Zadanie 18. (0-3)
W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o polu 48 cm2 przekątna 𝐴𝐶 ma długość 8 cm i dzieli ten
czworokąt na dwa trójkąty: 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Wysokość trójkąta 𝐴𝐶𝐷
poprowadzona z wierzchołka 𝐷 do prostej 𝐴𝐶 jest równa 2 cm.
Oblicz wysokość trójkąta 𝑨𝑩𝑪 poprowadzoną z wierzchołka 𝑩 do prostej 𝑨𝑪.
Zapisz obliczenia.
𝐴
𝐵
𝐷
𝐶
OMAP-100-2305
Zadanie 18. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
obiektów matematycznych, interpretowanie
pojęć matematycznych i operowanie
obiektami matematycznymi.
XVII. Wielokąty. Uczeń:
przedstawionych na rysunku […], a także
do wyznaczania długości odcinków […].
Zasady oceniania
3 punkty - pełne rozwiązanie
poprawny sposób obliczenia wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶, prawidłowe obliczenia oraz
prawidłowy wynik liczbowy (10 cm).
2 punkty
zapisanie, że pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe sumie pól trójkątów 𝐴𝐶𝐷 i 𝐴𝐵𝐶
oraz zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷, oraz zastosowanie wzoru na pole
trójkąta 𝐴𝐵𝐶 (zgodnie z oznaczeniami i danymi), np. zapisanie:
48 = 1
2 ∙8 ∙2 + 1
2 ∙8 ∙ℎ𝐵 lub 48 = 8 + 4ℎ𝐵 (lub zapisy równoważne)
albo
48 = 𝑃𝐴𝐶𝐷 + 𝑃𝐴𝐵𝐶 oraz 𝑃𝐴𝐶𝐷= 1
2 ∙2 ⋅8 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
2 ∙8 ∙ℎ𝐵
LUB
zapisanie, że pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe różnicy pól czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 i trójkąta
𝐴𝐶𝐷 oraz zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷, oraz zastosowanie wzoru na
pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 (zgodnie z oznaczeniami i danymi), np. zapisanie:
𝑃𝐴𝐵𝐶= 48 -1
2 ∙8 ∙2 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
2 ⋅8 ⋅ℎ𝐵 (lub zapisy równoważne)
albo
1
2 ⋅8 ⋅ℎ𝐵= 48 -1
2 ∙8 ∙2 (lub zapisy równoważne),
LUB
zastosowanie wzoru na pole czworokąta jako połowy iloczynu długości wspólnej
podstawy 𝐴𝐶 trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 i sumy wysokości ℎ𝐵, ℎ𝐷 poprowadzonych
z wierzchołków 𝐵 i 𝐷 tych trójkątów oraz zastosowanie poprawnego sposobu
obliczenia wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶, np. zapisanie
48 = 1
2 |𝐴𝐶| ⋅𝑥 oraz ℎ𝐵= 𝑥-2 ,
gdzie 𝑥 jest sumą wysokości ℎ𝐵, ℎ𝐷 (𝑥 nie jest równe długości przekątnej 𝐵𝐷).
Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2023 r.
1 punkt
poprawny sposób obliczenia pola trójkąta 𝐴𝐶𝐷, np. zapisanie
𝑃𝐴𝐶𝐷= 1
2 ⋅2 ⋅8
LUB
zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 z poprawnie podstawioną daną, np.
zapisanie
𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
2 ∙8 ∙ℎ𝐵 (lub zapisy równoważne),
LUB
zastosowanie wzoru na pole czworokąta jako połowy iloczynu długości wspólnej
podstawy 𝐴𝐶 trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 i sumy wysokości ℎ𝐵, ℎ𝐷 poprowadzonych
z wierzchołków 𝐵 i 𝐷 tych trójkątów, np. zapisanie
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1
2 |𝐴𝐶| ⋅𝑥 ,
gdzie 𝑥 jest sumą wysokości ℎ𝐵, ℎ𝐷 (𝑥 nie jest równe długości przekątnej 𝐵𝐷).
0 punktów
rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania.
