{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-6)\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w których\nodcinek łączący punkt 𝑂 przecięcia przekątnych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 z dowolnym\nwierzchołkiem podstawy 𝐸𝐹𝐺𝐻 ma długość 𝑑 (zobacz rysunek).\na) Wyznacz zależność objętości 𝑽 graniastosłupa od jego wysokości 𝒉 i podaj\ndziedzinę funkcji 𝑽(𝒉).\nb) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest\nnajwiększa.\nZapisz obliczenia.\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝑂\n𝑑\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEFGH, w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych AC i BD podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EFGH ma długość d (zobacz rysunek). [rysunek] a) Wyznacz zależność objętości V graniastosłupa od jego wysokości h i podaj dziedzinę funkcji V(h). b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII.R5) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nz zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n6 pkt - poprawne wyznaczenie wzoru funkcji 𝑉(ℎ) oraz jej dziedziny, oraz wyznaczenie\nwysokości graniastosłupa o największej objętości wraz z uzasadnieniem.\n5 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑉: ℎ= √3\n3 𝑑.\n4 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉, np. 𝑉′(ℎ) = 2(𝑑2 -3ℎ2).\n3 pkt - wyznaczenie dziedziny funkcji 𝑉(ℎ): (0, 𝑑).\n2 pkt - wyznaczenie objętości 𝑉 graniastosłupa jako funkcji jego wysokości, np.\n𝑉(ℎ) = 2(𝑑2 -ℎ2) ∙ℎ.\n1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi podstawy w zależności od wysokości graniastosłupa:\n𝑎= √2 ∙√𝑑2 -ℎ2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy przez 𝑎 długość krawędzi podstawy\ngraniastosłupa, natomiast przez ℎ - wysokość tego\ngraniastosłupa.\na)\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta\n𝑂𝐷𝐻 i otrzymujemy:\n𝑑2 = ℎ2 + |𝑂𝐷|2\n|𝑂𝐷| = √𝑑2 -ℎ2\nPonieważ |𝑂𝐷| =\n1\n2 |𝐵𝐷| =\n𝑎√2\n2 , więc\n𝑎√2\n2 = √𝑑2 -ℎ2 .\nStąd 𝑎= √2 ∙√𝑑2 -ℎ2 i ℎ∈(0, 𝑑).\nPole 𝑃𝑃 podstawy graniastosłupa jest równe\n𝑃𝑃= (√2 ∙√𝑑2 -ℎ2)\n2\n= 2(𝑑2 -ℎ2)\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝑂\n𝑑\nWyznaczamy objętość graniastosłupa jako funkcję zmiennej ℎ:\n𝑉(ℎ) = 2(𝑑2 -ℎ2) ∙ℎ= 2(𝑑2ℎ-ℎ3) dla 0 < ℎ< 𝑑.\nb)\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑉:\n𝑉′(ℎ) = 2(𝑑2 -3ℎ2)\nObliczamy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑉:\n𝑉′(ℎ) = 0\n2(𝑑2 -3ℎ2) = 0 i ℎ∈(0, 𝑑)\nℎ= 𝑑\n√3\nPonieważ 𝑉′(ℎ) > 0 dla ℎ∈(0, 𝑑\n√3) oraz 𝑉′(ℎ) < 0 dla ℎ∈( 𝑑\n√3 , 𝑑), więc funkcja 𝑉\njest rosnąca w przedziale (0, 𝑑\n√3] oraz malejąca w przedziale [ 𝑑\n√3 , 𝑑). Zatem funkcja 𝑉\nosiąga wartość największą dla ℎ= 𝑑\n√3 .\nSpośród rozważanych graniastosłupów największą objętość ma graniastosłup o wysokości\nℎ=\n𝑑\n√3 .","solution":"$h = \\dfrac{d}{\\sqrt{3}}$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"optymalizacja","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13. (0-6)<br>Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w których<br>odcinek łączący punkt 𝑂 przecięcia przekątnych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 z dowolnym<br>wierzchołkiem podstawy 𝐸𝐹𝐺𝐻 ma długość 𝑑 (zobacz rysunek).