{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż równanie\nsin(5𝑥) + cos 𝑥= 0\nw zbiorze ⟨-𝜋\n2 , 𝜋\n2⟩.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne metoda rozwiązania równania i poprawny wynik: -\n𝜋\n8,\n3𝜋\n8 , -\n5𝜋\n12 , -\n𝜋\n12,\n𝜋\n4 .\n3 pkt - rozwiązanie równania sin(5𝑥) = sin (𝑥-\n𝜋\n2) (lub równania cos 𝑥= cos (5𝑥+\n𝜋\n2) )\nw zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑥= -\n𝜋\n8 +\n𝑘𝜋\n2 lub 𝑥=\n𝜋\n4 +\n𝑘𝜋\n3 , gdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- przekształcenie równania do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych\ni rozwiązanie jednego z tych równań w zbiorze 〈-\n𝜋\n2 ,\n𝜋\n2〉,\nALBO\n- przekształcenie równania do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych\ni rozwiązanie wszystkich równań tej alternatywy w zbiorze ℝ.\n2 pkt - równoważne przekształcenie równania do postaci, która jest równością sinusów lub\ncosinusów, np. sin(5𝑥) = sin (𝑥-\n𝜋\n2), cos𝑥= cos (5𝑥+\n𝜋\n2)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sumę sinusów lub na sumę cosinusów i przekształcenie\nrównania do postaci alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych, np.\nsin(2𝑥+\n𝜋\n4) = 0 lub cos(3𝑥-\n𝜋\n4) = 0, cos(\n𝜋\n4 -2𝑥) = 0 lub cos(\n𝜋\n4 -3𝑥) = 0.\n1 pkt - zastosowanie wzoru redukcyjnego i przekształcenie równania do postaci, w której\nwystępuje tylko jedna funkcja trygonometryczna, np. sin(5𝑥) + sin (\n𝜋\n2 -𝑥) = 0,\ncos (\n𝜋\n2 -5𝑥) + cos 𝑥= 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (równość sinusów)\nZapisujemy równanie w postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja\ntrygonometryczna zmiennej 𝑥:\nsin(5𝑥) + cos 𝑥= 0\nsin(5𝑥) + sin (𝜋\n2 -𝑥) = 0\nsin(5𝑥) = -sin (𝜋\n2 -𝑥)\nPonieważ funkcja sinus jest nieparzysta, więc\nsin(5𝑥) = sin (𝑥-𝜋\n2)\nStąd\n5𝑥= 𝑥-𝜋\n2 + 2𝑘𝜋 lub 5𝑥= 𝜋-(𝑥-𝜋\n2) + 2𝑘𝜋\n𝑥= -𝜋\n8 + 𝑘𝜋\n2 lub 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋\n3\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nWyznaczamy rozwiązania równania sin(5𝑥) + cos𝑥= 0 w zbiorze 〈-\n𝜋\n2 ,\n𝜋\n2〉:\n-𝜋\n8, 3𝜋\n8 , - 5𝜋\n12 , -𝜋\n12, 𝜋\n4\nSposób II (poprzez sumę sinusów)\nZapisujemy równanie w postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja\ntrygonometryczna zmiennej 𝑥:\nsin(5𝑥) + cos 𝑥= 0\nsin(5𝑥) + sin (𝜋\n2 -𝑥) = 0\nKorzystamy ze wzoru na sumę sinusów i otrzymujemy\n2 sin (\n5𝑥+\n𝜋\n2 -𝑥\n2\n) ⋅cos (\n5𝑥-(\n𝜋\n2 -𝑥)\n2\n) = 0\nsin (2𝑥+ 𝜋\n4) = 0 lub cos (3𝑥-𝜋\n4) = 0\n2𝑥+ 𝜋\n4 = 𝑘𝜋 lub 3𝑥-𝜋\n4 = 𝜋\n2 + 𝑘𝜋\n𝑥= -𝜋\n8 + 𝑘𝜋\n2 lub 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋\n3\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nWyznaczamy rozwiązania równania sin(5𝑥) + cos𝑥= 0 w zbiorze 〈-\n𝜋\n2 ,\n𝜋\n2〉:\n-𝜋\n8, 3𝜋\n8 , - 5𝜋\n12 , -𝜋\n12, 𝜋\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-4)<br>Rozwiąż równanie<br>sin(5𝑥) + cos 𝑥= 0<br>w zbiorze ⟨-𝜋<br>2 , 𝜋<br>2⟩.