{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"16","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 16. (0-2)\nCena biletu do teatru jest o 64 zł większa od ceny biletu do kina. Za 4 bilety do teatru\ni 5 biletów do kina zapłacono łącznie 400 zł.\nOblicz cenę jednego biletu do teatru. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2305","answer":"80 zł","answer_text":"Zadanie 16. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego do\nprostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także w kontekście\npraktycznym.\nXII. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n4) rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą\nrównań pierwszego stopnia z jedną\nniewiadomą […].\nXXII. Zadania tekstowe. Uczeń:\n5) do rozwiązywania zadań osadzonych\nw kontekście praktycznym stosuje\npoznaną wiedzę z zakresu arytmetyki\n[…] oraz nabyte umiejętności\nrachunkowe, a także własne poprawne\nmetody.\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia ceny jednego biletu do teatru (tzn. zapisanie odpowiednich\nrównań lub wyrażeń arytmetycznych), prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik\nliczbowy (80 zł)\nLUB\nzastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla co\nnajmniej jednej ceny biletu do teatru z uwzględnieniem kwoty 80 zł, prawidłowe\nobliczenia oraz podanie prawidłowej ceny jednego biletu do teatru (80 zł).\n1 punkt\nzapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia ceny\njednego biletu do teatru, np. 4𝑥+ 5(𝑥-64) = 400\nLUB\nzapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia ceny\njednego biletu do kina, np. 4(𝑥+ 64) + 5𝑥= 400,\nLUB\nzapisanie poprawnych równań prowadzących do obliczenia ceny jednego biletu do\nteatru i ceny jednego biletu do kina, np. 4𝑡+ 5𝑘= 400 oraz 𝑡= 𝑘+ 64,\nLUB\nzapisanie poprawnego wyrażenia lub wyrażeń arytmetycznych prowadzących do\nobliczenia ceny jednego biletu do teatru, np. (400 + 5 ∙64) ∶9,\nLUB\nzapisanie poprawnego wyrażenia lub wyrażeń arytmetycznych prowadzących do\nobliczenia ceny jednego biletu do kina, np. (400 -4 ∙64) ∶9,\nLUB\nzastosowanie niepełnej metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków\nzadania dla co najmniej dwóch różnych cen biletu do teatru bez uwzględnienia kwoty\n80 zł oraz prawidłowe obliczenia,\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nLUB\nzastosowanie niepełnej metody prób i błędów - zapisanie kosztu zakupu biletów do kina\n(80 zł) oraz kosztu zakupu biletów do teatru (320 zł) przy ustalonej cenie jednego biletu\ndo kina (16 zł) i ustalonej cenie jednego biletu do teatru (80 zł).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne lub brak rozwiązania.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nOznaczymy cenę jednego biletu do teatru jako 𝑥.\nCena jednego biletu do kina jest o 64 zł mniejsza od ceny jednego biletu do teatru, zatem\noznaczymy ją jako 𝑥-64.\nZa 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina zapłacono 400 zł.\nZapiszemy i rozwiążemy równanie uwzględniające powyższe warunki:\n4𝑥+ 5(𝑥-64) = 400\n4𝑥+ 5𝑥-320 = 400\n4𝑥+ 5𝑥= 400 + 320\n9𝑥= 720\n𝑥= 80\nOdpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.\nII sposób\nOznaczymy cenę jednego biletu do kina jako 𝑥.\nCena jednego biletu do teatru jest o 64 zł większa od ceny jednego biletu do kina, zatem\noznaczymy ją jako 𝑥+ 64.\nZapiszemy i rozwiążemy równanie uwzględniające warunki zadania:\n4(𝑥+ 64) + 5𝑥= 400\n4𝑥+ 5𝑥= 400 -256\n9𝑥= 144\n𝑥= 16\n16 zł + 64 zł = 80 zł\nOdpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.\nIII sposób\nObliczymy, ile kosztowałoby 9 biletów do teatru.\nZamiast 5 biletów do kina, kupujemy 5 biletów do teatru. Za każdy z tych biletów do teatru\npłacimy o 64 zł więcej niż za każdy z biletów do kina, zatem łącznie płacimy o 320 zł więcej\nniż za 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina:\n5 ∙64 = 320\nZatem łączny koszt zakupu 9 biletów do teatru byłby równy:\n400 + 320 = 720\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2023 r.\nObliczymy cenę jednego biletu do teatru:\n720 ∶9 = 80\nOdpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.\nIV sposób\nObliczymy, ile kosztowałoby 9 biletów do kina.\nZamiast 4 biletów do teatru, kupujemy 4 bilety do kina. Za każdy z tych biletów do kina\npłacimy o 64 zł mniej niż za każdy z biletów do teatru, zatem łącznie płacimy o 256 zł mniej\nniż za 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina:\n4 ∙64 = 256\nZatem łączny koszt zakupu 9 biletów do kina byłby równy:\n400 -256 = 144\nObliczymy cenę jednego biletu do kina:\n144 ∶9 = 16\nObliczymy cenę jednego biletu do teatru:\n16 + 64 = 80\nOdpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.\nV sposób\nMetoda prób i błędów:\nŁączny koszt zakupu biletów, gdy cena biletu do teatru jest o 64 zł\nwiększa od ceny biletu do kina\n1 bilet do teatru\n100\n90\n80\n70\n1 bilet do kina\n36\n26\n16\n6\n4 bilety do teatru\n400\n360\n320\n280\n5 biletów do kina\n180\n130\n80\n30\nRazem\n580\n490\n400\n310\nWniosek\n580 > 400\n(za dużo)\n490 > 400\n(za dużo)\n400 = 400\n(dobrze)\n310 < 400\n(za mało)\nOdpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Oznaczmy cenę biletu do kina przez x zł. Bilet do teatru kosztuje x+64 zł.\n\n4(x+64)+5x=400\n\n4x+256+5x=400\n\n9x=144, x=16\n\nCena biletu do teatru:\n\n16+64=80 zł\n\nOdpowiedź: 80 zł.","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"

