{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nRozwiąż równanie\n𝐬𝐢𝐧(𝟓𝒙) + 𝐜𝐨𝐬𝒙= 𝟎\nw zbiorze [-𝝅\n𝟐, 𝝅\n𝟐 ]. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż równanie sin(5x) + cos x = 0 w zbiorze <-π/2,π/2>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n2. Używanie języka matematycznego do\ntworzenia tekstów matematycznych, w tym\ndo opisu prowadzonych rozumowań\ni uzasadniania wniosków, a także do\nprzedstawiania danych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne o stopniu trudności nie\nwiększym niż w przykładzie\n4 cos 2𝑥cos 5𝑥= 2 cos 7𝑥+ 1.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne metoda rozwiązania równania i poprawny wynik: -\n𝜋\n8,\n3𝜋\n8 , -\n5𝜋\n12 , -\n𝜋\n12,\n𝜋\n4 .\n3 pkt - rozwiązanie równania sin(5𝑥) = sin (𝑥-\n𝜋\n2) (lub równania cos 𝑥= cos (5𝑥+\n𝜋\n2) )\nw zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑥= -\n𝜋\n8 +\n𝑘𝜋\n2 lub 𝑥=\n𝜋\n4 +\n𝑘𝜋\n3 , gdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- przekształcenie równania do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych\ni rozwiązanie jednego z tych równań w zbiorze [-\n𝜋\n2 ,\n𝜋\n2],\nALBO\n- przekształcenie równania do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych\ni rozwiązanie wszystkich równań tej alternatywy w zbiorze ℝ.\n2 pkt - równoważne przekształcenie równania do postaci, która jest równością sinusów lub\ncosinusów, np. sin(5𝑥) = sin (𝑥-\n𝜋\n2), cos𝑥= cos (5𝑥+\n𝜋\n2)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sumę sinusów lub na sumę cosinusów i przekształcenie\nrównania do postaci alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych, np.\nsin(2𝑥+\n𝜋\n4) = 0 lub cos(3𝑥-\n𝜋\n4) = 0, cos(\n𝜋\n4 -2𝑥) = 0 lub cos(\n𝜋\n4 -3𝑥) = 0.\n1 pkt - zastosowanie wzoru redukcyjnego i przekształcenie równania do postaci, w której\nwystępuje tylko jedna funkcja trygonometryczna, np. sin(5𝑥) + sin (\n𝜋\n2 -𝑥) = 0,\ncos (\n𝜋\n2 -5𝑥) + cos 𝑥= 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (równość sinusów)\nZapisujemy równanie w postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja\ntrygonometryczna zmiennej 𝑥:\nsin(5𝑥) + cos 𝑥= 0\nsin(5𝑥) + sin (𝜋\n2 -𝑥) = 0\nsin(5𝑥) = -sin (𝜋\n2 -𝑥)\nPonieważ funkcja sinus jest nieparzysta, więc\nsin(5𝑥) = sin (𝑥-𝜋\n2)\nStąd\n5𝑥= 𝑥-𝜋\n2 + 2𝑘𝜋 lub 5𝑥= 𝜋-(𝑥-𝜋\n2) + 2𝑘𝜋\n𝑥= -𝜋\n8 + 𝑘𝜋\n2 lub 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋\n3\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nWyznaczamy rozwiązania równania sin(5𝑥) + cos𝑥= 0 w zbiorze [-\n𝜋\n2 ,\n𝜋\n2]:\n-𝜋\n8, 3𝜋\n8 , - 5𝜋\n12 , -𝜋\n12, 𝜋\n4\nSposób II (poprzez sumę sinusów)\nZapisujemy równanie w postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja\ntrygonometryczna zmiennej 𝑥:\nsin(5𝑥) + cos 𝑥= 0\nsin(5𝑥) + sin (𝜋\n2 -𝑥) = 0\nKorzystamy ze wzoru na sumę sinusów i otrzymujemy\n2 sin (\n5𝑥+ 𝜋\n2 -𝑥\n2\n) ⋅cos (\n5𝑥-(𝜋\n2 -𝑥)\n2\n) = 0\nsin (2𝑥+ 𝜋\n4) = 0 lub cos (3𝑥-𝜋\n4) = 0\n2𝑥+ 𝜋\n4 = 𝑘𝜋 lub 3𝑥-𝜋\n4 = 𝜋\n2 + 𝑘𝜋\n𝑥= -𝜋\n8 + 𝑘𝜋\n2 lub 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋\n3\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nWyznaczamy rozwiązania równania sin(5𝑥) + cos𝑥= 0 w zbiorze [-\n𝜋\n2 ,\n𝜋\n2]:\n-𝜋\n8, 3𝜋\n8 , - 5𝜋\n12 , -𝜋\n12, 𝜋\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$x \\in \\left\\{-\\dfrac{\\pi}{8}, \\dfrac{3\\pi}{8}, -\\dfrac{5\\pi}{12}, -\\dfrac{\\pi}{12}, \\dfrac{\\pi}{4}\\right\\}$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"trygonometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-4)<br>Rozwiąż równanie<br>𝐬𝐢𝐧(𝟓𝒙) + 𝐜𝐨𝐬𝒙= 𝟎<br>w zbiorze [-𝝅<br>𝟐, 𝝅<br>𝟐 ]. Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Rozwiąż równanie sin(5x) + cos x = 0 w zbiorze &lt;-π/2,π/2&gt;.