{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie\n𝑚𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥-2𝑚+ 3 = 0\nma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 oraz 𝑥2 , spełniające warunki:\n𝑥1 ≠0, 𝑥2 ≠0 oraz 1\n𝑥1\n2 + 1\n𝑥2\n2 < 1\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu warunku ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego etapu\nzdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie warunku ∆> 0: 𝑚∈(-∞,\n1\n9) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których jest\nspełniony warunek\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n3 pkt - wyznaczenie tych wszystkich wartości 𝑚, dla których spełniony jest warunek\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1: 𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0, -4 + 2√6).\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, która odpowiada warunkowi\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1, np.\n(𝑚+1\n𝑚)\n2\n-2⋅(-2𝑚+3)\n𝑚\n(-2𝑚+3\n𝑚\n)\n2\n< 1.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a, np.\n(𝑥1+𝑥2)2-2𝑥1𝑥2\n(𝑥1𝑥2)2\n< 1 (lub innej równoważnej, ale\nzawierającej jedynie zmienne 𝑥1 + 𝑥2 oraz 𝑥1𝑥2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których spełnione\nsą jednocześnie warunki: Δ > 0 i\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1.\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości 𝑚, dla których Δ > 0 i\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1:\n𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0,\n1\n9).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0 (zamiast Δ > 0), to za I etap rozwiązania\notrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania rozważa niepoprawną nierówność wymierną\ni rozwiązanie tej nierówności jest zbiorem rozłącznym ze zbiorem rozwiązań nierówności\nz I etapu, to zdający otrzymuje 0 punktów za III etap.\n3. Jeżeli w rozwiązaniu zdającego nie ma zapisu 𝑚≠0 albo 𝑚≠\n3\n2, albo zdający nie\nuwzględnia w rozwiązaniu warunku 𝑚≠0, albo 𝑚≠\n3\n2, to zdający może otrzymać co\nnajwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRównanie 𝑚𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥-2𝑚+ 3 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste\nwtedy i tylko wtedy, gdy 𝑚≠0 i wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego\n𝑚𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥-2𝑚+ 3 jest dodatni.\nI etap\nRozwiązujemy warunek Δ > 0:\n[-(𝑚+ 1)]2 -4𝑚⋅(-2𝑚+ 3) > 0\n9𝑚2 -10𝑚+ 1 > 0\n(𝑚-1)(9𝑚-1) > 0\n𝑚∈(-∞, 1\n9) ∪(1, +∞)\nZatem równanie 𝑚𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥-2𝑚+ 3 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania\nrzeczywiste, gdy 𝑚∈(-∞, 0) ∪(0,\n1\n9) ∪(1, +∞).\nII etap\nWyznaczymy wszystkie wartości 𝑚, dla których jest spełniony warunek:\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1.\nPrzekształcamy nierówność\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1 do postaci, która pozwoli na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a:\n𝑥1 +\n2\n𝑥2\n2\n(𝑥1𝑥2)2 < 1\n(𝑥1+𝑥2)2 -2𝑥1𝑥2\n(𝑥1𝑥2)2\n< 1\nStąd, po zastosowaniu wzorów Viète’a, otrzymujemy:\n(\n𝑚+1\n𝑚)\n2\n-2 ⋅\n(-2𝑚+3)\n𝑚\n(\n-2𝑚+3\n𝑚\n)\n2\n< 1\ni dalej\n(𝑚+ 1\n𝑚\n)\n2\n-2 ⋅\n(-2𝑚+ 3)\n𝑚\n< (-2𝑚+ 3\n𝑚\n)\n2\ni 𝑚≠0 i 𝑚≠3\n2\n(𝑚+ 1)2 -2𝑚(-2𝑚+ 3) < (-2𝑚+ 3)2 i 𝑚≠0 i 𝑚≠3\n2\n𝑚2 + 8𝑚-8 < 0 i 𝑚≠0 i 𝑚≠3\n2\n𝑚∈(-4 -2√6, -4 + 2√6) i 𝑚≠0 i 𝑚≠3\n2\nZatem warunek\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1 jest spełniony tylko dla 𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0, -4 + 2√6).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nIII etap\nWyznaczamy te wszystkie wartości 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki: 𝑚≠0 i\n𝑚∈(-∞,\n1\n9) ∪(1, +∞) i 𝑚∈(-4 -2√6, -4 + 2√6) i 𝑚≠\n3\n2 :\n𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0, 1\n9)","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-5)
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie
𝑚𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥-2𝑚+ 3 = 0
ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 oraz 𝑥2 , spełniające warunki:
𝑥1 ≠0, 𝑥2 ≠0 oraz 1
𝑥1
2 + 1
𝑥2
2 < 1

