{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"35","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-2)\nZe zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od 1 do 8 - losujemy kolejno bez zwracania\ndwa razy po jednej liczbie.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest\ndzielnikiem liczby 8.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 35. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 8\n56 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 8 ⋅7\nALBO\n- wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:\n(1, 3), (1, 7), (2, 6), (3, 1), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1),\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 8, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa 1\n8 na co najmniej\njednym z odcinków pierwszego etapu doświadczenia i prawdopodobieństwa 1\n7 na co\nnajmniej jednym z odcinków drugiego etapu doświadczenia,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 8\n56 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 8 oraz 56 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający sporządzi jedynie tabelę o 64 (lub 56) pustych polach, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} i 𝑎≠𝑏.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 8 ⋅7 = 56.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(1, 3), (1, 7), (2, 6), (3, 1), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1),\nwięc |𝐴| = 8.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| =\n8\n56 =\n1\n7 .\nSposób 2.\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} i 𝑎≠𝑏.\nJest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.\nI losowanie\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nII losowanie\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nBiałe pola tabeli odpowiadają zdarzeniom elementarnym. Symbolem „+” oznaczono pola\nodpowiadające zdarzeniom elementarnym sprzyjającym zdarzeniu 𝐴.\nWszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu jest 56.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest równa 8.\nStąd 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 8\n56 = 1\n7 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 35. (0-2)
Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od 1 do 8 - losujemy kolejno bez zwracania
dwa razy po jednej liczbie.
Niech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest
dzielnikiem liczby 8.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴.

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 35. (0-2)
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴
i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 8
56 .
1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 8 ⋅7
ALBO

\n\n

zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:
(1, 3), (1, 7), (2, 6), (3, 1), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1),
ALBO

\n\n

|𝐴| = 8, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,
ALBO

\n\n

sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa 1
8 na co najmniej
jednym z odcinków pierwszego etapu doświadczenia i prawdopodobieństwa 1
7 na co
najmniej jednym z odcinków drugiego etapu doświadczenia,
ALBO

\n\n

56 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 8 oraz 56 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
\n

liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający sporządzi jedynie tabelę o 64 (lub 56) pustych polach, to otrzymuje
\n

0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie
𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} i 𝑎≠𝑏.
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 8 ⋅7 = 56.
Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
(1, 3), (1, 7), (2, 6), (3, 1), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1),
więc |𝐴| = 8.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω| =
8
56 =
1
7 .
Sposób 2.
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie
𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} i 𝑎≠𝑏.
Jest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.
I losowanie
1
2
3
4
5
6
7
8
II losowanie
1
2
3
4
5
6
7
8
Białe pola tabeli odpowiadają zdarzeniom elementarnym. Symbolem „+” oznaczono pola
odpowiadające zdarzeniom elementarnym sprzyjającym zdarzeniu 𝐴.
Wszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu jest 56.
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest równa 8.
Stąd 𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω| = 8
56 = 1
7 .
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}