{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nW okrąg o równaniu (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 25 wpisano trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Bok 𝐴𝐵 tego\ntrójkąta jest zawarty w prostej o równaniu 4𝑥-3𝑦+ 2 = 0. Wysokość 𝐶𝐷 tego trójkąta\ndzieli bok 𝐴𝐵 tak, że |𝐴𝐷| = 4 ⋅|𝐷𝐵|.\nOblicz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW okrąg o równaniu (x-1)^2+(y-2)^2=25 wpisano trójkąt ABC. Bok AB tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu 4x-3y+2=0. Wysokość CD tego trójkąta dzieli bok AB tak, że |AD|=4⋅|DB|. Oblicz pole trójkąta ABC.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n4 pkt - poprawna metoda rozwiązania i poprawny wynik: 𝑃= 20.\n3 pkt - obliczenie wysokości 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: |𝐶𝐷| = 4.\n2 pkt - obliczenie (podanie) długości odcinków 𝐴𝐷 i 𝐵𝐷: |𝐴𝐷| = 8 oraz |𝐷𝐵| = 2.\n1 pkt - zapisanie, że bok 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest średnicą danego okręgu\nALBO\n- zapisanie, że środek 𝑆= (1, 2) danego okręgu leży na prostej o równaniu\n4𝑥-3𝑦+ 2 = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n4 pkt - poprawna metoda rozwiązania i poprawny wynik: 𝑃= 20.\n3 pkt - obliczenie współrzędnych wierzchołka 𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝐶= (6, 2) lub 𝐶= (-\n2\n5 ,\n34\n5 ).\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (\n14\n5 ,\n22\n5 ).\n1 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵, np. 𝐴= (-2, -2) i 𝐵= (4, 6).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający popełnia w rozwiązaniu błąd merytoryczny albo błędnie odgaduje np. długości\nodcinków 𝐴𝐷 i 𝐵𝐷, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ prosta o równaniu 4𝑥-3𝑦+ 2 = 0 przechodzi przez środek 𝑆= (1, 2) danego\nokręgu, więc bok 𝐴𝐵 jest średnicą tego okręgu. Zatem |𝐴𝐵| = 10. Wysokość 𝐶𝐷 dzieli bok\n𝐴𝐵 tak, że |𝐴𝐷| = 4|𝐷𝐵|. Stąd i z |𝐴𝐷| + |𝐷𝐵| = 10 wynika, że |𝐴𝐷| = 8 oraz |𝐷𝐵| = 2.\nPonieważ kąt 𝐴𝐶𝐵 jest kątem wpisanym w okrąg, opartym na średnicy, więc jest kątem\nprostym. Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną 𝐴𝐵\ntak, że |𝐶𝐷| = √|𝐴𝐷| ∙|𝐷𝐵| = √8 ∙2 = 4. Zatem pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe\n𝑃= 1\n2 ∙|𝐴𝐵| ∙|𝐶𝐷| = 1\n2 ∙10 ∙4 = 20\nSposób II\nPonieważ prosta o równaniu 4𝑥-3𝑦+ 2 = 0 przechodzi przez środek 𝑆= (1, 2) danego\nokręgu, więc bok 𝐴𝐵 jest średnicą tego okręgu. Obliczamy współrzędne punktów 𝐴 i 𝐵,\nrozwiązując układ równań: 4𝑥-3𝑦+ 2 = 0 i (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 25.