Zadanie 7. (0-3)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑎 prawdziwa jest nierówność
𝑎2 + 16
𝑎≥12
EMAP-R0_100
\nEMAP-R0_100
","answer_text_html":"Zadanie 7. (0-3)
Zasady oceniania
3 pkt - spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i uzasadnienie prawdziwości nierówności
(𝑎-2)2(𝑎+4)
𝑎
≥0 lub (𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0, lub 𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0 z powołaniem
się na założenie (dla sposobu I)
ALBO
𝑎2+8
𝑎+8
𝑎
3
≥√𝑎2 ⋅
8
𝑎⋅
8
𝑎
3
do postaci tezy (dla sposobu II),
ALBO
sposobu III).
2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎2 +
16
𝑎≥12 do postaci
(𝑎-2)2(𝑎+4)
𝑎
≥0 lub
(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0, lub 𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0 (dla sposobu I)
ALBO
w postaci (𝑎-2)2(𝑎+ 4) (dla sposobu I),
ALBO
8
𝑎 ,
8
𝑎 są dodatnie oraz zapisanie
nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb dodatnich 𝑎2,
8
𝑎 ,
8
𝑎 :
𝑎2+8
𝑎+8
𝑎
3
≥√𝑎2 ⋅
8
𝑎⋅
8
𝑎
3
(dla sposobu II),
ALBO
(0, +∞) argumentu, dla którego funkcja osiąga w tym przedziale wartość
najmniejszą (wraz z uzasadnieniem): 𝑎= 2 (dla sposobu III).
1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎2 +
16
𝑎≥12 do postaci
𝑎3-12𝑎+16
𝑎
≥0 lub
𝑎3 -12𝑎+ 16 ≥0, lub 𝑎(𝑎3 -12𝑎+ 16) ≥0 (dla sposobu I)
ALBO
8
𝑎 ,
8
𝑎 są dodatnie (dla sposobu II),
ALBO
16
𝑎 dla 𝑎> 0 (lub
w szerszym zakresie), np. 𝑓′(𝑎) = 2𝑎-
16
𝑎2 (dla sposobu III).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeśli zdający opiera swoje rozwiązanie na nierówności między średnimi (sposób III) i stosuje
nierówność między średnimi liczb 𝑎2,
8
𝑎 ,
8
𝑎 bez zapisania, że liczby te są dodatnie, to może
otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy nierówność 𝑎2 +
16
𝑎≥12:
𝑎3
𝑎+ 16
𝑎-12𝑎
𝑎
≥0
𝑎3 -12𝑎+ 16
𝑎
≥0
𝑎(𝑎3 -12𝑎+ 16) ≥0 i 𝑎≠0
Zauważamy, że pierwiastkiem wielomianu 𝑊(𝑎) = 𝑎3 -12𝑎+ 16 jest liczba 2. Stąd
𝑊(𝑎) = (𝑎-2)(𝑎2 + 2𝑎-8). Ponieważ pierwiastkami trójmianu kwadratowego
𝑎2 + 2𝑎-8 są liczby 2 i (-4), więc 𝑊(𝑎) = (𝑎-2)2(𝑎+ 4). Zatem nierówność
𝑎(𝑎3 -12𝑎+ 16) ≥0 można równoważnie zapisać w postaci
𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0
Dla każdej liczby dodatniej 𝑎 wyrażenie (𝑎-2)2 jest liczbą nieujemną, natomiast
wyrażenie (𝑎+ 4) jest liczbą dodatnią. Zatem dla każdej liczby dodatniej 𝑎 wyrażenie
𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) jest nieujemne jako iloczyn liczb nieujemnych. Oznacza to, że nierówność
𝑎2 +
16
𝑎≥12 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑎. To należało wykazać.
Inna realizacja rozkładu wielomianu 𝑎3 -12𝑎+ 16 na czynniki:
𝑎3 -12𝑎+ 16 = 𝑎3 -16𝑎+ 4𝑎+ 16 = 𝑎(𝑎2 -16) + 4(𝑎+ 4) =
= 𝑎(𝑎-4)(𝑎+ 4) + 4(𝑎+ 4) = (𝑎+ 4)[𝑎(𝑎-4) + 4] =
= (𝑎+ 4)(𝑎2 -4𝑎+ 4) = (𝑎+ 4)(𝑎-2)2
Sposób II
Dla każdego 𝑎> 0 liczby 𝑎2,
8
𝑎 ,
8
𝑎 są dodatnie. Korzystamy z nierówności między
średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb 𝑎2,
8
𝑎 ,
8
𝑎 i otrzymujemy:
𝑎2 +
8
𝑎+
8
𝑎
3
≥√𝑎2 ⋅8
𝑎⋅8
𝑎
3
𝑎2 +
16
𝑎
3
≥√64
3
𝑎2 + 16
𝑎≥12
To należało wykazać.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób III
Niech 𝑓 będzie funkcją określoną wzorem 𝑓(𝑎) = 𝑎2 +
16
𝑎 dla każdej liczby rzeczywistej
𝑎> 0.
Obliczamy pochodną funkcji 𝑓:
𝑓′(𝑎) = 2𝑎-16
𝑎2 = 2𝑎3 -16
𝑎2
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑓:
2𝑎3 -16
𝑎2
= 0
2𝑎3 -16 = 0
𝑎= 2
Ponieważ 𝑓′(𝑎) > 0 dla 𝑎∈(2, +∞) oraz 𝑓′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(0, 2), więc funkcja 𝑓
jest malejąca w przedziale (0, 2⟩ oraz jest rosnąca w przedziale ⟨2, +∞).
Zatem dla argumentu 𝑎= 2 funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą
𝑓(2) = 22 +
16
2 = 12. Stąd 𝑓(𝑎) ≥12 dla każdej liczby dodatniej 𝑎.
To oznacza, że nierówność 𝑎2 +
16
𝑎≥12 jest prawdziwa dla każdego 𝑎> 0.