{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝒂 prawdziwa jest nierówność\n𝒂𝟐+ 𝟏𝟔\n𝒂≥𝟏𝟐\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej a prawdziwa jest nierówność a² + 16/a ≥ 12.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nII.R1) znajduje pierwiastki całkowite\ni wymierne wielomianu o współczynnikach\ncałkowitych.\nIII.R1) rozwiązuje nierówności\nwielomianowe typu: 𝑊(𝑥) > 0,\n𝑊(𝑥) ≥0, 𝑊(𝑥) < 0, 𝑊(𝑥) ≤0 dla\nwielomianów doprowadzonych do postaci\niloczynowej lub takich, które dają się\ndoprowadzić do postaci iloczynowej metodą\nwyłączania wspólnego czynnika przed\nnawias lub metodą grupowania.\nZasady oceniania\n3 pkt - spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i uzasadnienie prawdziwości nierówności\n(𝑎-2)2(𝑎+4)\n𝑎\n≥0 lub (𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0, lub 𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0 z powołaniem\nsię na założenie (dla sposobu I)\nALBO\n- spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i przekształcenie nierówności\n𝑎2+8\n𝑎+8\n𝑎\n3\n≥√𝑎2 ⋅\n8\n𝑎⋅\n8\n𝑎\n3\ndo postaci tezy (dla sposobu II),\nALBO\n- spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty oraz obliczenie 𝑓(2): 𝑓(2) = 12 (dla\nsposobu III).\n2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎2 +\n16\n𝑎≥12 do postaci\n(𝑎-2)2(𝑎+4)\n𝑎\n≥0 lub\n(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0, lub 𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0 (dla sposobu I)\nALBO\n- spełnienie kryterium oceniania za 1 punkt oraz zapisanie wielomianu 𝑎3 -12𝑎+ 16\nw postaci (𝑎-2)2(𝑎+ 4) (dla sposobu I),\nALBO\n- zapisanie, że dla każdego 𝑎> 0 liczby 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 są dodatnie oraz zapisanie\nnierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb dodatnich 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 :\n𝑎2+8\n𝑎+8\n𝑎\n3\n≥√𝑎2 ⋅\n8\n𝑎⋅\n8\n𝑎\n3\n(dla sposobu II),\nALBO\n- obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑓 oraz wyznaczenie w przedziale\n(0, +∞) argumentu, dla którego funkcja osiąga w tym przedziale wartość najmniejszą\n(wraz z uzasadnieniem): 𝑎= 2 (dla sposobu III).\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎2 +\n16\n𝑎≥12 do postaci\n𝑎3-12𝑎+16\n𝑎\n≥0 lub\n𝑎3 -12𝑎+ 16 ≥0, lub 𝑎(𝑎3 -12𝑎+ 16) ≥0 (dla sposobu I)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- zapisanie, że dla każdego 𝑎> 0 liczby 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 są dodatnie (dla sposobu II),\nALBO\n- obliczenie pochodnej funkcji 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑎) = 𝑎2 +\n16\n𝑎 dla 𝑎> 0 (lub w\nszerszym zakresie), np. 𝑓′(𝑎) = 2𝑎-\n16\n𝑎2 (dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający opiera swoje rozwiązanie na nierówności między średnimi (sposób III) i stosuje\nnierówność między średnimi liczb 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 bez zapisania, że liczby te są dodatnie, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 𝑎2 +\n16\n𝑎≥12:\n𝑎3\n𝑎+ 16\n𝑎-12𝑎\n𝑎\n≥0\n𝑎3 -12𝑎+ 16\n𝑎\n≥0\n𝑎(𝑎3 -12𝑎+ 16) ≥0 i 𝑎≠0\nZauważamy, że pierwiastkiem wielomianu 𝑊(𝑎) = 𝑎3 -12𝑎+ 16 jest liczba 2. Stąd\n𝑊(𝑎) = (𝑎-2)(𝑎2 + 2𝑎-8). Ponieważ pierwiastkami trójmianu kwadratowego\n𝑎2 + 2𝑎-8 są liczby 2 i (-4), więc 𝑊(𝑎) = (𝑎-2)2(𝑎+ 4). Zatem nierówność\n𝑎(𝑎3 -12𝑎+ 16) ≥0 można równoważnie zapisać w postaci\n𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0\nDla każdej liczby dodatniej 𝑎 wyrażenie (𝑎-2)2 jest liczbą nieujemną, natomiast\nwyrażenie (𝑎+ 4) jest liczbą dodatnią. Zatem dla każdej liczby dodatniej 𝑎 wyrażenie\n𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) jest nieujemne jako iloczyn liczb nieujemnych. Oznacza to, że nierówność\n𝑎2 +\n16\n𝑎≥12 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑎. To należało wykazać.\nInna realizacja rozkładu wielomianu 𝑎3 -12𝑎+ 16 na czynniki:\n𝑎3 -12𝑎+ 16 = 𝑎3 -16𝑎+ 4𝑎+ 16 = 𝑎(𝑎2 -16) + 4(𝑎+ 4) =\n= 𝑎(𝑎-4)(𝑎+ 4) + 4(𝑎+ 4) = (𝑎+ 4)[𝑎(𝑎-4) + 4] =\n= (𝑎+ 4)(𝑎2 -4𝑎+ 4) = (𝑎+ 4)(𝑎-2)2\nSposób II\nDla każdego 𝑎> 0 liczby 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 są dodatnie. Korzystamy z nierówności między\nśrednimi arytmetyczną i geometryczną liczb 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 i otrzymujemy:\n𝑎2 + 8\n𝑎+ 8\n𝑎\n3\n≥√𝑎2 ⋅8\n𝑎⋅8\n𝑎\n3\n𝑎2 + 16\n𝑎\n3\n≥√64\n3\n𝑎2 + 16\n𝑎≥12\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nNiech 𝑓 będzie funkcją określoną wzorem 𝑓(𝑎) = 𝑎2 +\n16\n𝑎 dla każdej liczby rzeczywistej\n𝑎> 0.\nObliczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑎) = 2𝑎-16\n𝑎2 = 2𝑎3 -16\n𝑎2\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑓:\n2𝑎3 -16\n𝑎2\n= 0\n2𝑎3 -16 = 0\n𝑎= 2\nPonieważ 𝑓′(𝑎) > 0 dla 𝑎∈(2, +∞) oraz 𝑓′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(0, 2), więc funkcja 𝑓\njest malejąca w przedziale (0, 2] oraz jest rosnąca w przedziale [2, +∞).\nZatem dla argumentu 𝑎= 2 funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą\n𝑓(2) = 22 +\n16\n2 = 12. Stąd 𝑓(𝑎) ≥12 dla każdej liczby dodatniej 𝑎.\nTo oznacza, że nierówność 𝑎2 +\n16\n𝑎≥12 jest prawdziwa dla każdego 𝑎> 0.","solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (0-3)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝒂 prawdziwa jest nierówność
𝒂𝟐+ 𝟏𝟔
𝒂≥𝟏𝟐

