{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz\nzapisanie zbioru rozwiązań nierówności: (0, 3\n2) lub 𝑥∈(0, 3\n2)\nALBO\n- spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz\nprzedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie\nzaznaczonymi końcami przedziału\n1 pkt - obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 2𝑥2 -3𝑥:\n𝑥1 = 0 oraz 𝑥2 = 3\n2\nALBO\n- zaznaczenie na wykresie funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -3𝑥 miejsc zerowych tej\nfunkcji i podanie tych miejsc zerowych: 𝑥1 = 0 oraz 𝑥2 = 3\n2 ,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 dla dwóch przypadków\n(spośród trzech) rozpatrywanych w sposobie 2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 2𝑥2 -3𝑥, popełni błąd (ale otrzyma dwa\nróżne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n0\n𝑥\n3\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. 2𝑥2 -𝑥) i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np.\n2𝑥2 -𝑥< 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez 𝑥 (albo 2𝑥) bez stosownego\nzałożenia, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (\n3\n2 , 0) (lub 𝑥∈(\n3\n2 , 0) ), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzekształcamy nierówność równoważnie:\n𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥\n2𝑥2 -𝑥-2𝑥< 0\n2𝑥2 -3𝑥< 0\n2𝑥(𝑥-3\n2) < 0\nOdczytujemy i zapisujemy pierwiastki trójmianu 2𝑥(𝑥-\n3\n2): 𝑥= 0 lub 𝑥=\n3\n2 .\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (0,\n3\n2) lub 𝑥∈(0,\n3\n2), lub zaznaczamy zbiór\nrozwiązań na osi liczbowej\nInna realizacja obliczenia pierwiastków trójmianu:\nPrzekształcamy równoważnie nierówność do postaci 2𝑥2 -3𝑥< 0, obliczamy wyróżnik Δ\ntrójmianu 2𝑥2 -3𝑥, a następnie pierwiastki tego trójmianu:\nΔ = (-3)2 -4 ⋅2 ⋅0 = 9\n𝑥= -(-3) -3\n2 ⋅2\n= 0 lub 𝑥= -(-3) + 3\n2 ⋅2\n= 3\n2\n0\n𝑥\n3\n2\nSposób 2.\nRozpatrujemy trzy przypadki:\na) 𝑥∈(-∞, 0)\nPrzekształcamy nierówność, otrzymując:\n𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 /: 𝑥\n2𝑥-1 > 2\n𝑥> 3\n2\nNierówność 𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 nie ma rozwiązań w zbiorze (-∞, 0).\nb) 𝑥= 0\nGdy 𝑥= 0, to otrzymujemy nierówność 0 ⋅(2 ⋅0 -1) < 2 ⋅0, która jest fałszywa. Zatem\nliczba 0 nie jest rozwiązaniem nierówności 𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥.\nc) 𝑥∈(0, +∞)\nPrzekształcamy nierówność, otrzymując:\n𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 /: 𝑥\n2𝑥-1 < 2\n𝑥< 3\n2\nW zbiorze (0, +∞) rozwiązaniami nierówności 𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 są wszystkie liczby\nz przedziału (0,\n3\n2).\nOstatecznie zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 jest (0,\n3\n2).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 30. (0-2)<br>Rozwiąż nierówność<br>𝑥(2𝑥-1) &lt; 2𝑥</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 30. (0-2)<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz<br>zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: (0, 3</p>\n<ol><li>lub 𝑥∈(0, 3</li></ol>\n<p>2)<br>ALBO</p>\n<ul><li>spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz</li></ul>\n<p>przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie<br>zaznaczonymi końcami przedziału<br>1 pkt - obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 2𝑥2 -3𝑥:<br>𝑥1 = 0 oraz 𝑥2 = 3<br>2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zaznaczenie na wykresie funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -3𝑥 miejsc zerowych tej</li></ul>\n<p>funkcji i podanie tych miejsc zerowych: 𝑥1 = 0 oraz 𝑥2 = 3<br>2 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥(2𝑥-1) &lt; 2𝑥 dla dwóch przypadków</li></ul>\n<p>(spośród trzech) rozpatrywanych w sposobie 2.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 2𝑥2 -3𝑥, popełni błąd (ale otrzyma dwa</li></ol>\n<p>różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań<br>nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>0<br>𝑥<br>3<br>2<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie</li></ol>\n<p>obliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika</li></ol>\n<p>z błędu przekształcenia (np. 2𝑥2 -𝑥) i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np.<br>2𝑥2 -𝑥&lt; 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez 𝑥 (albo 2𝑥) bez stosownego</li></ol>\n<p>założenia, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki<br>Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności<br>w postaci (<br>3<br>2 , 0) (lub 𝑥∈(<br>3<br>2 , 0) ), to otrzymuje 2 punkty.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Przekształcamy nierówność równoważnie:<br>𝑥(2𝑥-1) &lt; 2𝑥<br>2𝑥2 -𝑥-2𝑥&lt; 0<br>2𝑥2 -3𝑥&lt; 0<br>2𝑥(𝑥-3</p>\n<ol><li>&lt; 0</li></ol>\n<p>Odczytujemy i zapisujemy pierwiastki trójmianu 2𝑥(𝑥-<br>3<br>2): 𝑥= 0 lub 𝑥=<br>3<br>2 .<br>Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (0,<br>3</p>\n<ol><li>lub 𝑥∈(0,</li></ol>\n<p>3<br>2), lub zaznaczamy zbiór<br>rozwiązań na osi liczbowej<br>Inna realizacja obliczenia pierwiastków trójmianu:<br>Przekształcamy równoważnie nierówność do postaci 2𝑥2 -3𝑥&lt; 0, obliczamy wyróżnik Δ<br>trójmianu 2𝑥2 -3𝑥, a następnie pierwiastki tego trójmianu:<br>Δ = (-3)2 -4 ⋅2 ⋅0 = 9<br>𝑥= -(-3) -3<br>2 ⋅2<br>= 0 lub 𝑥= -(-3) + 3<br>2 ⋅2<br>= 3<br>2<br>0<br>𝑥<br>3<br>2<br>Sposób 2.<br>Rozpatrujemy trzy przypadki:<br>a) 𝑥∈(-∞, 0)<br>Przekształcamy nierówność, otrzymując:<br>𝑥(2𝑥-1) &lt; 2𝑥 /: 𝑥<br>2𝑥-1 &gt; 2<br>𝑥&gt; 3<br>2<br>Nierówność 𝑥(2𝑥-1) &lt; 2𝑥 nie ma rozwiązań w zbiorze (-∞, 0).<br>b) 𝑥= 0<br>Gdy 𝑥= 0, to otrzymujemy nierówność 0 ⋅(2 ⋅0 -1) &lt; 2 ⋅0, która jest fałszywa. Zatem<br>liczba 0 nie jest rozwiązaniem nierówności 𝑥(2𝑥-1) &lt; 2𝑥.<br>c) 𝑥∈(0, +∞)<br>Przekształcamy nierówność, otrzymując:<br>𝑥(2𝑥-1) &lt; 2𝑥 /: 𝑥<br>2𝑥-1 &lt; 2<br>𝑥&lt; 3<br>2<br>W zbiorze (0, +∞) rozwiązaniami nierówności 𝑥(2𝑥-1) &lt; 2𝑥 są wszystkie liczby<br>z przedziału (0,<br>3<br>2).<br>Ostatecznie zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑥(2𝑥-1) &lt; 2𝑥 jest (0,<br>3<br>2).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}