\nZ pierwszego z równań układu wyznaczamy 𝑥: 𝑥=\n3𝑦-2\n4 i podstawiamy do drugiego z\nrównań układu, otrzymując kolejno:\n(3𝑦-2\n4\n-1)\n2\n+ (𝑦-2)2 = 25\n(3𝑦-6\n4\n)\n2\n+ (𝑦-2)2 = 25\n9\n16 (𝑦-2)2 + (𝑦-2)2 = 25\n(𝑦-2)2 = 16\n|𝑦-2| = 4\n𝑦= -2 lub 𝑦= 6\nGdy 𝑦= -2, to 𝑥= -2. Gdy 𝑦= 6, to 𝑥= 4.\nZe względu na symetrię, możemy przyjąć, że 𝐴= (-2, -2) i 𝐵= (4, 6). Wtedy |𝐴𝐵| = 10.\nPonieważ 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =\n4\n5 ∙𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , więc 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =\n4\n5 ∙[6, 8] = [\n24\n5 ,\n32\n5 ]. Stąd wynika, że 𝐷= (\n14\n5 ,\n22\n5 ).\nWyznaczamy równanie prostej, która zawiera wysokość 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏\nProsta ta jest prostopadła do prostej 4𝑥-3𝑦+ 2 = 0, więc\n4\n3 ⋅𝑎= -1. Stąd 𝑎= -\n3\n4 .\nWykorzystując współrzędne punktu 𝐷, otrzymujemy\n22\n5 = -\n3\n4 ⋅\n14\n5 + 𝑏, czyli 𝑏=\n13\n2 .\nWyznaczamy współrzędne punktu 𝐶, rozwiązując układ równań\n𝑦= -3\n4 𝑥+ 13\n2 i (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 25\nOtrzymujemy\n(𝑥-1)2 + (-3\n4 𝑥+ 13\n2 -2)\n2\n= 25\n(𝑥-1)2 + (-3\n4 𝑥+ 9\n2)\n2\n= 25\n𝑥2 -2𝑥+ 1 + 9\n16 𝑥2 -27\n4 𝑥+ 81\n4 -25 = 0\n5𝑥2 -28𝑥-12 = 0\n(𝑥-6)(5𝑥+ 2) = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥= 6 lub 𝑥= -2\n5\nStąd 𝐶= (6, 2) lub 𝐶= (-\n2\n5 ,\n34\n5 ).\nObliczamy wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\nDla 𝐶= (6, 2) otrzymujemy |𝐷𝐶| = √(6 -\n14\n5 )\n2\n+ (2 -\n22\n5 )\n2\n= 4.\nDla 𝐶= (-\n2\n5 ,\n34\n5 ) otrzymujemy |𝐷𝐶| = √(-\n2\n5 -\n14\n5 )\n2\n+ (\n34\n5 -\n22\n5 )\n2\n= 4.\nZatem pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe\n𝑃= 1\n2 ∙|𝐴𝐵| ∙|𝐶𝐷| = 1\n2 ∙10 ∙4 = 20\nUwaga:\nPrzyjmując 𝐴= (4, 6) i 𝐵= (-2, -2), otrzymujemy 𝐷= (-\n4\n5 , -\n2\n5). Wtedy prosta, która\nzawiera wysokość 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, ma równanie 𝑦= -\n3\n4 𝑥-1. Współrzędne punktu 𝐶\nobliczamy, rozwiązując układ równań: 𝑦= -\n3\n4 𝑥-1 i (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 25.\nOtrzymujemy: 𝐶= (-4, 2) lub 𝐶= (\n12\n5 , -\n14\n5 ). Dla obu tych przypadków |𝐶𝐷| = 4 i pole\n𝑃=\n1\n2 ⋅10 ⋅4 = 20.","solution":"$P = 20$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"analityczna","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
W okrąg o równaniu (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 25 wpisano trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Bok 𝐴𝐵 tego
trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu 4𝑥-3𝑦+ 2 = 0. Wysokość 𝐶𝐷 tego trójkąta
dzieli bok 𝐴𝐵 tak, że |𝐴𝐷| = 4 ⋅|𝐷𝐵|.
Oblicz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪. Zapisz obliczenia.

