{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nOkrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16.\nOkrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4]. Promienie tych okręgów są\nsobie równe.\nFigura 𝐹 składa się z dwóch okręgów: 𝑜1 oraz 𝑜2. Punkty 𝑀 i 𝑁 są punktami przecięcia\nfigury 𝐹 z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym.\nWyznacz punkt 𝐾, leżący na jednej z osi symetrii figury 𝐹, taki, że pole trójkąta 𝑀𝑁𝐾 jest\nrówne 40.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap polega na wyznaczeniu równania osi symetrii figury 𝐹, prostopadłej\ndo prostej 𝑆1𝑆2, a następnie obliczeniu współrzędnych punktów 𝑀 i 𝑁. Za poprawne\nrozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 4 punkty.\nPodział punktów za pierwszy etap rozwiązania:\nZdający otrzymuje 1 punkt, gdy obliczy współrzędne środka 𝑆2 okręgu: 𝑆2 = (2, 3).\nZdający otrzymuje 2 punkty, gdy wyznaczy równanie osi symetrii przechodzącej przez\nśrodek 𝑆 odcinka 𝑆1𝑆2, która jest prostopadła do prostej 𝑆1𝑆2: 𝑦= 𝑥-3.\nZdający otrzymuje 3 punkty za zapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do\nwyznaczenia współrzędnych punktów 𝑀 i 𝑁, np. (𝑥-6)2 + (𝑥-2)2 -16 = 0.\nZdający otrzymuje 4 punkty za obliczenie współrzędnych punktów 𝑀 i 𝑁: 𝑀= (2, -1)\noraz 𝑁= (6, 3).\nDrugi etap polega na zapisaniu równania prowadzącego do obliczenia współrzędnych\npunktu 𝐾 i obliczeniu tych współrzędnych. Za ten etap rozwiązania zdający otrzymuje\n3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\nZdający otrzymuje 1 punkt za uzależnienie współrzędnych punktu 𝐾 od jednej niewiadomej,\nnp. 𝐾= (𝑥, -𝑥+ 5).\nZdający otrzymuje 2 punkty za zapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do\nwyznaczenia współrzędnych punktu 𝐾, np.\n1\n2 ⋅|-8𝑥+ 32| = 40, 2 ⋅|2𝑥-8| = 40.\nZdający otrzymuje 3 punkty za obliczenie współrzędnych punktu 𝐾: 𝐾1 = (-6, 11),\n𝐾2 = (14, -9).\nUwaga:\nJeżeli zdający prowadzi poprawne rozumowanie na każdym etapie rozwiązania zadania,\nrozwiązuje zadanie do końca i jedynym błędem, który jednak nie ułatwia rozwiązania zadania\nna żadnym etapie rozwiązania, jest błąd polegający na:\na) niepoprawnym wyznaczeniu współrzędnych środka okręgu 𝑜1, to zdający otrzymuje co\nnajwyżej 6 punktów za całe rozwiązanie;\nb) zastosowaniu niepoprawnej metody obliczania współrzędnych punktów wspólnych\nokręgu 𝑜1 i osi symetrii figury 𝐹 prostopadłej do prostej 𝑆1𝑆2, to zdający otrzymuje co\nnajwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za 𝑆2, oś symetrii i 𝐾);\nc) zastosowaniu niepoprawnej metody wyznaczenia:\n- środka okręgu 𝑜2\n- współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do prostej 𝑆1𝑆2,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 5 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.\nI etap\nWyznaczamy współrzędne środka 𝑆1 okręgu 𝑜1: 𝑆1 = (6, -1). Ponieważ 𝑆1 = (6, -1)\ni 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4], więc współrzędne środka 𝑆2 są równe: 𝑆2 = (6 -4, -1 + 4) = (2, 3).\nZauważmy, że figura 𝐹 ma dwie osie symetrii. Jedną z nich jest prosta 𝑆1𝑆2, do której\nnależą środki okręgów 𝑜1 i 𝑜2 , drugą - prosta prostopadła do prostej 𝑆1𝑆2 przechodząca\nprzez środek 𝑆 odcinka 𝑆1𝑆2 .\nOś symetrii, do której należą środki obu okręgów ma zatem równanie 𝑥+ 𝑦-5 = 0, czyli\n𝑦= -𝑥+ 5.\nWyznaczamy równanie osi symetrii figury 𝐹, prostopadłej do prostej 𝑆1𝑆2 .\nObliczamy współrzędne środka 𝑆 odcinka 𝑆1𝑆2: 𝑆= (4, 1) i wyznaczamy równanie prostej\nprzechodzącej przez punkt 𝑆: 𝑦= 𝑥-3. Współczynnik kierunkowy tej osi symetrii jest\ndodatni, więc punkty 𝑀 i 𝑁 leżą na tej prostej.\nPonieważ punkty 𝑀 i 𝑁 są punktami przecięcia figury 𝐹 i osi symetrii o równaniu\n𝑦= 𝑥-3, więc są punktami przecięcia okręgu 𝑜1 i prostej 𝑦= 𝑥-3.\nWspółrzędne tych punktów obliczamy, rozwiązując układ równań\n{ (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16\n𝑦= 𝑥-3\nPo podstawieniu 𝑦= 𝑥-3 do pierwszego równania otrzymujemy równanie\n(𝑥-6)2 + (𝑥-2)2 -16 = 0\na po przekształceniach - równanie kwadratowe 2𝑥2 -16𝑥+ 24 = 0.\n𝑁\n𝑀\n0 1 𝑥\n𝑦\n1\n𝑆1\n𝑆2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 6. Zatem współrzędne punktów 𝑀 i 𝑁 są równe: 𝑀= (2, -1) oraz\n𝑁= (6, 3).\nII etap\nPunkt 𝐾 leży na osi symetrii przechodzącej przez środki obu okręgów, więc jego\nwspółrzędne można zapisać w postaci: 𝐾= (𝑥, -𝑥+ 5).\nSposób I\nWiemy, że pole trójkąta 𝑀𝑁𝐾 jest równe 40, więc\n1\n2 ⋅|(6 -2)(-𝑥+ 5 + 1) -(3 + 1)(𝑥-2)| = 40\nStąd po przekształceniach otrzymujemy równanie\n1\n2 ⋅|-8𝑥+ 32| = 40\nczyli\n-4𝑥+ 16 = 40 lub -4𝑥+ 16 = -40\n𝑥= -6 lub 𝑥= 14\nZatem są dwa takie punkty 𝐾: 𝐾1 = (-6, 11) oraz 𝐾2 = (14, -9).\nSposób II\nObliczamy długość podstawy 𝑀𝑁 trójkąta 𝑀𝑁𝐾: |𝑀𝑁| = √(6 -2)2 + (3 + 1)2 = 4√2.\nWysokość ℎ trójkąta 𝑀𝑁𝐾 jest równa odległości punktu 𝐾 od prostej 𝑀𝑁 o równaniu\n𝑥-𝑦-3 = 0. Zatem\nℎ= |1 ⋅𝑥-1 ⋅(-𝑥+ 5) -3|\n√12 + (-1)2\n= |2𝑥-8|\n√2\nWiemy, że pole trójkąta 𝑀𝑁𝐾 jest równe 40, więc\n1\n2 ⋅4√2 ⋅|2𝑥-8|\n√2\n= 40\nStąd otrzymujemy równanie\n2 ⋅|2𝑥-8| = 40\nczyli\n2𝑥-8 = -20 lub 2𝑥-8 = 20\n𝑥= -6 lub 𝑥= 14\nZatem 𝐾= (-6, 11) lub 𝐾= (14, -9).","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (0-7)
Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16.
Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4]. Promienie tych okręgów są
sobie równe.
Figura 𝐹 składa się z dwóch okręgów: 𝑜1 oraz 𝑜2. Punkty 𝑀 i 𝑁 są punktami przecięcia
figury 𝐹 z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym.
Wyznacz punkt 𝐾, leżący na jednej z osi symetrii figury 𝐹, taki, że pole trójkąta 𝑀𝑁𝐾 jest
równe 40.