Uwagi
kątem prostym (tzn. długość przekątnej 𝐵𝐷 jest równa sumie długości wysokości ℎ𝐵, ℎ𝐷
poprowadzonych z wierzchołków 𝐵 i 𝐷 trójkątów 𝐴𝐵𝐶 oraz 𝐴𝐶𝐷) i konsekwentnie do
tego założenia doprowadza rozwiązanie do końca bez błędów rachunkowych, to
otrzymuje 2 punkty.
Przykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty
I sposób
Pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe sumie pól dwóch trójkątów: 𝐴𝐵𝐶 oraz 𝐴𝐶𝐷.
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑃𝐴𝐵𝐶+ 𝑃𝐴𝐶𝐷
Zatem korzystając ze wzoru na pole trójkąta (dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶 oraz trójkąta 𝐴𝐶𝐷), możemy
obliczyć wysokość ℎ𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐵:
48 = 1
2 ∙8 ∙2 + 1
2 ∙8 ∙ℎ𝐵
48 = 8 + 4ℎ𝐵
ℎ𝐵= 40
4 = 10
Odpowiedź: Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzona z wierzchołka 𝐵 jest równa 10 cm.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
II sposób
Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest różnicą pól czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 i trójkąta 𝐴𝐶𝐷.
𝑃𝐴𝐵𝐶= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-𝑃𝐴𝐶𝐷
Obliczymy pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷, korzystając ze wzoru na jego pole:
𝑃𝐴𝐶𝐷= 1
2 ∙|𝐴𝐶| ∙ℎ𝐷, gdzie:
𝑃𝐴𝐶𝐷-pole trójkąta ACD
|𝐴𝐶| = 8 cm -długość boku trójkąta ACD
ℎ𝐷= 2 cm -wysokość trójkąta 𝐴𝐶𝐷 poprowadzona z wierzchołka 𝐷 do boku 𝐴𝐶
𝑃𝐴𝐶𝐷= 1
2 ∙8 cm ∙2 cm = 8 cm2
Obliczymy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
𝑃𝐴𝐵𝐶= 48 cm2 -8 cm2 = 40 cm2
Obliczymy wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶, korzystając ze wzoru na jego pole:
𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
2 ∙8 ∙ℎ𝐵
gdzie ℎ𝐵 jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐵, zatem:
ℎ𝐵= 40 cm2
8
2 cm
= 40 cm
4
= 10 cm
Odpowiedź: Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzona z wierzchołka 𝐵 jest równa 10 cm.
III sposób
Pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe sumie pól dwóch trójkątów: 𝐴𝐶𝐷 oraz 𝐴𝐵𝐶.
Zapiszemy wzór na pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷:
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1
2 |𝐴𝐶| ⋅ℎ𝐷+ 1
2 |𝐴𝐶| ⋅ℎ𝐵= 1
2 |𝐴𝐶|(ℎ𝐷+ ℎ𝐵)
gdzie ℎ𝐷 i ℎ𝐵 są odpowiednio wysokościami trójkątów 𝐴𝐶𝐷 oraz 𝐴𝐵𝐶 poprowadzonymi
odpowiednio z wierzchołków 𝐷 i 𝐵. Do powyższego wzoru podstawimy dane liczbowe oraz
zastosujemy oznaczenie 𝑥 na sumę tych wysokości:
48 = 1
2 ⋅8 ⋅𝑥 , gdzie 𝑥= ℎ𝐷+ ℎ𝐵
Obliczymy wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
𝑥= 12
ℎ𝐵= 𝑥-ℎ𝐷
ℎ𝐵= 12 -2 = 10
Odpowiedź: Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzona z wierzchołka 𝐵 jest równa 10 cm.
Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2023 r.
Pole trójkąta ACD :
\nP_ACD=(1)/(2)·8·2=8 cm^2
\nPole trójkąta ABC :
\nP_ABC=48-8=40 cm^2
\nOznaczmy szukaną wysokość przez h :
\n(1)/(2)·8· h=40
\n4h=40, h=10 cm
\nOdpowiedź: 10 cm .
"}]}