{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"36","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 36. (0-5)\nW trapezie równoramiennym 𝐴𝐵𝐶𝐷 podstawa 𝐶𝐷 ma długość 5. Punkt 𝐹= (3, 11) jest\nśrodkiem odcinka 𝐶𝐷. Prosta o równaniu 𝑦= -4\n3 𝑥+ 15 jest osią symetrii tego trapezu\noraz 𝐵= (23\n2 , 8).\nOblicz współrzędne wierzchołka 𝐴 oraz pole tego trapezu.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 36. (0-5)\nZasady oceniania\nRozwiązanie składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap polega na obliczeniu współrzędnych wierzchołka 𝐴 trapezu: 𝐴= (\n7\n2 , 2).\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za pierwszy etap rozwiązania:\n1 punkt zdający otrzymuje, gdy obliczy/zapisze współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵: 𝑎=\n3\n4.\n2 punkty zdający otrzymuje, gdy obliczy współrzędne punktu 𝐸: 𝐸= (\n15\n2 , 5).\n3 punkty zdający otrzymuje, gdy obliczy współrzędne punktu 𝐴: 𝐴= (\n7\n2 , 2).\nDrugi etap polega na obliczeniu pola trapezu: 𝑃=\n225\n4 .\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n1 punkt zdający otrzymuje, gdy obliczy długość podstawy 𝐴𝐵 lub długość odcinka 𝐸𝐵, lub\nwysokość trapezu: |𝐴𝐵| = 10 lub |𝐸𝐵| = 5, lub ℎ=\n15\n2 .\n2 punkty zdający otrzymuje, gdy obliczy pole trapezu: 𝑃=\n225\n4 .\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOś symetrii trapezu równoramiennego jest prostopadła po podstaw tego trapezu. Zatem\nprosta 𝐴𝐵 jest prostopadła do prostej 𝑦= -\n4\n3 𝑥+ 15.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵: 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏.\nZ warunku prostopadłości prostych obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 prostej 𝐴𝐵:\n-4\n3 ⋅𝑎= -1\n𝑎= 3\n4\nProsta 𝐴𝐵 przechodzi przez punkt 𝐵= (\n23\n2 , 8), więc\n8 = 3\n4 ⋅23\n2 + 𝑏\n𝑏= -5\n8\nRównanie prostej 𝐴𝐵: 𝑦=\n3\n4 𝑥-\n5\n8 .\nObliczamy współrzędne punktu 𝐸 przecięcia osi symetrii z prostą 𝐴𝐵:\n-4\n3 𝑥+ 15 = 3\n4 𝑥-5\n8 /⋅24\n-32𝑥+ 360 = 18𝑥-15\n-50𝑥= -375\n𝑥= 15\n2\n𝑦= 3\n4 ⋅15\n2 -5\n8 = 5\n𝐸= (15\n2 , 5)\nObliczamy współrzędne wierzchołka 𝐴= (𝑥𝐴 , 𝑦𝐴):\n𝑥𝐴+ 𝑥𝐵\n2\n= 𝑥𝐸 oraz 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵\n2\n= 𝑦𝐸\n𝑥𝐴+ 23\n2\n2\n= 15\n2 oraz 𝑦𝐴+ 8\n2\n= 5\n𝑥𝐴= 7\n2 oraz 𝑦𝐴= 2\nObliczamy długości podstawy 𝐴𝐵 i wysokość ℎ trapezu:\n|𝐴𝐵| = 2 ⋅|𝐸𝐵| = 2 ⋅√(23\n2 -15\n2 )\n2\n+ (8 -5)2 = 2 ⋅√16 + 9 = 2 ⋅5 = 10\nℎ= |𝐸𝐹| = √(3 -15\n2 )\n2\n+ (11 -5)2 = √81\n4 + 36 = √225\n4\n= 15\n2\nObliczamy pole 𝑃 trapezu:\n𝑃= |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|\n2\n⋅ℎ= 10 + 5\n2\n⋅15\n2 = 225\n4","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-36.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 36. (0-5)
W trapezie równoramiennym 𝐴𝐵𝐶𝐷 podstawa 𝐶𝐷 ma długość 5. Punkt 𝐹= (3, 11) jest
środkiem odcinka 𝐶𝐷. Prosta o równaniu 𝑦= -4
3 𝑥+ 15 jest osią symetrii tego trapezu
oraz 𝐵= (23
2 , 8).
Oblicz współrzędne wierzchołka 𝐴 oraz pole tego trapezu.

