{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nW trójkącie prostokątnym równoramiennym 𝐴𝐵𝐶 o przeciwprostokątnej 𝐵𝐶 punkt 𝐷 jest\nśrodkiem ramienia 𝐴𝐵. Odcinek 𝐶𝐷 ma długość 5 (zobacz rysunek).\nOblicz obwód trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n𝐴\n5\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnego wyniku: 4√5 + 2√10 (lub\n2√5(2 + √2) ).\n1 pkt - obliczenie długości jednego z boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶, np. |𝐴𝐵| = 2√5\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą, które wynika z zastosowania twierdzenia\nPitagorasa do trójkąta 𝐶𝐴𝐷, i zapisanie obwodu trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od tej\nniewiadomej, np. 𝑎2 + (1\n2 ⋅𝑎)\n2\n= 52 i 𝐿= 2𝑎+ 𝑎√2 (gdzie 𝑎= |𝐴𝐶|).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy przez 𝑎 długość przyprostokątnej trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Stosujemy do trójkąta 𝐶𝐴𝐷\ntwierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy:\n𝑎2 + (1\n2 𝑎)\n2\n= 52\n5\n4 𝑎2 = 25\n𝑎2 = 20\n𝑎= 2√5\nObliczamy obwód 𝐿 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝐿= 2𝑎+ 𝑎√2 = 2 ⋅2√5 + 2√5 ⋅√2 = 4√5 + 2√10.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 34. (0-2)<br>W trójkącie prostokątnym równoramiennym 𝐴𝐵𝐶 o przeciwprostokątnej 𝐵𝐶 punkt 𝐷 jest<br>środkiem ramienia 𝐴𝐵. Odcinek 𝐶𝐷 ma długość 5 (zobacz rysunek).<br>Oblicz obwód trójkąta 𝐴𝐵𝐶.<br>𝐶<br>𝐵<br>𝐷<br>𝐴<br>5</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 34. (0-2)<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnego wyniku: 4√5 + 2√10 (lub<br>2√5(2 + √2) ).<br>1 pkt - obliczenie długości jednego z boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶, np. |𝐴𝐵| = 2√5<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą, które wynika z zastosowania twierdzenia</li></ul>\n<p>Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝐴𝐷, i zapisanie obwodu trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od tej<br>niewiadomej, np. 𝑎2 + (1<br>2 ⋅𝑎)<br>2<br>= 52 i 𝐿= 2𝑎+ 𝑎√2 (gdzie 𝑎= |𝐴𝐶|).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Oznaczmy przez 𝑎 długość przyprostokątnej trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Stosujemy do trójkąta 𝐶𝐴𝐷<br>twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy:<br>𝑎2 + (1<br>2 𝑎)<br>2<br>= 52<br>5<br>4 𝑎2 = 25<br>𝑎2 = 20<br>𝑎= 2√5<br>Obliczamy obwód 𝐿 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝐿= 2𝑎+ 𝑎√2 = 2 ⋅2√5 + 2√5 ⋅√2 = 4√5 + 2√10.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}