Zadanie 16. (0-2)
Cena biletu do teatru jest o 64 zł większa od ceny biletu do kina. Za 4 bilety do teatru
i 5 biletów do kina zapłacono łącznie 400 zł.
Oblicz cenę jednego biletu do teatru. Zapisz obliczenia.
OMAP-100-2305

","answer_text_html":"

Zadanie 16. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie modelu matematycznego do
\n

prostej sytuacji oraz budowanie go
w różnych kontekstach, także w kontekście
praktycznym.
XII. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:

\n
  1. rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą
\n

równań pierwszego stopnia z jedną
niewiadomą […].
XXII. Zadania tekstowe. Uczeń:

\n
  1. do rozwiązywania zadań osadzonych
\n

w kontekście praktycznym stosuje
poznaną wiedzę z zakresu arytmetyki
[…] oraz nabyte umiejętności
rachunkowe, a także własne poprawne
metody.
Zasady oceniania
2 punkty - pełne rozwiązanie
poprawny sposób obliczenia ceny jednego biletu do teatru (tzn. zapisanie odpowiednich
równań lub wyrażeń arytmetycznych), prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik
liczbowy (80 zł)
LUB
zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla co
najmniej jednej ceny biletu do teatru z uwzględnieniem kwoty 80 zł, prawidłowe
obliczenia oraz podanie prawidłowej ceny jednego biletu do teatru (80 zł).
1 punkt
zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia ceny
jednego biletu do teatru, np. 4𝑥+ 5(𝑥-64) = 400
LUB
zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia ceny
jednego biletu do kina, np. 4(𝑥+ 64) + 5𝑥= 400,
LUB
zapisanie poprawnych równań prowadzących do obliczenia ceny jednego biletu do
teatru i ceny jednego biletu do kina, np. 4𝑡+ 5𝑘= 400 oraz 𝑡= 𝑘+ 64,
LUB
zapisanie poprawnego wyrażenia lub wyrażeń arytmetycznych prowadzących do
obliczenia ceny jednego biletu do teatru, np. (400 + 5 ∙64) ∶9,
LUB
zapisanie poprawnego wyrażenia lub wyrażeń arytmetycznych prowadzących do
obliczenia ceny jednego biletu do kina, np. (400 -4 ∙64) ∶9,
LUB
zastosowanie niepełnej metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków
zadania dla co najmniej dwóch różnych cen biletu do teatru bez uwzględnienia kwoty
80 zł oraz prawidłowe obliczenia,
Zasady oceniania rozwiązań zadań
LUB
zastosowanie niepełnej metody prób i błędów - zapisanie kosztu zakupu biletów do kina
(80 zł) oraz kosztu zakupu biletów do teatru (320 zł) przy ustalonej cenie jednego biletu
do kina (16 zł) i ustalonej cenie jednego biletu do teatru (80 zł).
0 punktów
rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania.
Przykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty
