{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 takiej, że\n𝑏≠𝑎, prawdziwa jest nierówność\n𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tzn. spełnienie kryterium określonego\nw zasadach oceniania za 1 pkt oraz sformułowanie poprawnego wniosku\nz powołaniem się na założenie.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏 do postaci równoważnej\n(𝑎-1)2 + 3(𝑏-1)2 > 0\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu 𝑎2 -2𝑎+ (3𝑏2 -6𝑏+ 4) zmiennej 𝑎\ni zapisanie go w postaci Δ = -12(𝑏-1)2,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu 3𝑏2 -6𝑏+ (𝑎2 -2𝑎+ 4) zmiennej 𝑏\ni zapisanie go w postaci Δ = -12(𝑎-1)2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏:\n𝑎2 -2𝑎+ 3𝑏2 -6𝑏+ 4 > 0\n𝑎2 -2𝑎+ 1 + 3𝑏2 -6𝑏+ 3 > 0\n(𝑎-1)2 + 3(𝑏2 -2𝑏+ 1) > 0\n(𝑎-1)2 + 3(𝑏-1)2 > 0\nLiczby (𝑎-1)2 oraz (𝑏-1)2 są nieujemne jako kwadraty liczb rzeczywistych.\nZ założenia wiadomo, że 𝑏≠𝑎, więc liczby 𝑎-1 oraz 𝑏-1 nie mogą być jednocześnie\nzerami. Stąd co najmniej jedna z liczb: (𝑎-1)2 lub (𝑏-1)2 jest dodatnia. Zatem\n(𝑎-1)2 + 3(𝑏-1)2 jest liczbą dodatnią jako suma liczby nieujemnej i liczby dodatniej.\nPonieważ nierówność (𝑎-1)2 + 3(𝑏-1)2 > 0 jest prawdziwa, więc nierówność\n𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏 również jest prawdziwa. To należało pokazać.\nSposób 2.\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏 i otrzymujemy\n𝑎2 -2𝑎+ 3𝑏2 -6𝑏+ 4 > 0.\nWyrażenie 𝑎2 -2𝑎+ (3𝑏2 -6𝑏+ 4) traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej np.\n𝑎. Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu:\nΔ = (-2)2 -4 ⋅(3𝑏2 -6𝑏+ 4)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nΔ = 4 -12𝑏2 + 24𝑏-16\nΔ = -12(𝑏2 -2𝑏+ 1)\nΔ = -12(𝑏-1)2\nGdy 𝑏≠1, to Δ < 0 i funkcja kwadratowa 𝑓(𝑎) = 𝑎2 -2𝑎+ (3𝑏2 -6𝑏+ 4) zmiennej\n𝑎 nie ma miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest\ndodatni, więc żaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem\nfunkcja przyjmuje wtedy tylko wartości dodatnie.\nGdy 𝑏= 1, to Δ = 0 i funkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑎= 1. Ponieważ\nwspółczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu\nfunkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla\nkażdego 𝑎≠1. Czyli dla 𝑎≠𝑏 funkcja przyjmuje wartości dodatnie.\nOstatecznie, gdy 𝑎≠𝑏, to funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie. Oznacza to, że dla\nkażdych liczb rzeczywistych 𝑎 i 𝑏 takich, że 𝑏≠𝑎 spełniona jest nierówność\n𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏. To należało pokazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 takiej, że
𝑏≠𝑎, prawdziwa jest nierówność
𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-2)
Zasady oceniania
2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tzn. spełnienie kryterium określonego
w zasadach oceniania za 1 pkt oraz sformułowanie poprawnego wniosku
z powołaniem się na założenie.
1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏 do postaci równoważnej
(𝑎-1)2 + 3(𝑏-1)2 > 0
ALBO

\n\n

i zapisanie go w postaci Δ = -12(𝑏-1)2,
ALBO

\n\n

i zapisanie go w postaci Δ = -12(𝑎-1)2.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏:
𝑎2 -2𝑎+ 3𝑏2 -6𝑏+ 4 > 0
𝑎2 -2𝑎+ 1 + 3𝑏2 -6𝑏+ 3 > 0
(𝑎-1)2 + 3(𝑏2 -2𝑏+ 1) > 0
(𝑎-1)2 + 3(𝑏-1)2 > 0
Liczby (𝑎-1)2 oraz (𝑏-1)2 są nieujemne jako kwadraty liczb rzeczywistych.
Z założenia wiadomo, że 𝑏≠𝑎, więc liczby 𝑎-1 oraz 𝑏-1 nie mogą być jednocześnie
zerami. Stąd co najmniej jedna z liczb: (𝑎-1)2 lub (𝑏-1)2 jest dodatnia. Zatem
(𝑎-1)2 + 3(𝑏-1)2 jest liczbą dodatnią jako suma liczby nieujemnej i liczby dodatniej.
Ponieważ nierówność (𝑎-1)2 + 3(𝑏-1)2 > 0 jest prawdziwa, więc nierówność
𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏 również jest prawdziwa. To należało pokazać.
Sposób 2.
Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏 i otrzymujemy
𝑎2 -2𝑎+ 3𝑏2 -6𝑏+ 4 > 0.
Wyrażenie 𝑎2 -2𝑎+ (3𝑏2 -6𝑏+ 4) traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej np.
𝑎. Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu:
Δ = (-2)2 -4 ⋅(3𝑏2 -6𝑏+ 4)
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Δ = 4 -12𝑏2 + 24𝑏-16
Δ = -12(𝑏2 -2𝑏+ 1)
Δ = -12(𝑏-1)2
Gdy 𝑏≠1, to Δ < 0 i funkcja kwadratowa 𝑓(𝑎) = 𝑎2 -2𝑎+ (3𝑏2 -6𝑏+ 4) zmiennej
𝑎 nie ma miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest
dodatni, więc żaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem
funkcja przyjmuje wtedy tylko wartości dodatnie.
Gdy 𝑏= 1, to Δ = 0 i funkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑎= 1. Ponieważ
współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu
funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla
każdego 𝑎≠1. Czyli dla 𝑎≠𝑏 funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
Ostatecznie, gdy 𝑎≠𝑏, to funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie. Oznacza to, że dla
każdych liczb rzeczywistych 𝑎 i 𝑏 takich, że 𝑏≠𝑎 spełniona jest nierówność
𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏. To należało pokazać.

","solutions":[]}