{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nWykresem funkcji kwadratowej 𝑓 jest parabola o wierzchołku w punkcie 𝐴= (0, 3). Punkt\n𝐵= (2, 0) leży na wykresie funkcji 𝑓.\nWyznacz wzór funkcji 𝑓.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnego wyniku:\n𝑓(𝑥) = -3\n4 𝑥2 + 3 [lub 𝑓(𝑥) = -3\n4 (𝑥-0)2 + 3, lub 𝑓(𝑥) = -3\n4 (𝑥-2)(𝑥+ 2) ].\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 3 lub 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-0)2 + 3\nALBO\n- zapisanie, że liczba (-2) jest miejscem zerowym funkcji 𝑓,\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)(𝑥+ 2),\nALBO\n- obliczenie/zapisanie wartości współczynników 𝑏 oraz 𝑐: 𝑏= 0 oraz 𝑐= 3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający przyjmuje/zapisuje wzór funkcji w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 3 lub\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-0)2 + 3 z konkretną ustaloną liczbą 𝑎 [różną od 0 i różną od (-3\n4) ], to\notrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZapisujemy wzór funkcji kwadratowej 𝑓 w postaci kanonicznej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-0)2 + 3.\nObliczamy 𝑎, korzystając z informacji, że punkt 𝐵= (2, 0) leży na wykresie funkcji 𝑓:\n0 = 𝑎(2 -0)2 + 3\n0 = 4𝑎+ 3\n𝑎= -3\n4\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = -3\n4 𝑥2 + 3.\nSposób 2.\nPunkt 𝐵= (2, 0) leży na wykresie funkcji 𝑓, więc liczba 2 jest miejscem zerowym tej\nfunkcji. Obliczamy drugie miejsce zerowe (𝑥2) funkcji 𝑓, korzystając z informacji, że punkt\n𝐴= (0, 3) jest wierzchołkiem paraboli:\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n0 = 2 + 𝑥2\n2\n𝑥2 = -2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZapisujemy wzór funkcji kwadratowej 𝑓 w postaci iloczynowej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)(𝑥+ 2).\nObliczamy 𝑎, korzystając z informacji, że punkt 𝐴= (0, 3) leży na wykresie funkcji 𝑓:\n3 = 𝑎(0 -2)(0 + 2)\n3 = -4𝑎\n𝑎= -3\n4\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = -3\n4 (𝑥-2)(𝑥+ 2).\nSposób 3.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐. Ponieważ 𝐴= (0, 3)\njest wierzchołkiem paraboli, więc\n-𝑏\n2𝑎= 0 oraz -Δ\n4𝑎= 3\nStąd\n𝑏= 0 oraz -02 -4𝑎𝑐\n4𝑎\n= 3\n𝑏= 0 oraz 𝑐= 3\nZatem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 3. Wyznaczamy współczynnik 𝑎, korzystając z informacji, że punkt\n𝐵= (2, 0) leży na wykresie funkcji 𝑓:\n0 = 𝑎⋅22 + 3\n0 = 4𝑎+ 3\n𝑎= -3\n4\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = -3\n4 𝑥2 + 3.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 33. (0-2)<br>Wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 jest parabola o wierzchołku w punkcie 𝐴= (0, 3). Punkt<br>𝐵= (2, 0) leży na wykresie funkcji 𝑓.<br>Wyznacz wzór funkcji 𝑓.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33. (0-2)<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnego wyniku:<br>𝑓(𝑥) = -3<br>4 𝑥2 + 3 [lub 𝑓(𝑥) = -3<br>4 (𝑥-0)2 + 3, lub 𝑓(𝑥) = -3<br>4 (𝑥-2)(𝑥+ 2) ].<br>1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 3 lub 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-0)2 + 3<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie, że liczba (-2) jest miejscem zerowym funkcji 𝑓,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)(𝑥+ 2),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie/zapisanie wartości współczynników 𝑏 oraz 𝑐: 𝑏= 0 oraz 𝑐= 3.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeśli zdający przyjmuje/zapisuje wzór funkcji w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 3 lub<br>𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-0)2 + 3 z konkretną ustaloną liczbą 𝑎 [różną od 0 i różną od (-3</p>\n<ol><li>], to</li></ol>\n<p>otrzymuje 1 punkt.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej 𝑓 w postaci kanonicznej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-0)2 + 3.<br>Obliczamy 𝑎, korzystając z informacji, że punkt 𝐵= (2, 0) leży na wykresie funkcji 𝑓:<br>0 = 𝑎(2 -0)2 + 3<br>0 = 4𝑎+ 3<br>𝑎= -3<br>4<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = -3<br>4 𝑥2 + 3.<br>Sposób 2.<br>Punkt 𝐵= (2, 0) leży na wykresie funkcji 𝑓, więc liczba 2 jest miejscem zerowym tej<br>funkcji. Obliczamy drugie miejsce zerowe (𝑥2) funkcji 𝑓, korzystając z informacji, że punkt<br>𝐴= (0, 3) jest wierzchołkiem paraboli:<br>𝑝= 𝑥1 + 𝑥2<br>2<br>0 = 2 + 𝑥2<br>2<br>𝑥2 = -2<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej 𝑓 w postaci iloczynowej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)(𝑥+ 2).<br>Obliczamy 𝑎, korzystając z informacji, że punkt 𝐴= (0, 3) leży na wykresie funkcji 𝑓:<br>3 = 𝑎(0 -2)(0 + 2)<br>3 = -4𝑎<br>𝑎= -3<br>4<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = -3<br>4 (𝑥-2)(𝑥+ 2).<br>Sposób 3.<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐. Ponieważ 𝐴= (0, 3)<br>jest wierzchołkiem paraboli, więc<br>-𝑏<br>2𝑎= 0 oraz -Δ<br>4𝑎= 3<br>Stąd<br>𝑏= 0 oraz -02 -4𝑎𝑐<br>4𝑎<br>= 3<br>𝑏= 0 oraz 𝑐= 3<br>Zatem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 3. Wyznaczamy współczynnik 𝑎, korzystając z informacji, że punkt<br>𝐵= (2, 0) leży na wykresie funkcji 𝑓:<br>0 = 𝑎⋅22 + 3<br>0 = 4𝑎+ 3<br>𝑎= -3<br>4<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = -3<br>4 𝑥2 + 3.</p>","solutions":[]}