\n

EMAP-P0_100

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100

\n

MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2015
MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2015
MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2015

","answer_text_html":"

Zadanie 36. (0-5)
Zasady oceniania
Rozwiązanie składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap polega na obliczeniu współrzędnych wierzchołka 𝐴 trapezu: 𝐴= (
7
2 , 2).
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty.
Podział punktów za pierwszy etap rozwiązania:
1 punkt zdający otrzymuje, gdy obliczy/zapisze współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵: 𝑎=
3
4.
2 punkty zdający otrzymuje, gdy obliczy współrzędne punktu 𝐸: 𝐸= (
15
2 , 5).
3 punkty zdający otrzymuje, gdy obliczy współrzędne punktu 𝐴: 𝐴= (
7
2 , 2).
Drugi etap polega na obliczeniu pola trapezu: 𝑃=
225
4 .
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
1 punkt zdający otrzymuje, gdy obliczy długość podstawy 𝐴𝐵 lub długość odcinka 𝐸𝐵, lub
wysokość trapezu: |𝐴𝐵| = 10 lub |𝐸𝐵| = 5, lub ℎ=
15
2 .
2 punkty zdający otrzymuje, gdy obliczy pole trapezu: 𝑃=
225
4 .
Przykładowe pełne rozwiązanie
Oś symetrii trapezu równoramiennego jest prostopadła po podstaw tego trapezu. Zatem
prosta 𝐴𝐵 jest prostopadła do prostej 𝑦= -
4
3 𝑥+ 15.
Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵: 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏.
Z warunku prostopadłości prostych obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 prostej 𝐴𝐵:
-4
3 ⋅𝑎= -1
𝑎= 3
4
Prosta 𝐴𝐵 przechodzi przez punkt 𝐵= (
23
2 , 8), więc
8 = 3
4 ⋅23
2 + 𝑏
𝑏= -5
8
Równanie prostej 𝐴𝐵: 𝑦=
3
4 𝑥-
5
8 .
Obliczamy współrzędne punktu 𝐸 przecięcia osi symetrii z prostą 𝐴𝐵:
-4
3 𝑥+ 15 = 3
4 𝑥-5
8 /⋅24
-32𝑥+ 360 = 18𝑥-15
-50𝑥= -375
𝑥= 15
2
𝑦= 3
4 ⋅15
2 -5
8 = 5
𝐸= (15
2 , 5)
Obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐴= (𝑥𝐴 , 𝑦𝐴):
𝑥𝐴+ 𝑥𝐵
2
= 𝑥𝐸 oraz 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵
2
= 𝑦𝐸
𝑥𝐴+ 23
2
2
= 15
2 oraz 𝑦𝐴+ 8
2
= 5
𝑥𝐴= 7
2 oraz 𝑦𝐴= 2
Obliczamy długości podstawy 𝐴𝐵 i wysokość ℎ trapezu:
|𝐴𝐵| = 2 ⋅|𝐸𝐵| = 2 ⋅√(23
2 -15
2 )
2

\n\n

ℎ= |𝐸𝐹| = √(3 -15
2 )
2

\n\n

4 + 36 = √225
4
= 15
2
Obliczamy pole 𝑃 trapezu:
𝑃= |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|
2
⋅ℎ= 10 + 5
2
⋅15
2 = 225
4

","solutions":[]}