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
W okrąg o równaniu (x-1)^2+(y-2)^2=25 wpisano trójkąt ABC. Bok AB tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu 4x-3y+2=0. Wysokość CD tego trójkąta dzieli bok AB tak, że |AD|=4⋅|DB|. Oblicz pole trójkąta ABC.

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Dobieranie argumentów do uzasadnienia
\n

poprawności rozwiązywania problemów,
tworzenie ciągu argumentów,
gwarantujących poprawność rozwiązania
i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań
zagadnienia.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
VIII.5) stosuje własności kątów wpisanych
i środkowych.
IX.4) posługuje się równaniem okręgu
(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.
Zasady oceniania (dla sposobu I)
4 pkt - poprawna metoda rozwiązania i poprawny wynik: 𝑃= 20.
3 pkt - obliczenie wysokości 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: |𝐶𝐷| = 4.
2 pkt - obliczenie (podanie) długości odcinków 𝐴𝐷 i 𝐵𝐷: |𝐴𝐷| = 8 oraz |𝐷𝐵| = 2.
1 pkt - zapisanie, że bok 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest średnicą danego okręgu
ALBO

\n\n

4𝑥-3𝑦+ 2 = 0.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania (dla sposobu II)
4 pkt - poprawna metoda rozwiązania i poprawny wynik: 𝑃= 20.
3 pkt - obliczenie współrzędnych wierzchołka 𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝐶= (6, 2) lub 𝐶= (-
2
5 ,
34
5 ).
2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (
14
5 ,
22
5 ).
1 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵, np. 𝐴= (-2, -2) i 𝐵= (4, 6).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeśli zdający popełnia w rozwiązaniu błąd merytoryczny albo błędnie odgaduje np. długości
odcinków 𝐴𝐷 i 𝐵𝐷, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Ponieważ prosta o równaniu 4𝑥-3𝑦+ 2 = 0 przechodzi przez środek 𝑆= (1, 2) danego
okręgu, więc bok 𝐴𝐵 jest średnicą tego okręgu. Zatem |𝐴𝐵| = 10. Wysokość 𝐶𝐷 dzieli bok
𝐴𝐵 tak, że |𝐴𝐷| = 4|𝐷𝐵|. Stąd i z |𝐴𝐷| + |𝐷𝐵| = 10 wynika, że |𝐴𝐷| = 8 oraz |𝐷𝐵| = 2.
Ponieważ kąt 𝐴𝐶𝐵 jest kątem wpisanym w okrąg, opartym na średnicy, więc jest kątem
prostym. Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną 𝐴𝐵
tak, że |𝐶𝐷| = √|𝐴𝐷| ∙|𝐷𝐵| = √8 ∙2 = 4. Zatem pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe
𝑃= 1
2 ∙|𝐴𝐵| ∙|𝐶𝐷| = 1
2 ∙10 ∙4 = 20
Sposób II
Ponieważ prosta o równaniu 4𝑥-3𝑦+ 2 = 0 przechodzi przez środek 𝑆= (1, 2) danego
okręgu, więc bok 𝐴𝐵 jest średnicą tego okręgu. Obliczamy współrzędne punktów 𝐴 i 𝐵,
rozwiązując układ równań: 4𝑥-3𝑦+ 2 = 0 i (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 25.
Z pierwszego z równań układu wyznaczamy 𝑥: 𝑥=
3𝑦-2
4 i podstawiamy do drugiego z
równań układu, otrzymując kolejno:
(3𝑦-2
4
-1)
2

\n\n

(3𝑦-6
4
)
2

\n\n

9
16 (𝑦-2)2 + (𝑦-2)2 = 25
(𝑦-2)2 = 16
|𝑦-2| = 4
𝑦= -2 lub 𝑦= 6
Gdy 𝑦= -2, to 𝑥= -2. Gdy 𝑦= 6, to 𝑥= 4.
Ze względu na symetrię, możemy przyjąć, że 𝐴= (-2, -2) i 𝐵= (4, 6). Wtedy |𝐴𝐵| = 10.
Ponieważ 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =
4
5 ∙𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , więc 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =
4
5 ∙[6, 8] = [
24
5 ,
32
5 ]. Stąd wynika, że 𝐷= (
14
5 ,
22
5 ).
Wyznaczamy równanie prostej, która zawiera wysokość 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏
Prosta ta jest prostopadła do prostej 4𝑥-3𝑦+ 2 = 0, więc
4
3 ⋅𝑎= -1. Stąd 𝑎= -
3
4 .
Wykorzystując współrzędne punktu 𝐷, otrzymujemy
22
5 = -
3
4 ⋅
14
5 + 𝑏, czyli 𝑏=
13
2 .
Wyznaczamy współrzędne punktu 𝐶, rozwiązując układ równań
𝑦= -3
4 𝑥+ 13
2 i (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 25
Otrzymujemy
(𝑥-1)2 + (-3
4 𝑥+ 13
2 -2)
2
= 25
(𝑥-1)2 + (-3
4 𝑥+ 9
2)
2
= 25
𝑥2 -2𝑥+ 1 + 9
16 𝑥2 -27
4 𝑥+ 81
4 -25 = 0
5𝑥2 -28𝑥-12 = 0
(𝑥-6)(5𝑥+ 2) = 0
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑥= 6 lub 𝑥= -2
5
Stąd 𝐶= (6, 2) lub 𝐶= (-
2
5 ,
34
5 ).
Obliczamy wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶.
Dla 𝐶= (6, 2) otrzymujemy |𝐷𝐶| = √(6 -
14
5 )
2

\n\n

22
5 )
2
= 4.
Dla 𝐶= (-
2
5 ,
34
5 ) otrzymujemy |𝐷𝐶| = √(-
2
5 -
14
5 )
2

\n\n

34
5 -
22
5 )
2
= 4.
Zatem pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe
𝑃= 1
2 ∙|𝐴𝐵| ∙|𝐶𝐷| = 1
2 ∙10 ∙4 = 20
Uwaga:
Przyjmując 𝐴= (4, 6) i 𝐵= (-2, -2), otrzymujemy 𝐷= (-
4
5 , -
2
5). Wtedy prosta, która
zawiera wysokość 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, ma równanie 𝑦= -
3
4 𝑥-1. Współrzędne punktu 𝐶
obliczamy, rozwiązując układ równań: 𝑦= -
3
4 𝑥-1 i (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 25.
Otrzymujemy: 𝐶= (-4, 2) lub 𝐶= (
12
5 , -
14
5 ). Dla obu tych przypadków |𝐶𝐷| = 4 i pole
𝑃=
1
2 ⋅10 ⋅4 = 20.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P = 20$

"}]}