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

\n

MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2015
MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2015
MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2015

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-7)
Zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap polega na wyznaczeniu równania osi symetrii figury 𝐹, prostopadłej
do prostej 𝑆1𝑆2, a następnie obliczeniu współrzędnych punktów 𝑀 i 𝑁. Za poprawne
rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 4 punkty.
Podział punktów za pierwszy etap rozwiązania:
Zdający otrzymuje 1 punkt, gdy obliczy współrzędne środka 𝑆2 okręgu: 𝑆2 = (2, 3).
Zdający otrzymuje 2 punkty, gdy wyznaczy równanie osi symetrii przechodzącej przez
środek 𝑆 odcinka 𝑆1𝑆2, która jest prostopadła do prostej 𝑆1𝑆2: 𝑦= 𝑥-3.
Zdający otrzymuje 3 punkty za zapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do
wyznaczenia współrzędnych punktów 𝑀 i 𝑁, np. (𝑥-6)2 + (𝑥-2)2 -16 = 0.
Zdający otrzymuje 4 punkty za obliczenie współrzędnych punktów 𝑀 i 𝑁: 𝑀= (2, -1)
oraz 𝑁= (6, 3).
Drugi etap polega na zapisaniu równania prowadzącego do obliczenia współrzędnych
punktu 𝐾 i obliczeniu tych współrzędnych. Za ten etap rozwiązania zdający otrzymuje
3 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
Zdający otrzymuje 1 punkt za uzależnienie współrzędnych punktu 𝐾 od jednej niewiadomej,
np. 𝐾= (𝑥, -𝑥+ 5).
Zdający otrzymuje 2 punkty za zapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do
wyznaczenia współrzędnych punktu 𝐾, np.
1
2 ⋅|-8𝑥+ 32| = 40, 2 ⋅|2𝑥-8| = 40.
Zdający otrzymuje 3 punkty za obliczenie współrzędnych punktu 𝐾: 𝐾1 = (-6, 11),
𝐾2 = (14, -9).
Uwaga:
Jeżeli zdający prowadzi poprawne rozumowanie na każdym etapie rozwiązania zadania,
rozwiązuje zadanie do końca i jedynym błędem, który jednak nie ułatwia rozwiązania zadania
na żadnym etapie rozwiązania, jest błąd polegający na:
a) niepoprawnym wyznaczeniu współrzędnych środka okręgu 𝑜1, to zdający otrzymuje co
najwyżej 6 punktów za całe rozwiązanie;
b) zastosowaniu niepoprawnej metody obliczania współrzędnych punktów wspólnych
okręgu 𝑜1 i osi symetrii figury 𝐹 prostopadłej do prostej 𝑆1𝑆2, to zdający otrzymuje co
najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za 𝑆2, oś symetrii i 𝐾);
c) zastosowaniu niepoprawnej metody wyznaczenia:

\n\n

to zdający może otrzymać co najwyżej 5 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Rozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.
I etap
Wyznaczamy współrzędne środka 𝑆1 okręgu 𝑜1: 𝑆1 = (6, -1). Ponieważ 𝑆1 = (6, -1)
i 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4], więc współrzędne środka 𝑆2 są równe: 𝑆2 = (6 -4, -1 + 4) = (2, 3).
Zauważmy, że figura 𝐹 ma dwie osie symetrii. Jedną z nich jest prosta 𝑆1𝑆2, do której
należą środki okręgów 𝑜1 i 𝑜2 , drugą - prosta prostopadła do prostej 𝑆1𝑆2 przechodząca
przez środek 𝑆 odcinka 𝑆1𝑆2 .
Oś symetrii, do której należą środki obu okręgów ma zatem równanie 𝑥+ 𝑦-5 = 0, czyli
𝑦= -𝑥+ 5.
Wyznaczamy równanie osi symetrii figury 𝐹, prostopadłej do prostej 𝑆1𝑆2 .
Obliczamy współrzędne środka 𝑆 odcinka 𝑆1𝑆2: 𝑆= (4, 1) i wyznaczamy równanie prostej
przechodzącej przez punkt 𝑆: 𝑦= 𝑥-3. Współczynnik kierunkowy tej osi symetrii jest
dodatni, więc punkty 𝑀 i 𝑁 leżą na tej prostej.
Ponieważ punkty 𝑀 i 𝑁 są punktami przecięcia figury 𝐹 i osi symetrii o równaniu
𝑦= 𝑥-3, więc są punktami przecięcia okręgu 𝑜1 i prostej 𝑦= 𝑥-3.
Współrzędne tych punktów obliczamy, rozwiązując układ równań
{ (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16
𝑦= 𝑥-3
Po podstawieniu 𝑦= 𝑥-3 do pierwszego równania otrzymujemy równanie
(𝑥-6)2 + (𝑥-2)2 -16 = 0
a po przekształceniach - równanie kwadratowe 2𝑥2 -16𝑥+ 24 = 0.
𝑁
𝑀
0 1 𝑥
𝑦
1
𝑆1
𝑆2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Stąd 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 6. Zatem współrzędne punktów 𝑀 i 𝑁 są równe: 𝑀= (2, -1) oraz
𝑁= (6, 3).
II etap
Punkt 𝐾 leży na osi symetrii przechodzącej przez środki obu okręgów, więc jego
współrzędne można zapisać w postaci: 𝐾= (𝑥, -𝑥+ 5).
Sposób I
Wiemy, że pole trójkąta 𝑀𝑁𝐾 jest równe 40, więc
1
2 ⋅|(6 -2)(-𝑥+ 5 + 1) -(3 + 1)(𝑥-2)| = 40
Stąd po przekształceniach otrzymujemy równanie
1
2 ⋅|-8𝑥+ 32| = 40
czyli
-4𝑥+ 16 = 40 lub -4𝑥+ 16 = -40
𝑥= -6 lub 𝑥= 14
Zatem są dwa takie punkty 𝐾: 𝐾1 = (-6, 11) oraz 𝐾2 = (14, -9).
Sposób II
Obliczamy długość podstawy 𝑀𝑁 trójkąta 𝑀𝑁𝐾: |𝑀𝑁| = √(6 -2)2 + (3 + 1)2 = 4√2.
Wysokość ℎ trójkąta 𝑀𝑁𝐾 jest równa odległości punktu 𝐾 od prostej 𝑀𝑁 o równaniu
𝑥-𝑦-3 = 0. Zatem
ℎ= |1 ⋅𝑥-1 ⋅(-𝑥+ 5) -3|
√12 + (-1)2
= |2𝑥-8|
√2
Wiemy, że pole trójkąta 𝑀𝑁𝐾 jest równe 40, więc
1
2 ⋅4√2 ⋅|2𝑥-8|
√2
= 40
Stąd otrzymujemy równanie
2 ⋅|2𝑥-8| = 40
czyli
2𝑥-8 = -20 lub 2𝑥-8 = 20
𝑥= -6 lub 𝑥= 14
Zatem 𝐾= (-6, 11) lub 𝐾= (14, -9).

","solutions":[]}