I sposób
Oznaczymy cenę jednego biletu do teatru jako 𝑥.
Cena jednego biletu do kina jest o 64 zł mniejsza od ceny jednego biletu do teatru, zatem
oznaczymy ją jako 𝑥-64.
Za 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina zapłacono 400 zł.
Zapiszemy i rozwiążemy równanie uwzględniające powyższe warunki:
4𝑥+ 5(𝑥-64) = 400
4𝑥+ 5𝑥-320 = 400
4𝑥+ 5𝑥= 400 + 320
9𝑥= 720
𝑥= 80
Odpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.
II sposób
Oznaczymy cenę jednego biletu do kina jako 𝑥.
Cena jednego biletu do teatru jest o 64 zł większa od ceny jednego biletu do kina, zatem
oznaczymy ją jako 𝑥+ 64.
Zapiszemy i rozwiążemy równanie uwzględniające warunki zadania:
4(𝑥+ 64) + 5𝑥= 400
4𝑥+ 5𝑥= 400 -256
9𝑥= 144
𝑥= 16
16 zł + 64 zł = 80 zł
Odpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.
III sposób
Obliczymy, ile kosztowałoby 9 biletów do teatru.
Zamiast 5 biletów do kina, kupujemy 5 biletów do teatru. Za każdy z tych biletów do teatru
płacimy o 64 zł więcej niż za każdy z biletów do kina, zatem łącznie płacimy o 320 zł więcej
niż za 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina:
5 ∙64 = 320
Zatem łączny koszt zakupu 9 biletów do teatru byłby równy:
400 + 320 = 720
Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2023 r.
Obliczymy cenę jednego biletu do teatru:
720 ∶9 = 80
Odpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.
IV sposób
Obliczymy, ile kosztowałoby 9 biletów do kina.
Zamiast 4 biletów do teatru, kupujemy 4 bilety do kina. Za każdy z tych biletów do kina
płacimy o 64 zł mniej niż za każdy z biletów do teatru, zatem łącznie płacimy o 256 zł mniej
niż za 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina:
4 ∙64 = 256
Zatem łączny koszt zakupu 9 biletów do kina byłby równy:
400 -256 = 144
Obliczymy cenę jednego biletu do kina:
144 ∶9 = 16
Obliczymy cenę jednego biletu do teatru:
16 + 64 = 80
Odpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.
V sposób
Metoda prób i błędów:
Łączny koszt zakupu biletów, gdy cena biletu do teatru jest o 64 zł
większa od ceny biletu do kina
1 bilet do teatru
100
90
80
70
1 bilet do kina
36
26
16
6
4 bilety do teatru
400
360
320
280
5 biletów do kina
180
130
80
30
Razem
580
490
400
310
Wniosek
580 > 400
(za dużo)
490 > 400
(za dużo)
400 = 400
(dobrze)
310 < 400
(za mało)
Odpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Oznaczmy cenę biletu do kina przez x zł. Bilet do teatru kosztuje x+64 zł.

\n

4(x+64)+5x=400

\n

4x+256+5x=400

\n

9x=144, x=16

\n

Cena biletu do teatru:

\n

16+64=80 zł

\n

Odpowiedź: 80 zł.

"}]}