{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-3)\nWśród 𝑛 osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te 𝑛 osób ustawiamy w kolejkę jedna\nza drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy większa od liczby wszystkich\ntakich ustawień tych 𝑛 osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne\nmiejsca (w dowolnej kolejności).\nOblicz 𝒏. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nWśród n osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te n osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych n osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności). Oblicz n.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXI.R1) oblicza liczbę możliwych sytuacji,\nspełniających określone kryteria,\nz wykorzystaniem reguły mnożenia\ni dodawania (także łącznie) oraz wzorów na\nliczbę: permutacji, kombinacji i wariacji,\nrównież w przypadkach wymagających\nrozważenia złożonego modelu zliczania\nelementów.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑛= 9.\n2 pkt - zapisanie równania z niewiadomą 𝑛, które wynika z warunków zadania, np.\n𝑛! = 12 ⋅(𝑛-2)! ⋅3!.\n1 pkt - zapisanie, że liczba wszystkich sposobów ustawienia 𝑛 osób w kolejce jest równa\n𝑛!\nALBO\n- zapisanie, że trzy kolejne miejsca spośród 𝑛 miejsc można wybrać na 𝑛-3\nsposoby (lub na ( 𝑛\n𝑛-3) sposoby),\nALBO\n- potraktowanie Ani i jej dwóch znajomych jak jednej osoby i zapisanie, że liczba\nustawień tych 𝑛-2 osób jest równa (𝑛-2)!\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nLiczba wszystkich sposobów ustawienia 𝑛 osób w kolejce jest równa 𝑛!.\nLiczbę wszystkich tych ciągów, w których Ania i jej dwóch znajomych zajmują trzy sąsiednie\nmiejsca, możemy obliczyć, traktując Anię i jej dwóch znajomych jak „jedną osobę”.\nW rezultacie mamy ustawić ciąg złożony z 𝑛-2 osób, co można zrobić na (𝑛-2)!\nsposobów. Na ustalonych trzech miejscach Anię i jej dwóch znajomych możemy ustawić na\n3! sposobów, więc liczba wszystkich tych ciągów, w których Ania i jej dwóch znajomych\nzajmują trzy kolejne miejsca jest równa (𝑛-2)! ∙3!.\nZ warunków zadania wynika równanie\n𝑛! = 12 ∙(𝑛-2)! ∙3!\nStąd, po podzieleniu obu stron tego równania przez (𝑛-2)!, otrzymujemy:\n𝑛(𝑛-1) = 12 ∙6\n𝑛2 -𝑛-72 = 0\n(𝑛-9)(𝑛+ 8) = 0\nPonieważ 𝑛 jest liczbą całkowitą dodatnią, więc 𝑛+ 8 > 0. Zatem 𝑛-9 = 0, czyli 𝑛= 9.\nUwaga.\nLiczbę wszystkich ciągów, w których Ania i jej dwóch znajomych zajmują trzy kolejne miejsca,\nmożemy obliczyć też w następujący sposób.\nTrzy kolejne miejsca spośród 𝑛 miejsc możemy wybrać na 𝑛-2 sposoby. Na wybranych\ntrzech miejscach Anię i jej dwóch znajomych możemy ustawić na 3! sposobów, a na\npozostałych 𝑛-3 miejscach możemy pozostałe osoby ustawić na (𝑛-3)! sposobów.\nZatem liczba szukanych ciągów jest równa (𝑛-2) ∙3! ∙(𝑛-3)! = (𝑛-2)! ∙3!\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$n = 9$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (0-3)
Wśród 𝑛 osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te 𝑛 osób ustawiamy w kolejkę jedna
za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy większa od liczby wszystkich
takich ustawień tych 𝑛 osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne
miejsca (w dowolnej kolejności).
Oblicz 𝒏. Zapisz obliczenia.

\n

MMAP-R0_100
Wśród n osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te n osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych n osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności). Oblicz n.

","answer_text_html":"

Zadanie 2. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
XI.R1) oblicza liczbę możliwych sytuacji,
spełniających określone kryteria,
z wykorzystaniem reguły mnożenia
i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na
liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji,
również w przypadkach wymagających
rozważenia złożonego modelu zliczania
elementów.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑛= 9.
2 pkt - zapisanie równania z niewiadomą 𝑛, które wynika z warunków zadania, np.
𝑛! = 12 ⋅(𝑛-2)! ⋅3!.
1 pkt - zapisanie, że liczba wszystkich sposobów ustawienia 𝑛 osób w kolejce jest równa
𝑛!
ALBO

\n\n

sposoby (lub na ( 𝑛
𝑛-3) sposoby),
ALBO

\n\n

ustawień tych 𝑛-2 osób jest równa (𝑛-2)!
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Liczba wszystkich sposobów ustawienia 𝑛 osób w kolejce jest równa 𝑛!.
Liczbę wszystkich tych ciągów, w których Ania i jej dwóch znajomych zajmują trzy sąsiednie
miejsca, możemy obliczyć, traktując Anię i jej dwóch znajomych jak „jedną osobę”.
W rezultacie mamy ustawić ciąg złożony z 𝑛-2 osób, co można zrobić na (𝑛-2)!
sposobów. Na ustalonych trzech miejscach Anię i jej dwóch znajomych możemy ustawić na
3! sposobów, więc liczba wszystkich tych ciągów, w których Ania i jej dwóch znajomych
zajmują trzy kolejne miejsca jest równa (𝑛-2)! ∙3!.
Z warunków zadania wynika równanie
𝑛! = 12 ∙(𝑛-2)! ∙3!
Stąd, po podzieleniu obu stron tego równania przez (𝑛-2)!, otrzymujemy:
𝑛(𝑛-1) = 12 ∙6
𝑛2 -𝑛-72 = 0
(𝑛-9)(𝑛+ 8) = 0
Ponieważ 𝑛 jest liczbą całkowitą dodatnią, więc 𝑛+ 8 > 0. Zatem 𝑛-9 = 0, czyli 𝑛= 9.
Uwaga.
Liczbę wszystkich ciągów, w których Ania i jej dwóch znajomych zajmują trzy kolejne miejsca,
możemy obliczyć też w następujący sposób.
Trzy kolejne miejsca spośród 𝑛 miejsc możemy wybrać na 𝑛-2 sposoby. Na wybranych
trzech miejscach Anię i jej dwóch znajomych możemy ustawić na 3! sposobów, a na
pozostałych 𝑛-3 miejscach możemy pozostałe osoby ustawić na (𝑛-3)! sposobów.
Zatem liczba szukanych ciągów jest równa (𝑛-2) ∙3! ∙(𝑛-3)! = (𝑛-2)! ∙3!
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$n = 9$

"}]}