc korzystamy z własności ciągu arytmetycznego
i otrzymujemy 2𝑎𝑞=
2𝑎+𝑎𝑞2+1
2
, czyli 4𝑎𝑞= 2𝑎+ 𝑎𝑞2 + 1.
Wykorzystując związki 𝑎=
6
𝑞2-𝑞 i 4𝑎𝑞= 2𝑎+ 𝑎𝑞2 + 1, otrzymujemy
4 ⋅
6
𝑞2 -𝑞⋅𝑞= 2 ⋅
6
𝑞2 -𝑞+
6
𝑞2 -𝑞⋅𝑞2 + 1
Stąd dalej otrzymujemy:
24𝑞
𝑞2 -𝑞=
12
𝑞2 -𝑞+
6𝑞2
𝑞2 -𝑞+ 1
24𝑞= 12 + 6𝑞2 + 𝑞2 -𝑞
7𝑞2 -25𝑞+ 12 = 0
Zasady oceniania rozwiązań zadań
(𝑞-3)(7𝑞-4) = 0
𝑞= 3 lub 𝑞= 4
7
Gdy 𝑞=
4
7 , to wtedy 𝑎=
6
(4
7)
2
-4
7
< 0, więc dla tej wartości 𝑞 warunki zadania nie są
spełnione.
Gdy 𝑞= 3, to wtedy 𝑎=
6
32-3 = 1, 𝑏= 3 i 𝑐= 9.
Ciąg (1, 3, 9) ma wszystkie wyrazy dodatnie i jest geometryczny (o ilorazie 3), ciąg (2, 6, 10)
jest arytmetyczny (o różnicy 4).
Zatem ostatecznie 𝑎= 1 , 𝑏= 3 oraz 𝑐= 9 .
Uwaga:
Jeżeli zdający nie odrzuci ujemnego rozwiązania 𝑎= -
49
2 i w konsekwencji poda dwie trójki
liczb 𝑎, 𝑏 i 𝑐, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty.
$a = 1, b = 3, c = 9$
"}]}