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej a prawdziwa jest nierówność a² + 16/a ≥ 12.

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
II.R1) znajduje pierwiastki całkowite
i wymierne wielomianu o współczynnikach
całkowitych.
III.R1) rozwiązuje nierówności
wielomianowe typu: 𝑊(𝑥) > 0,
𝑊(𝑥) ≥0, 𝑊(𝑥) < 0, 𝑊(𝑥) ≤0 dla
wielomianów doprowadzonych do postaci
iloczynowej lub takich, które dają się
doprowadzić do postaci iloczynowej metodą
wyłączania wspólnego czynnika przed
nawias lub metodą grupowania.
Zasady oceniania
3 pkt - spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i uzasadnienie prawdziwości nierówności
(𝑎-2)2(𝑎+4)
𝑎
≥0 lub (𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0, lub 𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0 z powołaniem
się na założenie (dla sposobu I)
ALBO

\n\n

𝑎2+8
𝑎+8
𝑎
3
≥√𝑎2 ⋅
8
𝑎⋅
8
𝑎
3
do postaci tezy (dla sposobu II),
ALBO

\n\n

sposobu III).
2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎2 +
16
𝑎≥12 do postaci
(𝑎-2)2(𝑎+4)
𝑎
≥0 lub
(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0, lub 𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0 (dla sposobu I)
ALBO

\n\n

w postaci (𝑎-2)2(𝑎+ 4) (dla sposobu I),
ALBO

\n\n

8
𝑎 ,
8
𝑎 są dodatnie oraz zapisanie
nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb dodatnich 𝑎2,
8
𝑎 ,
8
𝑎 :
𝑎2+8
𝑎+8
𝑎
3
≥√𝑎2 ⋅
8
𝑎⋅
8
𝑎
3
(dla sposobu II),
ALBO