<br>a) Wyznacz zależność objętości 𝑽 graniastosłupa od jego wysokości 𝒉 i podaj<br>dziedzinę funkcji 𝑽(𝒉).<br>b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest<br>największa.<br>Zapisz obliczenia.<br>𝐶<br>𝐺<br>𝐻<br>𝐹<br>𝐸<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐷<br>𝑂<br>𝑑</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2023<br>Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEFGH, w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych AC i BD podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EFGH ma długość d (zobacz rysunek). [rysunek] a) Wyznacz zależność objętości V graniastosłupa od jego wysokości h i podaj dziedzinę funkcji V(h). b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-6)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymagania ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Dobieranie argumentów do uzasadnienia</li></ol>\n<p>poprawności rozwiązywania problemów,<br>tworzenie ciągu argumentów,<br>gwarantujących poprawność rozwiązania<br>i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań<br>zagadnienia.<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>XIII.R5) rozwiązuje zadania optymalizacyjne<br>z zastosowaniem pochodnej.<br>Zasady oceniania<br>6 pkt - poprawne wyznaczenie wzoru funkcji 𝑉(ℎ) oraz jej dziedziny, oraz wyznaczenie<br>wysokości graniastosłupa o największej objętości wraz z uzasadnieniem.<br>5 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑉: ℎ= √3<br>3 𝑑.<br>4 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉, np. 𝑉′(ℎ) = 2(𝑑2 -3ℎ2).<br>3 pkt - wyznaczenie dziedziny funkcji 𝑉(ℎ): (0, 𝑑).<br>2 pkt - wyznaczenie objętości 𝑉 graniastosłupa jako funkcji jego wysokości, np.<br>𝑉(ℎ) = 2(𝑑2 -ℎ2) ∙ℎ.<br>1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi podstawy w zależności od wysokości graniastosłupa:<br>𝑎= √2 ∙√𝑑2 -ℎ2 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Oznaczmy przez 𝑎 długość krawędzi podstawy<br>graniastosłupa, natomiast przez ℎ - wysokość tego<br>graniastosłupa.<br>a)<br>Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta<br>𝑂𝐷𝐻 i otrzymujemy:<br>𝑑2 = ℎ2 + |𝑂𝐷|2<br>|𝑂𝐷| = √𝑑2 -ℎ2<br>Ponieważ |𝑂𝐷| =<br>1<br>2 |𝐵𝐷| =<br>𝑎√2<br>2 , więc<br>𝑎√2<br>2 = √𝑑2 -ℎ2 .<br>Stąd 𝑎= √2 ∙√𝑑2 -ℎ2 i ℎ∈(0, 𝑑).<br>Pole 𝑃𝑃 podstawy graniastosłupa jest równe<br>𝑃𝑃= (√2 ∙√𝑑2 -ℎ2)<br>2<br>= 2(𝑑2 -ℎ2)<br>𝐶<br>𝐺<br>𝐻<br>𝐹<br>𝐸<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐷<br>𝑂<br>𝑑<br>Wyznaczamy objętość graniastosłupa jako funkcję zmiennej ℎ:<br>𝑉(ℎ) = 2(𝑑2 -ℎ2) ∙ℎ= 2(𝑑2ℎ-ℎ3) dla 0 &lt; ℎ&lt; 𝑑.<br>b)<br>Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑉:<br>𝑉′(ℎ) = 2(𝑑2 -3ℎ2)<br>Obliczamy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑉:<br>𝑉′(ℎ) = 0<br>2(𝑑2 -3ℎ2) = 0 i ℎ∈(0, 𝑑)<br>ℎ= 𝑑<br>√3<br>Ponieważ 𝑉′(ℎ) &gt; 0 dla ℎ∈(0, 𝑑<br>√3) oraz 𝑉′(ℎ) &lt; 0 dla ℎ∈( 𝑑<br>√3 , 𝑑), więc funkcja 𝑉<br>jest rosnąca w przedziale (0, 𝑑<br>√3] oraz malejąca w przedziale [ 𝑑<br>√3 , 𝑑). Zatem funkcja 𝑉<br>osiąga wartość największą dla ℎ= 𝑑<br>√3 .<br>Spośród rozważanych graniastosłupów największą objętość ma graniastosłup o wysokości<br>ℎ=<br>𝑑<br>√3 .</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$h = \\dfrac{d}{\\sqrt{3}}$</p>"}]}