{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nW pudełku umieszczono 𝑛 kul (𝑛≥3) wśród których dokładnie 2 kule są czarne,\na pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i odkładamy ją na bok. Jeżeli\nwylosowana kula jest biała, to do pudełka wrzucamy kulę czarną, a gdy wylosowana kula jest\nczarna, to do pudełka wrzucamy kulę białą. Po przeprowadzonej w ten sposób zmianie\nzawartości prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tego pudełka jest równe 37\n50 .\nOblicz 𝑛.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑛= 10.\n3 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 w zależności od 𝑛: 𝑃(𝐴) =\n𝑛2-3𝑛+4\n𝑛2\n2 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐴1 oraz 𝐴2 w zależności od 𝑛:\n𝑃( 𝐴1) =\n𝑛-3\n𝑛 oraz 𝑃(𝐴2) =\n𝑛-1\n𝑛 .\n1 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐵 oraz 𝐶 w zależności od 𝑛:\n𝑃(𝐵) =\n𝑛-2\n𝑛 oraz 𝑃(𝐶) =\n2\n𝑛 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia zdarzeń:\n𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym losowaniu została wylosowana kula biała,\n𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym losowaniu została wylosowana kula\nczarna,\n𝑍1 - zawartość pudełka po wylosowaniu za pierwszym razem kuli białej i dołożeniu kuli\nczarnej,\n𝑍2 - zawartość pudełka po wylosowaniu za pierwszym razem kuli czarnej i dołożeniu kuli\nbiałej,\n𝐴1 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana z pudełka o zawartości 𝑍1 kula jest\nbiała,\n𝐴2 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana z pudełka o zawartości 𝑍2 kula jest\nbiała.\nWówczas 𝑍1: 𝑛-3 kul białych i 3 kule czarne, 𝑍2: 𝑛-1 kul białych i 1 kula czarna.\nWyznaczamy prawdopodobieństwa zdarzeń 𝐵, 𝐶, 𝐴1 oraz 𝐴2 :\n𝑃(𝐵) = 𝑛-2\n𝑛\n, 𝑃(𝐶) = 2\n𝑛, 𝑃( 𝐴1) = 𝑛-3\n𝑛\n, 𝑃(𝐴2) = 𝑛-1\n𝑛\nZapisujemy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że kula wylosowana\nz pudełka ze zmienioną zawartością jest biała:\n𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴1) ∙ 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐴2) ∙ 𝑃(𝐶)\n𝑃(𝐴) = 𝑛-3\n𝑛\n∙𝑛-2\n𝑛\n+ 𝑛-1\n𝑛\n∙2\n𝑛= 𝑛2 -3𝑛+ 4\n𝑛2\nPonieważ 𝑃(𝐴) =\n37\n50 , więc stąd otrzymujemy kolejno:\n𝑛2 -3𝑛+ 4\n𝑛2\n= 37\n50\n50𝑛2 -150𝑛+ 200 = 37𝑛2\n13𝑛2 -150𝑛+ 200 = 0\n∆= 12100, √∆= 110\n𝑛= 150 -110\n26\n= 40\n26 lub 𝑛= 150 + 110\n26\n= 260\n26 = 10\nPonieważ liczba kul musi być liczbą naturalną większą niż 2, więc jedynym rozwiązaniem\ntego zadania jest 𝑛= 10.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
W pudełku umieszczono 𝑛 kul (𝑛≥3) wśród których dokładnie 2 kule są czarne,
a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i odkładamy ją na bok. Jeżeli
wylosowana kula jest biała, to do pudełka wrzucamy kulę czarną, a gdy wylosowana kula jest
czarna, to do pudełka wrzucamy kulę białą. Po przeprowadzonej w ten sposób zmianie
zawartości prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tego pudełka jest równe 37
50 .
Oblicz 𝑛.

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑛= 10.
3 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 w zależności od 𝑛: 𝑃(𝐴) =
𝑛2-3𝑛+4
𝑛2
2 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐴1 oraz 𝐴2 w zależności od 𝑛:
𝑃( 𝐴1) =
𝑛-3
𝑛 oraz 𝑃(𝐴2) =
𝑛-1
𝑛 .
1 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐵 oraz 𝐶 w zależności od 𝑛:
𝑃(𝐵) =
𝑛-2
𝑛 oraz 𝑃(𝐶) =
2
𝑛 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmijmy następujące oznaczenia zdarzeń:
𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym losowaniu została wylosowana kula biała,
𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym losowaniu została wylosowana kula
czarna,
𝑍1 - zawartość pudełka po wylosowaniu za pierwszym razem kuli białej i dołożeniu kuli
czarnej,
𝑍2 - zawartość pudełka po wylosowaniu za pierwszym razem kuli czarnej i dołożeniu kuli
białej,
𝐴1 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana z pudełka o zawartości 𝑍1 kula jest
biała,
𝐴2 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana z pudełka o zawartości 𝑍2 kula jest
biała.
Wówczas 𝑍1: 𝑛-3 kul białych i 3 kule czarne, 𝑍2: 𝑛-1 kul białych i 1 kula czarna.
Wyznaczamy prawdopodobieństwa zdarzeń 𝐵, 𝐶, 𝐴1 oraz 𝐴2 :
𝑃(𝐵) = 𝑛-2
𝑛
, 𝑃(𝐶) = 2
𝑛, 𝑃( 𝐴1) = 𝑛-3
𝑛
, 𝑃(𝐴2) = 𝑛-1
𝑛
Zapisujemy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że kula wylosowana
z pudełka ze zmienioną zawartością jest biała:
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴1) ∙ 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐴2) ∙ 𝑃(𝐶)
𝑃(𝐴) = 𝑛-3
𝑛
∙𝑛-2
𝑛

\n\n

𝑛
∙2
𝑛= 𝑛2 -3𝑛+ 4
𝑛2
Ponieważ 𝑃(𝐴) =
37
50 , więc stąd otrzymujemy kolejno:
𝑛2 -3𝑛+ 4
𝑛2
= 37
50
50𝑛2 -150𝑛+ 200 = 37𝑛2
13𝑛2 -150𝑛+ 200 = 0
∆= 12100, √∆= 110
𝑛= 150 -110
26
= 40
26 lub 𝑛= 150 + 110
26
= 260
26 = 10
Ponieważ liczba kul musi być liczbą naturalną większą niż 2, więc jedynym rozwiązaniem
tego zadania jest 𝑛= 10.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}