{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nDany jest nieskończony szereg geometryczny\n2𝑥-\n6𝑥\n𝑥-1 +\n18𝑥\n(𝑥-1)2 -\n54𝑥\n(𝑥-1)3 + …\nWyznacz wszystkie wartości zmiennej 𝒙 (różnej od 𝟎 i od 𝟏), dla których suma tego\nszeregu istnieje i jest równa 𝟏𝟓\n𝟐 . Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nDany jest nieskończony szereg geometryczny 2x - 6x/x-1 + 18x/(x-1)^2 - 54x/(x-1)^3 + … Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x (różnej od 0 i od 1), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa 15/2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi\ngeometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości zmiennej 𝑥, dla których suma szeregu\nistnieje (𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞) ) oraz poprawne wyznaczenie wszystkich wartości\nzmiennej 𝑥, dla których suma jest równa\n15\n2 : 𝑥= 6.\n3 pkt - wyznaczenie zbioru wszystkich wartości 𝑥, dla których istnieje skończona suma\nszeregu ( 𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞) ) oraz zastosowanie wzoru na sumę szeregu\ngeometrycznego, wyznaczenie tej sumy i zapisanie równania z niewiadomą 𝑥:\n2𝑥\n1-(-3\n𝑥-1) =\n15\n2\nALBO\n- zapisanie warunku zbieżności szeregu (|𝑞| < 1) oraz zastosowanie wzoru na sumę\nszeregu geometrycznego, wyznaczenie tej sumy, zapisanie równania z niewiadomą\n𝑥 (\n2𝑥\n1-(-3\n𝑥-1) =\n15\n2 ) i rozwiązanie tego równania: 𝑥= -\n5\n4 , 𝑥= 6.\n2 pkt - wyznaczenie zbioru wszystkich wartości 𝑥, dla których istnieje skończona suma\nszeregu: 𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞)\nALBO\n- zapisanie warunku zbieżności szeregu (|𝑞| < 1) oraz zastosowanie wzoru na sumę\nszeregu geometrycznego, wyznaczenie tej sumy i zapisanie równania z niewiadomą\n𝑥:\n2𝑥\n1 -(-\n3\n𝑥-1)\n= 15\n2\n1 pkt - zapisanie ilorazu: 𝑞= -\n3\n𝑥-1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeśli zdający rozwiąże odpowiednie równanie i zapisze: 𝑥= -\n5\n4 ∨ 𝑥= 6, a następnie\nobliczy iloraz szeregu dla każdej z wyznaczonych wartości zmiennych i na tej podstawie\ndokona właściwego wyboru rozwiązania, to otrzymuje 4 punkty.\n2. Jeśli zdający rozwiąże zadanie bez rozważenia warunku |𝑞| < 1, to może otrzymać\nmaksymalnie 2 punkty.\n3. Jeśli zdający zapisze poprawny warunek zbieżności szeregu: |-\n3\n𝑥-1| < 1, ale popełni błąd\nprzy wyznaczaniu przedziału zbieżności i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to\nmoże otrzymać 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający popełni błąd przy wyznaczaniu ilorazu ciągu, który będzie wyrażeniem\nwymiernym zmiennej 𝑥, np. zapisze, że 𝑞= -\n3𝑥\n𝑥-1 , i konsekwentnie rozwiąże zadanie do\nkońca, to może otrzymać maksymalnie 2 punkty.\n5. Jeśli zdający zapisze dany szereg jako sumę dwóch szeregów postaci\n2𝑥+\n18𝑥\n(𝑥-1)2 +\n172𝑥\n(𝑥-1)4 + … oraz -\n6𝑥\n𝑥-1 -\n54𝑥\n(𝑥-1)3 -\n516𝑥\n(𝑥-1)5 - … bez odpowiedniego komentarza\ni rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, obliczając sumę dwóch szeregów, to może\notrzymać maksymalnie 3 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPierwszy wyraz i iloraz tego szeregu są równe, odpowiednio, 𝑎1 = 2𝑥 oraz\n𝑞= -\n3\n𝑥-1 . Ponieważ 𝑥≠1 i 𝑥≠0, to szereg ten jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy\n3\n𝑥-1| < 1, czyli |𝑥-1| > 3. Stąd 𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞).\nWtedy suma 𝑆 tego szeregu jest skończona i równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞=\n2𝑥\n1 -(-\n3\n𝑥-1)\n= 2𝑥(𝑥-1)\n𝑥+ 2\nRozwiązujemy równanie\n2𝑥(𝑥-1)\n𝑥+2\n15\n2 w zbiorze (-∞, -2) ∪(4, +∞):\n2𝑥(𝑥-1)\n𝑥+ 2\n= 15\n2\n4𝑥(𝑥-1) = 15(𝑥+ 2)\n4𝑥2 -19𝑥-30 = 0\n𝑥= -5\n4 ∉(-∞, -2) ∪(4, +∞) lub 𝑥= 6 ∈(-∞, -2) ∪(4, +∞)\nZatem 𝑥= 6.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$x = 6$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"ciagi","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-4)
Dany jest nieskończony szereg geometryczny
2𝑥-
6𝑥
𝑥-1 +
18𝑥
(𝑥-1)2 -
54𝑥
(𝑥-1)3 + …
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej 𝒙 (różnej od 𝟎 i od 𝟏), dla których suma tego
szeregu istnieje i jest równa 𝟏𝟓
𝟐 . Zapisz obliczenia.

