{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nDany jest okrąg 𝒪. Przez punkt 𝐴 poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego\nokręgu w punktach - odpowiednio - 𝑃 oraz 𝑄. Przez punkt 𝐵 leżący na odcinku 𝐴𝑃\npoprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie 𝐷, która przecięła odcinek 𝐴𝑄\nw punkcie 𝐶 (zobacz rysunek).\nWykaż, że jeżeli |𝑨𝑸| = 𝟓∙|𝑩𝑷| oraz |𝑪𝑫| = 𝟐∙|𝑩𝑫|, to trójkąt 𝑨𝑩𝑪 jest\nrównoramienny.\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝑃\n𝑄\nokrąg 𝒪\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nDany jest okrąg O. Przez punkt A poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - P oraz Q. Przez punkt B leżący na odcinku AP poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie D, która przecięła odcinek AQ w punkcie C (zobacz rysunek). [rysunek] Wykaż, że jeżeli |AQ|=5⋅|BP| oraz |CD|=2⋅|BD|, to trójkąt ABC jest równoramienny.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.1) wyznacza promienie i średnice\nokręgów, długości cięciw okręgów oraz\nodcinków stycznych, w tym\nz wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.\nZasady oceniania\n3 pkt - spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty oraz uzasadnienie, że |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.\n2 pkt - wyznaczenie długości odcinków 𝐴𝑃, 𝐴𝑄, 𝐵𝐷, 𝐶𝐷, 𝐶𝑄 w zależności od tej samej\nzmiennej, np. |𝐴𝑃| = 5𝑥, |𝐴𝑄| = 5𝑥, |𝐵𝐷| = 𝑥, |𝐶𝐷| = 2𝑥, |𝐶𝑄| = 2𝑥.\n1 pkt - zapisanie równości wynikającej z twierdzenia o odcinkach stycznych: |𝐵𝐷| = |𝐵𝑃|\n(lub |𝐴𝑃| = |𝐴𝑄|, lub |𝐶𝑄| = |𝐶𝐷|).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech |𝐵𝑃| = 𝑥.\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych wnioskujemy, że |𝐵𝐷| = |𝐵𝑃| = 𝑥.\nZ założenia |𝐶𝐷| = 2 ∙|𝐵𝐷| otrzymujemy |𝐶𝐷| = 2𝑥. Z twierdzenia o odcinkach stycznych\nwnioskujemy, że |𝐶𝑄| = |𝐶𝐷| = 2𝑥 (zobacz rysunek).\nPonieważ |𝐴𝑄| = 5 ∙|𝐵𝑃|, więc |𝐴𝑄| = 5𝑥. Ponownie z twierdzenia o odcinkach stycznych\nwnioskujemy, że |𝐴𝑃| = |𝐴𝑄| = 5𝑥.\nZatem |𝐴𝐶| = |𝐴𝑄| -|𝐶𝑄| = 5𝑥-2𝑥= 3𝑥 oraz |𝐵𝐶| = |𝐵𝐷| + |𝐶𝐷| = 𝑥+ 2𝑥= 3𝑥.\nWobec tego |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny. To należało wykazać.\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n𝑄\nokrąg 𝒪\n𝑃\n𝐵\n𝑥\n𝑥\n2𝑥\n2𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (0-3)<br>Dany jest okrąg 𝒪. Przez punkt 𝐴 poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego<br>okręgu w punktach - odpowiednio - 𝑃 oraz 𝑄. Przez punkt 𝐵 leżący na odcinku 𝐴𝑃<br>poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie 𝐷, która przecięła odcinek 𝐴𝑄<br>w punkcie 𝐶 (zobacz rysunek).<br>Wykaż, że jeżeli |𝑨𝑸| = 𝟓∙|𝑩𝑷| oraz |𝑪𝑫| = 𝟐∙|𝑩𝑫|, to trójkąt 𝑨𝑩𝑪 jest<br>równoramienny.<br>𝐴<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐵<br>𝑃<br>𝑄<br>okrąg 𝒪</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Dany jest okrąg O. Przez punkt A poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - P oraz Q. Przez punkt B leżący na odcinku AP poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie D, która przecięła odcinek AQ w punkcie C (zobacz rysunek). [rysunek] Wykaż, że jeżeli |AQ|=5⋅|BP| oraz |CD|=2⋅|BD|, to trójkąt ABC jest równoramienny.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>VIII.1) wyznacza promienie i średnice<br>okręgów, długości cięciw okręgów oraz<br>odcinków stycznych, w tym<br>z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty oraz uzasadnienie, że |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.<br>2 pkt - wyznaczenie długości odcinków 𝐴𝑃, 𝐴𝑄, 𝐵𝐷, 𝐶𝐷, 𝐶𝑄 w zależności od tej samej<br>zmiennej, np. |𝐴𝑃| = 5𝑥, |𝐴𝑄| = 5𝑥, |𝐵𝐷| = 𝑥, |𝐶𝐷| = 2𝑥, |𝐶𝑄| = 2𝑥.<br>1 pkt - zapisanie równości wynikającej z twierdzenia o odcinkach stycznych: |𝐵𝐷| = |𝐵𝑃|<br>(lub |𝐴𝑃| = |𝐴𝑄|, lub |𝐶𝑄| = |𝐶𝐷|).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Niech |𝐵𝑃| = 𝑥.<br>Z twierdzenia o odcinkach stycznych wnioskujemy, że |𝐵𝐷| = |𝐵𝑃| = 𝑥.<br>Z założenia |𝐶𝐷| = 2 ∙|𝐵𝐷| otrzymujemy |𝐶𝐷| = 2𝑥. Z twierdzenia o odcinkach stycznych<br>wnioskujemy, że |𝐶𝑄| = |𝐶𝐷| = 2𝑥 (zobacz rysunek).<br>Ponieważ |𝐴𝑄| = 5 ∙|𝐵𝑃|, więc |𝐴𝑄| = 5𝑥. Ponownie z twierdzenia o odcinkach stycznych<br>wnioskujemy, że |𝐴𝑃| = |𝐴𝑄| = 5𝑥.<br>Zatem |𝐴𝐶| = |𝐴𝑄| -|𝐶𝑄| = 5𝑥-2𝑥= 3𝑥 oraz |𝐵𝐶| = |𝐵𝐷| + |𝐶𝐷| = 𝑥+ 2𝑥= 3𝑥.<br>Wobec tego |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny. To należało wykazać.<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐴<br>𝑄<br>okrąg 𝒪<br>𝑃<br>𝐵<br>𝑥<br>𝑥<br>2𝑥<br>2𝑥<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>Dowód.</p>"}]}