\n\n

(0, +∞) argumentu, dla którego funkcja osiąga w tym przedziale wartość najmniejszą
(wraz z uzasadnieniem): 𝑎= 2 (dla sposobu III).
1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎2 +
16
𝑎≥12 do postaci
𝑎3-12𝑎+16
𝑎
≥0 lub
𝑎3 -12𝑎+ 16 ≥0, lub 𝑎(𝑎3 -12𝑎+ 16) ≥0 (dla sposobu I)
Zasady oceniania rozwiązań zadań
ALBO

\n\n

8
𝑎 ,
8
𝑎 są dodatnie (dla sposobu II),
ALBO

\n\n

16
𝑎 dla 𝑎> 0 (lub w
szerszym zakresie), np. 𝑓′(𝑎) = 2𝑎-
16
𝑎2 (dla sposobu III).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeśli zdający opiera swoje rozwiązanie na nierówności między średnimi (sposób III) i stosuje
nierówność między średnimi liczb 𝑎2,
8
𝑎 ,
8
𝑎 bez zapisania, że liczby te są dodatnie, to może
otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy nierówność 𝑎2 +
16
𝑎≥12:
𝑎3
𝑎+ 16
𝑎-12𝑎
𝑎
≥0
𝑎3 -12𝑎+ 16
𝑎
≥0
𝑎(𝑎3 -12𝑎+ 16) ≥0 i 𝑎≠0
Zauważamy, że pierwiastkiem wielomianu 𝑊(𝑎) = 𝑎3 -12𝑎+ 16 jest liczba 2. Stąd
𝑊(𝑎) = (𝑎-2)(𝑎2 + 2𝑎-8). Ponieważ pierwiastkami trójmianu kwadratowego
𝑎2 + 2𝑎-8 są liczby 2 i (-4), więc 𝑊(𝑎) = (𝑎-2)2(𝑎+ 4). Zatem nierówność
𝑎(𝑎3 -12𝑎+ 16) ≥0 można równoważnie zapisać w postaci
𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0
Dla każdej liczby dodatniej 𝑎 wyrażenie (𝑎-2)2 jest liczbą nieujemną, natomiast
wyrażenie (𝑎+ 4) jest liczbą dodatnią. Zatem dla każdej liczby dodatniej 𝑎 wyrażenie
𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) jest nieujemne jako iloczyn liczb nieujemnych. Oznacza to, że nierówność
𝑎2 +
16
𝑎≥12 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑎. To należało wykazać.
Inna realizacja rozkładu wielomianu 𝑎3 -12𝑎+ 16 na czynniki:
𝑎3 -12𝑎+ 16 = 𝑎3 -16𝑎+ 4𝑎+ 16 = 𝑎(𝑎2 -16) + 4(𝑎+ 4) =
= 𝑎(𝑎-4)(𝑎+ 4) + 4(𝑎+ 4) = (𝑎+ 4)[𝑎(𝑎-4) + 4] =
= (𝑎+ 4)(𝑎2 -4𝑎+ 4) = (𝑎+ 4)(𝑎-2)2
Sposób II
Dla każdego 𝑎> 0 liczby 𝑎2,
8
𝑎 ,
8
𝑎 są dodatnie. Korzystamy z nierówności między
średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb 𝑎2,
8
𝑎 ,
8
𝑎 i otrzymujemy:
𝑎2 + 8
𝑎+ 8
𝑎
3
≥√𝑎2 ⋅8
𝑎⋅8
𝑎
3
𝑎2 + 16
𝑎
3
≥√64
3
𝑎2 + 16
𝑎≥12
To należało wykazać.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób III
Niech 𝑓 będzie funkcją określoną wzorem 𝑓(𝑎) = 𝑎2 +
16
𝑎 dla każdej liczby rzeczywistej
𝑎> 0.
Obliczamy pochodną funkcji 𝑓:
𝑓′(𝑎) = 2𝑎-16
𝑎2 = 2𝑎3 -16
𝑎2
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑓:
2𝑎3 -16
𝑎2
= 0
2𝑎3 -16 = 0
𝑎= 2
Ponieważ 𝑓′(𝑎) > 0 dla 𝑎∈(2, +∞) oraz 𝑓′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(0, 2), więc funkcja 𝑓
jest malejąca w przedziale (0, 2] oraz jest rosnąca w przedziale [2, +∞).
Zatem dla argumentu 𝑎= 2 funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą
𝑓(2) = 22 +
16
2 = 12. Stąd 𝑓(𝑎) ≥12 dla każdej liczby dodatniej 𝑎.
To oznacza, że nierówność 𝑎2 +
16
𝑎≥12 jest prawdziwa dla każdego 𝑎> 0.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód.

"}]}