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-4)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymagania ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Używanie języka matematycznego do</li></ol>\n<p>tworzenia tekstów matematycznych, w tym<br>do opisu prowadzonych rozumowań<br>i uzasadniania wniosków, a także do<br>przedstawiania danych.<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VII.R6) rozwiązuje równania<br>trygonometryczne o stopniu trudności nie<br>większym niż w przykładzie<br>4 cos 2𝑥cos 5𝑥= 2 cos 7𝑥+ 1.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - poprawne metoda rozwiązania równania i poprawny wynik: -<br>𝜋<br>8,<br>3𝜋<br>8 , -<br>5𝜋<br>12 , -<br>𝜋<br>12,<br>𝜋<br>4 .<br>3 pkt - rozwiązanie równania sin(5𝑥) = sin (𝑥-<br>𝜋</p>\n<ol><li>(lub równania cos 𝑥= cos (5𝑥+</li></ol>\n<p>𝜋</p>\n<ol><li>)</li></ol>\n<p>w zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑥= -<br>𝜋<br>8 +<br>𝑘𝜋<br>2 lub 𝑥=<br>𝜋<br>4 +<br>𝑘𝜋<br>3 , gdzie 𝑘∈ℤ<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych</li></ul>\n<p>i rozwiązanie jednego z tych równań w zbiorze [-<br>𝜋<br>2 ,<br>𝜋<br>2],<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych</li></ul>\n<p>i rozwiązanie wszystkich równań tej alternatywy w zbiorze ℝ.<br>2 pkt - równoważne przekształcenie równania do postaci, która jest równością sinusów lub<br>cosinusów, np. sin(5𝑥) = sin (𝑥-<br>𝜋<br>2), cos𝑥= cos (5𝑥+<br>𝜋<br>2)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie wzoru na sumę sinusów lub na sumę cosinusów i przekształcenie</li></ul>\n<p>równania do postaci alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych, np.<br>sin(2𝑥+<br>𝜋</p>\n<ol><li>= 0 lub cos(3𝑥-</li></ol>\n<p>𝜋</p>\n<ol><li>= 0, cos(</li></ol>\n<p>𝜋<br>4 -2𝑥) = 0 lub cos(<br>𝜋<br>4 -3𝑥) = 0.<br>1 pkt - zastosowanie wzoru redukcyjnego i przekształcenie równania do postaci, w której<br>występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna, np. sin(5𝑥) + sin (<br>𝜋<br>2 -𝑥) = 0,<br>cos (<br>𝜋<br>2 -5𝑥) + cos 𝑥= 0.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I (równość sinusów)<br>Zapisujemy równanie w postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja<br>trygonometryczna zmiennej 𝑥:<br>sin(5𝑥) + cos 𝑥= 0<br>sin(5𝑥) + sin (𝜋<br>2 -𝑥) = 0<br>sin(5𝑥) = -sin (𝜋<br>2 -𝑥)<br>Ponieważ funkcja sinus jest nieparzysta, więc<br>sin(5𝑥) = sin (𝑥-𝜋<br>2)<br>Stąd<br>5𝑥= 𝑥-𝜋<br>2 + 2𝑘𝜋 lub 5𝑥= 𝜋-(𝑥-𝜋</p>\n<ol><li>+ 2𝑘𝜋</li></ol>\n<p>𝑥= -𝜋<br>8 + 𝑘𝜋<br>2 lub 𝑥= 𝜋<br>4 + 𝑘𝜋<br>3<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Wyznaczamy rozwiązania równania sin(5𝑥) + cos𝑥= 0 w zbiorze [-<br>𝜋<br>2 ,<br>𝜋<br>2]:<br>-𝜋<br>8, 3𝜋<br>8 , - 5𝜋<br>12 , -𝜋<br>12, 𝜋<br>4<br>Sposób II (poprzez sumę sinusów)<br>Zapisujemy równanie w postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja<br>trygonometryczna zmiennej 𝑥:<br>sin(5𝑥) + cos 𝑥= 0<br>sin(5𝑥) + sin (𝜋<br>2 -𝑥) = 0<br>Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów i otrzymujemy<br>2 sin (<br>5𝑥+ 𝜋<br>2 -𝑥<br>2<br>) ⋅cos (<br>5𝑥-(𝜋<br>2 -𝑥)<br>2<br>) = 0<br>sin (2𝑥+ 𝜋</p>\n<ol><li>= 0 lub cos (3𝑥-𝜋</li><li>= 0</li></ol>\n<p>2𝑥+ 𝜋<br>4 = 𝑘𝜋 lub 3𝑥-𝜋<br>4 = 𝜋<br>2 + 𝑘𝜋<br>𝑥= -𝜋<br>8 + 𝑘𝜋<br>2 lub 𝑥= 𝜋<br>4 + 𝑘𝜋<br>3<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Wyznaczamy rozwiązania równania sin(5𝑥) + cos𝑥= 0 w zbiorze [-<br>𝜋<br>2 ,<br>𝜋<br>2]:<br>-𝜋<br>8, 3𝜋<br>8 , - 5𝜋<br>12 , -𝜋<br>12, 𝜋<br>4<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$x \\in \\left\\{-\\dfrac{\\pi}{8}, \\dfrac{3\\pi}{8}, -\\dfrac{5\\pi}{12}, -\\dfrac{\\pi}{12}, \\dfrac{\\pi}{4}\\right\\}$</p>"}]}