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Dany jest nieskończony szereg geometryczny 2x - 6x/x-1 + 18x/(x-1)^2 - 54x/(x-1)^3 + … Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x (różnej od 0 i od 1), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa 15/2.

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
VI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi
geometryczne i oblicza ich sumę.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości zmiennej 𝑥, dla których suma szeregu
istnieje (𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞) ) oraz poprawne wyznaczenie wszystkich wartości
zmiennej 𝑥, dla których suma jest równa
15
2 : 𝑥= 6.
3 pkt - wyznaczenie zbioru wszystkich wartości 𝑥, dla których istnieje skończona suma
szeregu ( 𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞) ) oraz zastosowanie wzoru na sumę szeregu
geometrycznego, wyznaczenie tej sumy i zapisanie równania z niewiadomą 𝑥:
2𝑥
1-(-3
𝑥-1) =
15
2
ALBO

\n\n

szeregu geometrycznego, wyznaczenie tej sumy, zapisanie równania z niewiadomą
𝑥 (
2𝑥
1-(-3
𝑥-1) =
15
2 ) i rozwiązanie tego równania: 𝑥= -
5
4 , 𝑥= 6.
2 pkt - wyznaczenie zbioru wszystkich wartości 𝑥, dla których istnieje skończona suma
szeregu: 𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞)
ALBO

\n\n

szeregu geometrycznego, wyznaczenie tej sumy i zapisanie równania z niewiadomą
𝑥:
2𝑥
1 -(-
3
𝑥-1)
= 15
2
1 pkt - zapisanie ilorazu: 𝑞= -
3
𝑥-1 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeśli zdający rozwiąże odpowiednie równanie i zapisze: 𝑥= -
\n

5
4 ∨ 𝑥= 6, a następnie
obliczy iloraz szeregu dla każdej z wyznaczonych wartości zmiennych i na tej podstawie
dokona właściwego wyboru rozwiązania, to otrzymuje 4 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie bez rozważenia warunku |𝑞| < 1, to może otrzymać
\n

maksymalnie 2 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający zapisze poprawny warunek zbieżności szeregu: |-
\n

3
𝑥-1| < 1, ale popełni błąd
przy wyznaczaniu przedziału zbieżności i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to
może otrzymać 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd przy wyznaczaniu ilorazu ciągu, który będzie wyrażeniem
\n

wymiernym zmiennej 𝑥, np. zapisze, że 𝑞= -
3𝑥
𝑥-1 , i konsekwentnie rozwiąże zadanie do
końca, to może otrzymać maksymalnie 2 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający zapisze dany szereg jako sumę dwóch szeregów postaci
\n

2𝑥+
18𝑥
(𝑥-1)2 +
172𝑥
(𝑥-1)4 + … oraz -
6𝑥
𝑥-1 -
54𝑥
(𝑥-1)3 -
516𝑥
(𝑥-1)5 - … bez odpowiedniego komentarza
i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, obliczając sumę dwóch szeregów, to może
otrzymać maksymalnie 3 punkty.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Pierwszy wyraz i iloraz tego szeregu są równe, odpowiednio, 𝑎1 = 2𝑥 oraz
𝑞= -
3
𝑥-1 . Ponieważ 𝑥≠1 i 𝑥≠0, to szereg ten jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
3
𝑥-1| < 1, czyli |𝑥-1| > 3. Stąd 𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞).
Wtedy suma 𝑆 tego szeregu jest skończona i równa
𝑆=
𝑎1
1 -𝑞=
2𝑥
1 -(-
3
𝑥-1)
= 2𝑥(𝑥-1)
𝑥+ 2
Rozwiązujemy równanie
2𝑥(𝑥-1)
𝑥+2
15
2 w zbiorze (-∞, -2) ∪(4, +∞):
2𝑥(𝑥-1)
𝑥+ 2
= 15
2
4𝑥(𝑥-1) = 15(𝑥+ 2)
4𝑥2 -19𝑥-30 = 0
𝑥= -5
4 ∉(-∞, -2) ∪(4, +∞) lub 𝑥= 6 ∈(-∞, -2) ∪(4, +∞)
Zatem 𝑥= 6.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = 6$

"}]}