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-5)
Zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap polega na rozwiązaniu warunku ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego etapu
zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne rozwiązanie warunku ∆> 0: 𝑚∈(-∞,
1

\n
  1. ∪(1, +∞).
\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Drugi etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których jest
spełniony warunek
1
𝑥1
2 +
1
𝑥2
2 < 1.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
3 pkt - wyznaczenie tych wszystkich wartości 𝑚, dla których spełniony jest warunek
1
𝑥1
2 +
1
𝑥2
2 < 1: 𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0, -4 + 2√6).
2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, która odpowiada warunkowi
1
𝑥1
2 +
1
𝑥2
2 < 1, np.
(𝑚+1
𝑚)
2
-2⋅(-2𝑚+3)
𝑚
(-2𝑚+3
𝑚
)
2
< 1.
1 pkt - przekształcenie wyrażenia
1
𝑥1
2 +
1
𝑥2
2 < 1 do postaci pozwalającej na bezpośrednie
zastosowanie wzorów Viète’a, np.
(𝑥1+𝑥2)2-2𝑥1𝑥2
(𝑥1𝑥2)2
< 1 (lub innej równoważnej, ale
zawierającej jedynie zmienne 𝑥1 + 𝑥2 oraz 𝑥1𝑥2).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których spełnione
są jednocześnie warunki: Δ > 0 i
1
𝑥1
2 +
1
𝑥2
2 < 1.
Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości 𝑚, dla których Δ > 0 i
1
𝑥1
2 +
1
𝑥2
2 < 1:
𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0,
1
9).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0 (zamiast Δ > 0), to za I etap rozwiązania
\n

otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania rozważa niepoprawną nierówność wymierną
\n

i rozwiązanie tej nierówności jest zbiorem rozłącznym ze zbiorem rozwiązań nierówności
z I etapu, to zdający otrzymuje 0 punktów za III etap.

\n
  1. Jeżeli w rozwiązaniu zdającego nie ma zapisu 𝑚≠0 albo 𝑚≠
\n

3
2, albo zdający nie
uwzględnia w rozwiązaniu warunku 𝑚≠0, albo 𝑚≠
3
2, to zdający może otrzymać co
najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Równanie 𝑚𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥-2𝑚+ 3 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste
wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑚≠0 i wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego
𝑚𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥-2𝑚+ 3 jest dodatni.
I etap
Rozwiązujemy warunek Δ > 0:
[-(𝑚+ 1)]2 -4𝑚⋅(-2𝑚+ 3) > 0
9𝑚2 -10𝑚+ 1 > 0
(𝑚-1)(9𝑚-1) > 0
𝑚∈(-∞, 1

\n
  1. ∪(1, +∞)
\n

Zatem równanie 𝑚𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥-2𝑚+ 3 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania
rzeczywiste, gdy 𝑚∈(-∞, 0) ∪(0,
1

\n
  1. ∪(1, +∞).
\n

II etap
Wyznaczymy wszystkie wartości 𝑚, dla których jest spełniony warunek:
1
𝑥1
2 +
1
𝑥2
2 < 1.
Przekształcamy nierówność
1
𝑥1
2 +
1
𝑥2
2 < 1 do postaci, która pozwoli na bezpośrednie
zastosowanie wzorów Viète’a:
𝑥1 +
2
𝑥2
2
(𝑥1𝑥2)2 < 1
(𝑥1+𝑥2)2 -2𝑥1𝑥2
(𝑥1𝑥2)2
< 1
Stąd, po zastosowaniu wzorów Viète’a, otrzymujemy:
(
𝑚+1
𝑚)
2
-2 ⋅
(-2𝑚+3)
𝑚
(
-2𝑚+3
𝑚
)
2
< 1
i dalej
(𝑚+ 1
𝑚
)
2
-2 ⋅
(-2𝑚+ 3)
𝑚
< (-2𝑚+ 3
𝑚
)
2
i 𝑚≠0 i 𝑚≠3
2
(𝑚+ 1)2 -2𝑚(-2𝑚+ 3) < (-2𝑚+ 3)2 i 𝑚≠0 i 𝑚≠3
2
𝑚2 + 8𝑚-8 < 0 i 𝑚≠0 i 𝑚≠3
2
𝑚∈(-4 -2√6, -4 + 2√6) i 𝑚≠0 i 𝑚≠3
2
Zatem warunek
1
𝑥1
2 +
1
𝑥2
2 < 1 jest spełniony tylko dla 𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0, -4 + 2√6).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
III etap
Wyznaczamy te wszystkie wartości 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki: 𝑚≠0 i
𝑚∈(-∞,
1

\n
  1. ∪(1, +∞) i 𝑚∈(-4 -2√6, -4 + 2√6) i 𝑚≠
\n

3
2 :
𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0, 1
9)

","solutions":[]}