{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"16","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-2)\nDane są dwa kąty o miarach 𝛼 oraz 𝛽, spełniające warunki:\n𝛼∈(0°, 180°) i tg 𝛼= -2\n3 oraz 𝛽∈(0°, 180°) i cos 𝛽=\n1\n√10 .\nNa rysunkach A-F w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono różne kąty\n- w tym kąt o mierze 𝛼 oraz kąt o mierze 𝛽. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa\nsię z dodatnią półosią 𝑂𝑥, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych\ncałkowitych: 𝐴 lub 𝐵, lub 𝐶, lub 𝐷, lub 𝐸, lub 𝐹.\nUzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną\nspośród oznaczonych literami A-F.\n16.1.\nKąt 𝛼 jest zaznaczony na rysunku\n16.2.\nKąt 𝛽 jest zaznaczony na rysunku\nA.\nB.\nC.\nD.\nE.\nF.\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n2\n1\n-1\n3\n𝑦\n𝑥\n𝐴\n0\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n2\n1\n-1\n3\n𝑦\n𝑥\n𝐵\n0\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n2\n1\n-1\n3\n𝑦\n𝑥\n𝐶\n0\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n2\n1\n-1\n3\n𝑦\n𝑥\n𝐷\n0\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n2\n1\n-1\n3\n𝑦\n𝑥\n𝐸\n0\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n2\n1\n-1\n3\n𝑦\n𝑥\n𝐹\n0\n16.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDane są dwa kąty o miarach α oraz β, spełniające warunki: α∈(0°,180°) i tgα=-2/3 oraz β∈(0°,180°) i cosβ=1/√10. Na rysunkach A-F w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono różne kąty - w tym kąt o mierze α oraz kąt o mierze β. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: A lub B, lub C, lub D, lub E, lub F. Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F. 16.1 Kąt α jest zaznaczony na rysunku 16.2 Kąt β jest zaznaczony na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek] E. [rysunek] F. [rysunek]","answer":"B, D","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji: […]\ncosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°\n[…].\nZasady oceniania\n2 pkt - dwie poprawne odpowiedzi.\n1 pkt - jedna poprawna odpowiedź.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n16.1. B\n16.2. D","solution":"1. Wiemy, że\n\ntanα=-(2)/(3).\n\nDla punktu (x,y) leżącego na końcowym ramieniu kąta zachodzi\n\ntanα=(y)/(x).\n\nKąt α leży w II ćwiartce, więc\n\nx<0 oraz y>0.\n\nNa rysunku B punkt ma współrzędne w proporcji\n\nx:y=-3:2.\n\nZatem\n\ntanα=(y)/(x)=(2)/(-3)=-(2)/(3).\n\nDlatego poprawna jest odpowiedź B.\n\n2. Mamy\n\ncosβ=frac1 √(10) >0.\n\nKąt β jest ostry, więc jego końcowe ramię leży w I ćwiartce. Na rysunku D punkt ma współrzędne w proporcji\n\nx:y=1:3.\n\nDługość promienia wynosi\n\nr=√(1^2+3^2)=√(10).\n\nZatem\n\ncosβ=(x)/(r)=frac1 √(10) .\n\nDlatego poprawna jest odpowiedź D.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Trygonometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 16. (0-2)
Dane są dwa kąty o miarach 𝛼 oraz 𝛽, spełniające warunki:
𝛼∈(0°, 180°) i tg 𝛼= -2
3 oraz 𝛽∈(0°, 180°) i cos 𝛽=
1
√10 .
Na rysunkach A-F w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono różne kąty

\n\n

się z dodatnią półosią 𝑂𝑥, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych
całkowitych: 𝐴 lub 𝐵, lub 𝐶, lub 𝐷, lub 𝐸, lub 𝐹.
Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną
spośród oznaczonych literami A-F.
16.1.
Kąt 𝛼 jest zaznaczony na rysunku
16.2.
Kąt 𝛽 jest zaznaczony na rysunku
A.
B.
C.
D.
E.
F.
1
2
3
-3 -2 -1
2
1
-1
3
𝑦
𝑥
𝐴
0
1
2
3
-3 -2 -1
2
1
-1
3
𝑦
𝑥
𝐵
0
1
2
3
-3 -2 -1
2
1
-1
3
𝑦
𝑥
𝐶
0
1
2
3
-3 -2 -1
2
1
-1
3
𝑦
𝑥
𝐷
0
1
2
3
-3 -2 -1
2
1
-1
3
𝑦
𝑥
𝐸
0
1
2
3
-3 -2 -1
2
1
-1
3
𝑦
𝑥
𝐹
0
16.
0-1-2

\n

MMAP-P0_100
Dane są dwa kąty o miarach α oraz β, spełniające warunki: α∈(0°,180°) i tgα=-2/3 oraz β∈(0°,180°) i cosβ=1/√10. Na rysunkach A-F w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono różne kąty - w tym kąt o mierze α oraz kąt o mierze β. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: A lub B, lub C, lub D, lub E, lub F. Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F. 16.1 Kąt α jest zaznaczony na rysunku 16.2 Kąt β jest zaznaczony na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek] E. [rysunek] F. [rysunek]

","answer_text_html":"

Zadanie 16. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
VII.1) wykorzystuje definicje funkcji: […]
cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°
[…].
Zasady oceniania
2 pkt - dwie poprawne odpowiedzi.
1 pkt - jedna poprawna odpowiedź.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
16.1. B
16.2. D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"
  1. Wiemy, że
\n

tanα=-(2)/(3).

\n

Dla punktu (x,y) leżącego na końcowym ramieniu kąta zachodzi

\n

tanα=(y)/(x).

\n

Kąt α leży w II ćwiartce, więc

\n

x<0 oraz y>0.

\n

Na rysunku B punkt ma współrzędne w proporcji

\n

x:y=-3:2.

\n

Zatem

\n

tanα=(y)/(x)=(2)/(-3)=-(2)/(3).

\n

Dlatego poprawna jest odpowiedź B.

\n
  1. Mamy
\n

cosβ=frac1 √(10) >0.

\n

Kąt β jest ostry, więc jego końcowe ramię leży w I ćwiartce. Na rysunku D punkt ma współrzędne w proporcji

\n

x:y=1:3.

\n

Długość promienia wynosi

\n

r=√(1^2+3^2)=√(10).

\n

Zatem

\n

cosβ=(x)/(r)=frac1 √(10) .

\n

Dlatego poprawna jest odpowiedź D.

"}]}