{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w których\nodcinek łączący punkt 𝑂 przecięcia przekątnych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 z dowolnym\nwierzchołkiem podstawy 𝐸𝐹𝐺𝐻 ma długość 𝑑 (zobacz rysunek).\na) Wyznacz zależność objętości 𝑉 graniastosłupa od jego wysokości ℎ i podaj dziedzinę\nfunkcji 𝑉(ℎ).\nb) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, który ma największą objętość.\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝑂\n𝑑\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nZasady oceniania\n6 pkt - poprawne wyznaczenie wzoru funkcji 𝑉(ℎ) oraz jej dziedziny, oraz wyznaczenie\nwysokości graniastosłupa o największej objętości wraz z uzasadnieniem.\n5 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑉: ℎ= √3\n3 𝑑.\n4 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉, np. 𝑉′(ℎ) = 2(𝑑2 -3ℎ2).\n3 pkt - wyznaczenie dziedziny funkcji 𝑉(ℎ): (0, 𝑑).\n2 pkt - wyznaczenie objętości 𝑉 graniastosłupa jako funkcji jego wysokości, np.\n𝑉(ℎ) = 2(𝑑2 -ℎ2) ∙ℎ.\n1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi podstawy w zależności od wysokości graniastosłupa:\n𝑎= √2 ∙√𝑑2 -ℎ2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy przez 𝑎 długość krawędzi podstawy\ngraniastosłupa, natomiast przez ℎ - wysokość tego\ngraniastosłupa.\na)\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta\n𝑂𝐷𝐻 i otrzymujemy:\n𝑑2 = ℎ2 + |𝑂𝐷|2\n|𝑂𝐷| = √𝑑2 -ℎ2\nPonieważ |𝑂𝐷| =\n1\n2 |𝐵𝐷| =\n𝑎√2\n2 , więc\n𝑎√2\n2 = √𝑑2 -ℎ2 .\nStąd 𝑎= √2 ∙√𝑑2 -ℎ2 i ℎ∈(0, 𝑑).\nPole 𝑃𝑃 podstawy graniastosłupa jest równe\n𝑃𝑃= (√2 ∙√𝑑2 -ℎ2)\n2\n= 2(𝑑2 -ℎ2)\nWyznaczamy objętość graniastosłupa jako funkcję zmiennej ℎ:\n𝑉(ℎ) = 2(𝑑2 -ℎ2) ∙ℎ= 2(𝑑2ℎ-ℎ3) dla 0 < ℎ< 𝑑.\nb)\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑉:\n𝑉′(ℎ) = 2(𝑑2 -3ℎ2)\nObliczamy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑉:\n𝑉′(ℎ) = 0\n2(𝑑2 -3ℎ2) = 0 i ℎ∈(0, 𝑑)\nℎ= 𝑑\n√3\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝑂\n𝑑\nPonieważ 𝑉′(ℎ) > 0 dla ℎ∈(0, 𝑑\n√3) oraz 𝑉′(ℎ) < 0 dla ℎ∈( 𝑑\n√3 , 𝑑), więc funkcja 𝑉\njest rosnąca w przedziale (0, 𝑑\n√3⟩ oraz malejąca w przedziale ⟨𝑑\n√3 , 𝑑). Zatem funkcja 𝑉\nosiąga wartość największą dla ℎ= 𝑑\n√3 .\nSpośród rozważanych graniastosłupów największą objętość ma graniastosłup o wysokości\nℎ=\n𝑑\n√3 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-6)<br>Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w których<br>odcinek łączący punkt 𝑂 przecięcia przekątnych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 z dowolnym<br>wierzchołkiem podstawy 𝐸𝐹𝐺𝐻 ma długość 𝑑 (zobacz rysunek).<br>a) Wyznacz zależność objętości 𝑉 graniastosłupa od jego wysokości ℎ i podaj dziedzinę<br>funkcji 𝑉(ℎ).<br>b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, który ma największą objętość.<br>𝐶<br>𝐺<br>𝐻<br>𝐹<br>𝐸<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐷<br>𝑂<br>𝑑</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (0-6)<br>Zasady oceniania<br>6 pkt - poprawne wyznaczenie wzoru funkcji 𝑉(ℎ) oraz jej dziedziny, oraz wyznaczenie<br>wysokości graniastosłupa o największej objętości wraz z uzasadnieniem.<br>5 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑉: ℎ= √3<br>3 𝑑.<br>4 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉, np. 𝑉′(ℎ) = 2(𝑑2 -3ℎ2).<br>3 pkt - wyznaczenie dziedziny funkcji 𝑉(ℎ): (0, 𝑑).<br>2 pkt - wyznaczenie objętości 𝑉 graniastosłupa jako funkcji jego wysokości, np.<br>𝑉(ℎ) = 2(𝑑2 -ℎ2) ∙ℎ.<br>1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi podstawy w zależności od wysokości graniastosłupa:<br>𝑎= √2 ∙√𝑑2 -ℎ2 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Oznaczmy przez 𝑎 długość krawędzi podstawy<br>graniastosłupa, natomiast przez ℎ - wysokość tego<br>graniastosłupa.<br>a)<br>Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta<br>𝑂𝐷𝐻 i otrzymujemy:<br>𝑑2 = ℎ2 + |𝑂𝐷|2<br>|𝑂𝐷| = √𝑑2 -ℎ2<br>Ponieważ |𝑂𝐷| =<br>1<br>2 |𝐵𝐷| =<br>𝑎√2<br>2 , więc<br>𝑎√2<br>2 = √𝑑2 -ℎ2 .<br>Stąd 𝑎= √2 ∙√𝑑2 -ℎ2 i ℎ∈(0, 𝑑).<br>Pole 𝑃𝑃 podstawy graniastosłupa jest równe<br>𝑃𝑃= (√2 ∙√𝑑2 -ℎ2)<br>2<br>= 2(𝑑2 -ℎ2)<br>Wyznaczamy objętość graniastosłupa jako funkcję zmiennej ℎ:<br>𝑉(ℎ) = 2(𝑑2 -ℎ2) ∙ℎ= 2(𝑑2ℎ-ℎ3) dla 0 &lt; ℎ&lt; 𝑑.<br>b)<br>Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑉:<br>𝑉′(ℎ) = 2(𝑑2 -3ℎ2)<br>Obliczamy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑉:<br>𝑉′(ℎ) = 0<br>2(𝑑2 -3ℎ2) = 0 i ℎ∈(0, 𝑑)<br>ℎ= 𝑑<br>√3<br>𝐶<br>𝐺<br>𝐻<br>𝐹<br>𝐸<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐷<br>𝑂<br>𝑑<br>Ponieważ 𝑉′(ℎ) &gt; 0 dla ℎ∈(0, 𝑑<br>√3) oraz 𝑉′(ℎ) &lt; 0 dla ℎ∈( 𝑑<br>√3 , 𝑑), więc funkcja 𝑉<br>jest rosnąca w przedziale (0, 𝑑<br>√3⟩ oraz malejąca w przedziale ⟨𝑑<br>√3 , 𝑑). Zatem funkcja 𝑉<br>osiąga wartość największą dla ℎ= 𝑑<br>√3 .<br>Spośród rozważanych graniastosłupów największą objętość ma graniastosłup o wysokości<br>ℎ=<br>𝑑<br>√3 .<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}