{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 -4𝑥2 + 9𝑥 dla każdego 𝑥∈ℝ.\nPunkt 𝑃= (𝑥0 , 18) należy do wykresu funkcji 𝑓.\nOblicz 𝒙𝟎 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji 𝒇 w punkcie 𝑷.\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x)=2x^3-4x^2+9x dla każdego x∈ℝ. Punkt P=(x_0,18) należy do wykresu funkcji f. Oblicz x_0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nXIII.R2) stosuje definicję pochodnej funkcji,\npodaje interpretację geometryczną\npochodnej;\nXIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = 2 oraz 𝑦= 17𝑥-16.\n2 pkt - obliczenie odciętej 𝑥0 punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑥0 = 2 oraz\n𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 -8𝑥+ 9.\n1 pkt - obliczenie odciętej 𝑥0 punktu 𝑃: 𝑥0 = 2\nALBO\n- wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 -8𝑥+ 9.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy odciętą 𝑥0 punktu 𝑃:\n18 = 2𝑥0\n3 -4𝑥0\n2 + 9𝑥0\n2𝑥0\n3 -4𝑥0\n2 + 9𝑥0 -18 = 0\n2𝑥0\n2(𝑥0 -2) + 9(𝑥0 -2) = 0\n(2𝑥0\n2 + 9)(𝑥0 -2) = 0\n2𝑥0\n2 + 9 = 0 lub 𝑥0 -2 = 0\nPonieważ 2𝑥0\n2 + 9 > 0 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥0, więc 𝑥0 = 2.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 -8𝑥+ 9\nWyznaczamy równanie kierunkowe stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃.Obliczamy\nwspółczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:\n𝑎= 𝑓′(2) = 17\nObliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:\n18 = 17 ∙2 + 𝑏\n𝑏= -16\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStyczna ma równanie 𝑦= 17𝑥-16.","solution":"$x_0 = 2$ oraz $y = 17x - 16$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"funkcje","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 4. (0-3)<br>Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 -4𝑥2 + 9𝑥 dla każdego 𝑥∈ℝ.<br>Punkt 𝑃= (𝑥0 , 18) należy do wykresu funkcji 𝑓.<br>Oblicz 𝒙𝟎 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji 𝒇 w punkcie 𝑷.<br>Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Funkcja f jest określona wzorem f(x)=2x^3-4x^2+9x dla każdego x∈ℝ. Punkt P=(x_0,18) należy do wykresu funkcji f. Oblicz x_0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 4. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Dobieranie argumentów do uzasadnienia</li></ol>\n<p>poprawności rozwiązywania problemów,<br>tworzenie ciągu argumentów,<br>gwarantujących poprawność rozwiązania<br>i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań<br>zagadnienia.<br>Zdający:<br>XIII.R2) stosuje definicję pochodnej funkcji,<br>podaje interpretację geometryczną<br>pochodnej;<br>XIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej<br>o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza<br>pochodną, korzystając z twierdzeń<br>o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu<br>i ilorazu.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = 2 oraz 𝑦= 17𝑥-16.<br>2 pkt - obliczenie odciętej 𝑥0 punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑥0 = 2 oraz<br>𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 -8𝑥+ 9.<br>1 pkt - obliczenie odciętej 𝑥0 punktu 𝑃: 𝑥0 = 2<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 -8𝑥+ 9.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Obliczamy odciętą 𝑥0 punktu 𝑃:<br>18 = 2𝑥0<br>3 -4𝑥0<br>2 + 9𝑥0<br>2𝑥0<br>3 -4𝑥0<br>2 + 9𝑥0 -18 = 0<br>2𝑥0<br>2(𝑥0 -2) + 9(𝑥0 -2) = 0<br>(2𝑥0<br>2 + 9)(𝑥0 -2) = 0<br>2𝑥0<br>2 + 9 = 0 lub 𝑥0 -2 = 0<br>Ponieważ 2𝑥0<br>2 + 9 &gt; 0 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥0, więc 𝑥0 = 2.<br>Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:<br>𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 -8𝑥+ 9<br>Wyznaczamy równanie kierunkowe stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃.Obliczamy<br>współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:<br>𝑎= 𝑓′(2) = 17<br>Obliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:<br>18 = 17 ∙2 + 𝑏<br>𝑏= -16<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Styczna ma równanie 𝑦= 17𝑥-16.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$x_0 = 2$ oraz $y = 17x - 16$</p>"}]}