</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-4)<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - poprawne metoda rozwiązania równania i poprawny wynik: -<br>𝜋<br>8,<br>3𝜋<br>8 , -<br>5𝜋<br>12 , -<br>𝜋<br>12,<br>𝜋<br>4 .<br>3 pkt - rozwiązanie równania sin(5𝑥) = sin (𝑥-<br>𝜋</p>\n<ol><li>(lub równania cos 𝑥= cos (5𝑥+</li></ol>\n<p>𝜋</p>\n<ol><li>)</li></ol>\n<p>w zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑥= -<br>𝜋<br>8 +<br>𝑘𝜋<br>2 lub 𝑥=<br>𝜋<br>4 +<br>𝑘𝜋<br>3 , gdzie 𝑘∈ℤ<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych</li></ul>\n<p>i rozwiązanie jednego z tych równań w zbiorze 〈-<br>𝜋<br>2 ,<br>𝜋<br>2〉,<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych</li></ul>\n<p>i rozwiązanie wszystkich równań tej alternatywy w zbiorze ℝ.<br>2 pkt - równoważne przekształcenie równania do postaci, która jest równością sinusów lub<br>cosinusów, np. sin(5𝑥) = sin (𝑥-<br>𝜋<br>2), cos𝑥= cos (5𝑥+<br>𝜋<br>2)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie wzoru na sumę sinusów lub na sumę cosinusów i przekształcenie</li></ul>\n<p>równania do postaci alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych, np.<br>sin(2𝑥+<br>𝜋</p>\n<ol><li>= 0 lub cos(3𝑥-</li></ol>\n<p>𝜋</p>\n<ol><li>= 0, cos(</li></ol>\n<p>𝜋<br>4 -2𝑥) = 0 lub cos(<br>𝜋<br>4 -3𝑥) = 0.<br>1 pkt - zastosowanie wzoru redukcyjnego i przekształcenie równania do postaci, w której<br>występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna, np. sin(5𝑥) + sin (<br>𝜋<br>2 -𝑥) = 0,<br>cos (<br>𝜋<br>2 -5𝑥) + cos 𝑥= 0.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I (równość sinusów)<br>Zapisujemy równanie w postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja<br>trygonometryczna zmiennej 𝑥:<br>sin(5𝑥) + cos 𝑥= 0<br>sin(5𝑥) + sin (𝜋<br>2 -𝑥) = 0<br>sin(5𝑥) = -sin (𝜋<br>2 -𝑥)<br>Ponieważ funkcja sinus jest nieparzysta, więc<br>sin(5𝑥) = sin (𝑥-𝜋<br>2)<br>Stąd<br>5𝑥= 𝑥-𝜋<br>2 + 2𝑘𝜋 lub 5𝑥= 𝜋-(𝑥-𝜋</p>\n<ol><li>+ 2𝑘𝜋</li></ol>\n<p>𝑥= -𝜋<br>8 + 𝑘𝜋<br>2 lub 𝑥= 𝜋<br>4 + 𝑘𝜋<br>3<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Wyznaczamy rozwiązania równania sin(5𝑥) + cos𝑥= 0 w zbiorze 〈-<br>𝜋<br>2 ,<br>𝜋<br>2〉:<br>-𝜋<br>8, 3𝜋<br>8 , - 5𝜋<br>12 , -𝜋<br>12, 𝜋<br>4<br>Sposób II (poprzez sumę sinusów)<br>Zapisujemy równanie w postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja<br>trygonometryczna zmiennej 𝑥:<br>sin(5𝑥) + cos 𝑥= 0<br>sin(5𝑥) + sin (𝜋<br>2 -𝑥) = 0<br>Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów i otrzymujemy<br>2 sin (<br>5𝑥+<br>𝜋<br>2 -𝑥<br>2<br>) ⋅cos (<br>5𝑥-(<br>𝜋<br>2 -𝑥)<br>2<br>) = 0<br>sin (2𝑥+ 𝜋</p>\n<ol><li>= 0 lub cos (3𝑥-𝜋</li><li>= 0</li></ol>\n<p>2𝑥+ 𝜋<br>4 = 𝑘𝜋 lub 3𝑥-𝜋<br>4 = 𝜋<br>2 + 𝑘𝜋<br>𝑥= -𝜋<br>8 + 𝑘𝜋<br>2 lub 𝑥= 𝜋<br>4 + 𝑘𝜋<br>3<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Wyznaczamy rozwiązania równania sin(5𝑥) + cos𝑥= 0 w zbiorze 〈-<br>𝜋<br>2 ,<br>𝜋<br>2〉:<br>-𝜋<br>8, 3𝜋<br>8 , - 5𝜋<br>12 , -𝜋<br>12, 𝜋<br>4<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}